아즈마야 대수

환론대수적 수론대수기하학에서 아즈마야 대수([東屋]代數, 영어: Azumaya algebra)는 가환환 또는 스킴 위의 단위 결합 대수 가운데, 자리스키 위상에서 각 줄기가 유한 차원 자유 가군이며, 줄기의 포락 대수가 행렬환과 동형인 것이다. 대수기하학적으로, 아즈마야 대수는 올이 사영 공간올다발에 해당한다.

아즈마야 대수들의 동치류는 브라우어 군(Brauer群, 영어: Brauer group)이라는 을 정의한다. 이는 벡터 다발의 동치류들이 K군을 정의하는 것과 마찬가지다.

정의

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가환 국소환   위의 아즈마야 대수  는 다음 조건을 만족시키는  -단위 결합 대수이다.[1]:136, §IV.1

  •  -가군으로서 양의 유한 차원 자유 가군  과 동형이다.
  •  에 의하여,  이다.

여기서   의 포락 대수(영어: enveloping algebra)이다.

스킴   위의 아즈마야 대수  는 다음 조건을 만족시키는  -단위 결합 대수 이다.[1]:140, §IV.2

  •   -가군층으로서 연접층이며, 각 닫힌 점  에 대하여, 줄기  가환 국소환   위의 아즈마야 대수이다.

브라우어 군

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스킴   위의 두 아즈마야 대수  ,  에 대하여, 텐서곱   역시   위의 아즈마야 대수를 이룬다. 따라서,   위의 아즈마야 대수들은 텐서곱에 대하여 모노이드를 이룬다.

스킴   위의 두 아즈마야 대수  ,  에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는  -국소 자유 가군층   이 존재한다면, 서로 브라우어 동치(영어: Brauer-equivalent)라고 한다.[1]:§2, 141

 

이는  -아즈마야 대수의 동치 관계를 이룬다. 브라우어 동치 관계는 텐서곱은 보존하며, 따라서  -아즈마야 대수의 브라우어 동치류들은 모노이드를 이룬다. 이 모노이드는 사실 을 이루며, 이를  브라우어 군(영어: Brauer group)  라고 한다. 브라우어 군에서, 아즈마야 대수의 동치류  의 역원은 그 반대 대수층의 동치류  이다.

성질

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체 위의 아즈마야 대수

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  위의 단위 결합 대수  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  •    위의 아즈마야 대수이다.
  •  단사 함수이며,  이며,  는 유한하다.
  •  는 양의 정수 차원  -벡터 공간이며, 다음 조건을 만족시키는 유한 차수 분해 가능 확대   및 양의 정수  이 존재한다.
    •  

이와 같이, 체 위의 아즈마야 대수를 중심 단순 대수(中心單純代數, 영어: central simple algebra)라고 한다.

가환환 위의 아즈마야 대수

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가환환   위의 단위 결합 대수  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  •    위의 아즈마야 대수이다.
  •  충실한 가군이며, 사영 가군이며,   -단위 결합 대수동형 사상이다.[2]
  •  유한 생성 가군이며, 모든 극대 아이디얼  에 대하여   -중심 단순 대수이다.[2]:Theorem 1.5.3

스콜렘-뇌터 정리

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스콜렘-뇌터 정리(영어: Skolem–Noether theorem)에 따르면, 아즈마야 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형이다.[1]:142, Proposition IV.2.3 즉, 스킴   위의 아즈마야 대수  의 임의의 자기 동형  에 대하여,

 

가 되는  아핀 열린 덮개   가 존재한다. (여기서  가역원군을 뜻하며,  의 단면 집합을 뜻한다.)

특히,    스펙트럼일 경우, 모든  -중심 단순 대수  자기 동형  에 대하여  가 되는 가역원  가 존재한다.

브라우어 군과 에탈 코호몰로지

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스킴  의 브라우어 군  에서   계수의 2차 에탈 코호몰로지 군으로 가는 표준적인 단사 군 준동형이 존재한다.[1]:142–145, Theorem IV.2.5

 

구체적으로, 이는 다음과 같다.   위의 아즈마야 대수  가 주어졌을 때, 작은 에탈 위치   위에 다음과 같은 올범주  이 존재한다. 에탈 위치의 대상  에 대하여,

  •  의 대상  는 유한 차원  -국소 자유 가군층  동형 사상  의 순서쌍이다.
  •  의 사상  은 적절한 가환 그림들을 만족시키는 동형 사상  이다.

올범주스택이자 제르브이며,  는 그 위에 다음과 같이 작용한다.

 
 

따라서, 이 제르브는 2차 에탈 코호몰로지 의 원소를 표현한다.

