가환 국소환
(
R
,
m
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}
아즈마야 대수
ϕ
:
R
→
A
{\displaystyle \phi \colon R\to A}
R
{\displaystyle R}
단위 결합 대수 이다.[1] :136, §IV.1
R
{\displaystyle R}
자유 가군
R
n
{\displaystyle R^{n}}
a
⊗
R
b
↦
(
x
↦
a
x
b
)
{\displaystyle a\otimes _{R}b\mapsto (x\mapsto axb)}
A
⊗
R
A
op
≅
Mat
(
n
;
R
)
=
End
(
R
A
)
{\displaystyle A\otimes _{R}A^{\operatorname {op} }\cong \operatorname {Mat} (n;R)=\operatorname {End} (_{R}A)}
여기서
A
⊗
R
A
op
=
A
e
{\displaystyle A\otimes _{R}A^{\operatorname {op} }=A^{\operatorname {e} }}
A
{\displaystyle A}
영어 : enveloping algebra )이다.
스킴
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
아즈마야 대수
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
단위 결합 대수 층 이다.[1] :140, §IV.2
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
가군층 으로서 연접층 이며, 각 닫힌 점
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
줄기
A
x
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{x}}
가환 국소환
O
X
,
x
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}
브라우어 군
편집
스킴
S
{\displaystyle S}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
A
′
{\displaystyle {\mathcal {A}}'}
A
⊗
O
X
A
′
{\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {A}}'}
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
모노이드 를 이룬다.
스킴
S
{\displaystyle S}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
A
′
{\displaystyle {\mathcal {A}}'}
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
국소 자유 가군층
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
′
{\displaystyle {\mathcal {E}}'}
브라우어 동치 (영어 : Brauer-equivalent )라고 한다.[1] :§2, 141
A
⊗
O
X
End
_
(
O
X
E
)
≅
A
′
⊗
O
X
End
_
(
O
X
E
′
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\underline {\operatorname {End} }}(_{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {E}})\cong {\mathcal {A}}'\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\underline {\operatorname {End} }}(_{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {E}}')}
이는
S
{\displaystyle S}
동치 관계 를 이룬다. 브라우어 동치 관계는 텐서곱은 보존하며, 따라서
S
{\displaystyle S}
모노이드 를 이룬다. 이 모노이드 는 사실 군 을 이루며, 이를
S
{\displaystyle S}
브라우어 군 (영어 : Brauer group )
Br
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {Br} (S)}
[
A
]
{\displaystyle [{\mathcal {A}}]}
반대 대수층 의 동치류
[
A
op
]
{\displaystyle [{\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }]}
체 위의 아즈마야 대수
편집
체
K
{\displaystyle K}
단위 결합 대수
f
:
K
→
A
{\displaystyle f\colon K\to A}
동치 이다.
A
{\displaystyle A}
K
{\displaystyle K}
f
{\displaystyle f}
단사 함수 이며,
Z
(
A
)
=
K
{\displaystyle \operatorname {Z} (A)=K}
dim
K
A
{\displaystyle \dim _{K}A}
A
{\displaystyle A}
K
{\displaystyle K}
벡터 공간 이며, 다음 조건을 만족시키는 유한 차수 분해 가능 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
A
⊗
K
L
≅
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle A\otimes _{K}L\cong \operatorname {Mat} (n;K)}
이와 같이, 체 위의 아즈마야 대수를 중심 단순 대수 (中心單純代數, 영어 : central simple algebra )라고 한다.
가환환 위의 아즈마야 대수
편집
가환환
R
{\displaystyle R}
단위 결합 대수
A
{\displaystyle A}
동치 이다.
A
{\displaystyle A}
R
{\displaystyle R}
R
A
{\displaystyle _{R}A}
충실한 가군 이며, 사영 가군 이며,
A
⊗
R
A
op
→
End
(
R
A
)
{\displaystyle A\otimes _{R}A^{\operatorname {op} }\to \operatorname {End} (_{R}A)}
R
{\displaystyle R}
단위 결합 대수 의 동형 사상 이다.[2]
R
A
{\displaystyle _{R}A}
유한 생성 가군 이며, 모든 극대 아이디얼
m
⊆
R
{\displaystyle {\mathfrak {m}}\subseteq R}
A
/
m
A
{\displaystyle A/{\mathfrak {m}}A}
R
/
m
{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}
[2] :Theorem 1.5.3 스콜렘-뇌터 정리
편집
스콜렘-뇌터 정리 (영어 : Skolem–Noether theorem )에 따르면, 아즈마야 대수의 모든 자기 동형 은 내부 자기 동형이다.[1] :142, Proposition IV.2.3
S
{\displaystyle S}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
자기 동형
f
:
A
→
A
{\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}
f
|
U
i
:
a
↦
u
i
a
u
i
−
1
∀
i
∈
I
{\displaystyle f|_{U_{i}}\colon a\mapsto u_{i}au_{i}^{-1}\qquad \forall i\in I}
가 되는
S
{\displaystyle S}
아핀 열린 덮개
{
U
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}
u
i
∈
Unit
(
Γ
(
U
i
,
A
)
)
{\displaystyle u_{i}\in \operatorname {Unit} (\Gamma (U_{i},{\mathcal {A}}))}
Unit
(
−
)
{\displaystyle \operatorname {Unit} (-)}
환 의 가역원군 을 뜻하며,
Γ
{\displaystyle \Gamma }
층 의 단면 집합을 뜻한다.)
