J-준동형

대수적 위상수학에서 J-준동형(J-準同型, 영어: J-homomorphism)은 특수 직교군의 호모토피 군에서 초구의 호모토피 군으로 가는 특별한 군 준동형이다.

정의

J-준동형은 다음과 같은 군 준동형이다.

$J_{k,n}\colon \operatorname {\pi } _{k}(\operatorname {SO} (n))\to \pi _{k+n}(\mathbb {S} ^{n})\qquad (k,n\geq 2)$

여기서

• $\pi _{k}(-)$는 다양체의 $k$차 호모토피 군이다.
• $\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )$은 실수체 계수 $n\times n$ 행렬로 구성된 특수 직교군이다. 이는 리 군이므로, 특히 매끄러운 다양체를 이룬다.
• $\mathbb {S} ^{n}$은 $n$차원 초구이다. 이 역시 물론 매끄러운 다양체이다.

구체적으로, 이는 다음과 같다. 우선, 정의에 따라서, $\operatorname {SO} (n)$은 $\mathbb {S} ^{n-1}$ 위에 표준적으로 매끄럽게 작용한다.

$\operatorname {SO} (n)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{n-1},\mathbb {S} ^{n-1})$

따라서, $\operatorname {SO} (n)$의 $k$차 호모토피 군은 다음과 같은 꼴의 연속 함수의 호모토피류로 구성된다.

$\operatorname {S} ^{k}\times \mathbb {S} ^{n-1}\to \mathbb {S} ^{n-1}$

따라서, 이는 다음과 같은 호모토피류를 정의한다.

$\mathbb {S} ^{k+n}\cong \mathbb {S} ^{k}\star \mathbb {S} ^{n-1}\to \operatorname {S} (\mathbb {S} ^{n-1})\cong \mathbb {S} ^{n}$

이는 물론 $\pi _{k+n}(\mathbb {S} ^{n})$의 원소이다. 여기서 $X\star Y$는 두 위상 공간의 이음이며, $\operatorname {S} (-)$은 위상 공간의 현수이다.

또한, 만약 $n\to \infty$ 극한을 취한다면, 다음과 같은 안정 J-준동형(영어: stable J-homomomorphism)을 얻는다.

$J_{k,\infty }\colon \operatorname {\pi } _{k}(\operatorname {SO} (\infty ))\to \operatorname {\pi } _{k}^{\mathbb {S} }$

역사

하인츠 호프가 $\pi _{k}(\operatorname {SO} (k+1))\to \pi _{2k+1}(\mathbb {S} ^{k+1})$인 경우를 1935년에 구성하였다. 이후 조지 윌리엄 화이트헤드 2세(영어: George William Whitehead, Jr., 1918~2004)가 이를 $\pi _{k}(\operatorname {SO} (n))\to \pi _{k+n}(\mathbb {S} ^{n})$인 경우로 일반화하였다.

외부 링크

• “J-homomorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “J-homomorphism and chromatic homotopy”. 《nLab》 (영어).