또한, 만약  가 오직 유한 개의 연결 성분만을 갖는다면, 단사 군 준동형  꼬임 부분군  에 속한다. 즉, 이 경우 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

 

수체 위의 중심 단순 대수

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대수적 수체   위의 중심 단순 대수  가 주어졌다고 하자. 앨버트-브라우어-하세-뇌터 정리(영어: Albert–Brauer–Hasse–Noether theorem)에 따르면, 만약 모든 자리  에 대하여

 

라면,  이다. 이는 대수적 수론의 국소-대역 원리의 한 예이다. 이에 따라, 대수적 수체 위의 중심 단순 대수의 분류는 국소체 위의 중심 단순 대수의 분류로 귀결된다.

역사

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체 위의 아즈마야 대수(중심 단순 대수)는 나눗셈환의 분류의 일환으로 19세기 말부터 연구되어 왔다. 1878년에 페르디난트 게오르크 프로베니우스는 (현대적 용어로는) 실수체  의 브라우어 군  을 계산하였다 (프로베니우스 정리).[3] 조지프 웨더번은 1905년에 (현대적 용어로) 유한체의 브라우어 군이 자명하다는 것을 증명하였다 (웨더번 소정리).[4] 그러나 웨더번의 첫 증명은 약간의 결함이 있었으며, 레너드 유진 딕슨이 최초로 올바른 증명을 발표하였다.[5]

브라우어 군은 리하르트 브라우어가 1932년에 정의하였다.[6]

아즈마야 고로가 1951년에 "고유 극대 중심 대수"(영어: proper maximally central algebra)라는 이름으로 도입하였다.[7]:128[2]:§1.6 (엄밀히 말해, 아즈마야는 이 용어를 정의할 때 자유 가군이어야 한다는 조건을 추가하였다.) 이후 1964~1965년 니콜라 부르바키 세미나에서 알렉산더 그로텐디크가 그 정의를 일반화하여 스킴 위의 아즈마야 대수를 정의하였고, "아즈마야 대수"라는 용어를 도입하였다.[8][9]

같이 보기

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각주

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  1. Milne, James S. (1980). 《Étale cohomology》. Princeton Mathematics Series (영어) 33. Princeton University Press. ISBN 978-0-69108238-7. Zbl 0433.14012. 
  2. Millar, Judith Ruth (2010년 9월). “K-theory of Azumaya algebras” (영어). 박사 학위 논문. Queen’s University Belfast. arXiv:1101.1468. Bibcode:2011PhDT.......288M. 
  3. Frobenius, Georg (1878). “Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 84: 1–63. 
  4. MacLagan-Wedderburn, J. H. “A theorem on finite algebras”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어). doi:10.1090/S0002-9947-1905-1500717-7. MR 1500717. 
  5. Parshall, Karen V. H. (1983). “In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H. M. Wedderburn, Leonard E. Dickson, and Oswald Veblen”. 《Archives of International History of Science》 (영어) 33: 274–299. 
  6. Brauer, Richard (1932). “Über die algebraische Struktur von Schiefkörpern”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 166: 241-248. doi:10.1515/crll.1932.166.241. ISSN 0075-4102. [깨진 링크(과거 내용 찾기)]
  7. Azumaya, Gorô (1951). “On maximally central algebras”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 2: 119–150. ISSN 0027-7630. MR 0040287. 
  8. Grothendieck, A. (1968). 〈Le groupe de Brauer〉. 《Dix exposés sur la cohomologie des schémas》 (프랑스어). Masson, North-Holland. 46–66쪽. 
  9. Grothendieck, A. “Exposé № 297. Le groupe de Brauer: II. Théories cohomologiques”. 《Séminaire Bourbaki》 (프랑스어) 9: 287–307. ISSN 0303-1179. 
  • Knus, Max-Albert (1991). 《Quadratic and hermitian forms over rings》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 294. Springer-Verlag. ISBN 3-540-52117-8. Zbl 0756.11008. 
  • Knus, Max-Albert; Ojanguren, Manuel (1974). 《Théorie de la descente et algèbres d’Azumaya》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 389. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0057799. ISSN 0075-8434. MR 0417149. Zbl 0284.13002. 
  • Caenepeel, Stefaan (1998). 《Brauer groups, Hopf algebras and Galois theory》. K-Monographs in Mathematics (영어) 4. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-0346-2. ISSN 1386-2804. 
  • Serre, Jean-Pierre (1955). 《Applications algèbriques de la cohomologie des groupes. II: Théorie des algèbres simples》 (프랑스어). 파리: Secrétariat mathématique. 

외부 링크

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