특히,
S
=
Spec
K
{\displaystyle S=\operatorname {Spec} K}
체
K
{\displaystyle K}
스펙트럼 일 경우, 모든
K
{\displaystyle K}
A
{\displaystyle A}
자기 동형
f
:
A
→
A
{\displaystyle f\colon A\to A}
f
:
a
↦
u
a
u
−
1
{\displaystyle f\colon a\mapsto uau^{-1}}
가역원
u
∈
Unit
(
A
)
{\displaystyle u\in \operatorname {Unit} (A)}
브라우어 군과 에탈 코호몰로지
편집
스킴
S
{\displaystyle S}
Br
S
{\displaystyle \operatorname {Br} S}
G
m
{\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }}
에탈 코호몰로지 군으로 가는 표준적인 단사 군 준동형 이 존재한다.[1] :142–145, Theorem IV.2.5
ι
:
Br
S
→
H
e
´
t
2
(
S
;
G
m
)
{\displaystyle \iota \colon \operatorname {Br} S\to \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })}
구체적으로, 이는 다음과 같다.
S
{\displaystyle S}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
에탈 위치
S
e
´
t
{\displaystyle S_{\operatorname {{\acute {e}}t} }}
올범주
F
A
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {A}}}
에탈 위치 의 대상
(
ι
U
:
(
U
,
O
U
)
→
(
S
,
O
S
)
)
∈
S
e
´
t
{\displaystyle \left(\iota _{U}\colon (U,{\mathcal {O}}_{U})\to (S,{\mathcal {O}}_{S})\right)\in S_{\operatorname {{\acute {e}}t} }}
올
F
A
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {A}}(U)}
(
E
,
α
)
{\displaystyle ({\mathcal {E}},\alpha )}
O
U
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}
국소 자유 가군층
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
동형 사상
α
:
End
_
(
O
U
E
)
→
A
⊗
O
S
ι
U
∗
O
U
{\displaystyle \alpha \colon {\underline {\operatorname {End} }}(_{{\mathcal {O}}_{U}}{\mathcal {E}})\to {\mathcal {A}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}{\iota _{U}}_{*}{\mathcal {O}}_{U}}
올
F
A
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {A}}(U)}
(
E
,
α
)
→
(
E
′
,
α
′
)
{\displaystyle (E,\alpha )\to (E',\alpha ')}
동형 사상
E
→
E
′
{\displaystyle E\to E'}
이 올범주 는 스택 이자 제르브 이며,
G
m
{\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }}
G
m
(
U
)
=
Γ
(
U
,
O
U
×
)
→
Aut
U
(
E
,
α
)
{\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U}^{\times })\to \operatorname {Aut} _{U}({\mathcal {E}},\alpha )}
(
g
∈
Γ
(
U
,
O
U
×
)
)
↦
(
g
⋅
:
E
→
E
)
{\displaystyle \left(g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U}^{\times })\right)\mapsto (g\cdot \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}})}
따라서, 이 제르브 는 2차 에탈 코호몰로지 군
H
e
´
t
2
(
S
;
G
m
)
{\displaystyle \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })}
또한, 만약
S
{\displaystyle S}
연결 성분 만을 갖는다면, 단사 군 준동형
ι
:
Br
S
↪
H
e
´
t
2
(
S
;
G
m
)
{\displaystyle \iota \colon \operatorname {Br} S\hookrightarrow \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })}
상 은 꼬임 부분군
Tors
(
H
e
´
t
2
(
S
;
G
m
)
)
{\displaystyle \operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} }))}
Br
S
⊆
Tors
(
H
e
´
t
2
(
S
;
G
m
)
)
⊆
H
e
´
t
2
(
S
;
G
m
)
{\displaystyle \operatorname {Br} S\subseteq \operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} }))\subseteq \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })}
수체 위의 중심 단순 대수
편집
대수적 수체
K
{\displaystyle K}
A
{\displaystyle A}
앨버트-브라우어-하세-뇌터 정리 (영어 : Albert–Brauer–Hasse–Noether theorem )에 따르면, 만약 모든 자리
v
{\displaystyle v}
A
⊗
K
K
v
≅
Mat
(
dim
K
A
;
K
v
)
{\displaystyle A\otimes _{K}K_{v}\cong \operatorname {Mat} (\dim _{K}A;K_{v})}
라면,
A
≅
Mat
(
dim
K
A
;
K
)
{\displaystyle A\cong \operatorname {Mat} (\dim _{K}A;K)}
대수적 수론 의 국소-대역 원리의 한 예이다. 이에 따라, 대수적 수체 위의 중심 단순 대수의 분류는 국소체 위의 중심 단순 대수의 분류로 귀결된다.
체 위의 아즈마야 대수(중심 단순 대수)는 나눗셈환 의 분류의 일환으로 19세기 말부터 연구되어 왔다.
1878년에 페르디난트 게오르크 프로베니우스 는 (현대적 용어로는) 실수체
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Br
(
R
)
≅
Z
/
2
{\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbb {R} )\cong \mathbb {Z} /2}
[3] 조지프 웨더번 은 1905년에 (현대적 용어로) 유한체 의 브라우어 군이 자명하다는 것을 증명하였다 (웨더번 소정리).[4] 레너드 유진 딕슨 이 최초로 올바른 증명을 발표하였다.[5]
브라우어 군은 리하르트 브라우어 가 1932년에 정의하였다.[6]
아즈마야 고로 가 1951년에 "고유 극대 중심 대수"(영어 : proper maximally central algebra )라는 이름으로 도입하였다.[7] :128 [2] :§1.6 자유 가군 이어야 한다는 조건을 추가하였다.) 이후 1964~1965년 니콜라 부르바키 세미나에서 알렉산더 그로텐디크 가 그 정의를 일반화하여 스킴 위의 아즈마야 대수를 정의하였고, "아즈마야 대수"라는 용어를 도입하였다.[8] [9]
참고 문헌
편집
↑ 가 나 다 라 마 Milne, James S. (1980). 《Étale cohomology》 . Princeton Mathematics Series (영어) 33 . Princeton University Press. ISBN 978-0-69108238-7 Zbl 0433.14012 . ↑ 가 나 다 Millar, Judith Ruth (2010년 9월). “K -theory of Azumaya algebras” (영어). 박사 학위 논문. Queen’s University Belfast. arXiv :1101.1468 . Bibcode :2011PhDT.......288M . ↑ Frobenius, Georg (1878). “Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen” . 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 84 : 1–63. ↑ MacLagan-Wedderburn, J. H. “A theorem on finite algebras”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어). doi :10.1090/S0002-9947-1905-1500717-7 . MR 1500717 . ↑ Parshall, Karen V. H. (1983). “In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H. M. Wedderburn, Leonard E. Dickson, and Oswald Veblen”. 《Archives of International History of Science》 (영어) 33 : 274–299. ↑ Brauer, Richard (1932). “Über die algebraische Struktur von Schiefkörpern” . 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 166 : 241-248. doi :10.1515/crll.1932.166.241 . ISSN 0075-4102 . [깨진 링크 (과거 내용 찾기 )] ↑ Azumaya, Gorô (1951). “On maximally central algebras” . 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 2 : 119–150. ISSN 0027-7630 . MR 0040287 . ↑ Grothendieck, A. (1968). 〈Le groupe de Brauer〉. 《Dix exposés sur la cohomologie des schémas》 (프랑스어). Masson, North-Holland. 46–66쪽. ↑ Grothendieck, A. “Exposé № 297. Le groupe de Brauer: II. Théories cohomologiques” . 《Séminaire Bourbaki》 (프랑스어) 9 : 287–307. ISSN 0303-1179 .
Knus, Max-Albert (1991). 《Quadratic and hermitian forms over rings》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 294 . Springer-Verlag. ISBN 3-540-52117-8 Zbl 0756.11008 . Knus, Max-Albert; Ojanguren, Manuel (1974). 《Théorie de la descente et algèbres d’Azumaya》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 389 . Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0057799 . ISSN 0075-8434 . MR 0417149 . Zbl 0284.13002 . Caenepeel, Stefaan (1998). 《Brauer groups, Hopf algebras and Galois theory》. K-Monographs in Mathematics (영어) 4 . Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-0346-2 ISSN 1386-2804 . Serre, Jean-Pierre (1955). 《Applications algèbriques de la cohomologie des groupes. II: Théorie des algèbres simples》 (프랑스어). 파리 : Secrétariat mathématique. 외부 링크
편집
![{\displaystyle [{\mathcal {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8d16dd600188d1cd571b8483155ac3449dee5c)
![{\displaystyle [{\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20a13b50567190c93fb60a2b6a05de122757f10c)
