티호노프 공간

일반위상수학에서, 티호노프 공간(Тихонов空間, 영어: Tychonoff space) 또는 T_3½ 공간(영어: T_3½ space)은 점과 닫힌집합을 연속 함수로 분리할 수 있는 하우스도르프 공간이며, 이는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 공간인 조건과 동치이다.

위상 공간의 분리공리
T0	콜모고로프 공간
T1
T2	하우스도르프 공간
T2½	우리손 공간
완전 T2½	완비 하우스도르프 공간
T3	정칙 하우스도르프 공간
T3½	티호노프 공간
T4	정규 하우스도르프 공간
T5	완비 정규 하우스도르프 공간
T6	완전 정규 하우스도르프 공간

정의

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 완비 정칙 공간(完備正則空間, 영어: completely regular space)이라고 한다.

• (점과 닫힌집합의 실함수를 통한 분리) 임의의 닫힌집합 $C\subseteq X$ 및 $x\in X\setminus C$에 대하여, $f(x)=0$이며 $f(C)=\{1\}$인 연속 함수 $f\colon X\to [0,1]$이 존재한다.^:231
• (균등화 가능성 영어: uniformizability) $X$ 위에 그 위상과 호환되는 균등 공간 구조가 존재한다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 티호노프 공간이라고 한다.

• $X$는 콜모고로프 공간이며 완비 정칙 공간이다.
• $X$는 T₁ 공간이며 완비 정칙 공간이다.^:231
• $X$는 하우스도르프 공간이며 완비 정칙 공간이다.
• $X$는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 집합과 위상 동형이다.^:231
• $X$는 콤팩트 하우스도르프 공간의 조밀 집합과 위상 동형이다.^:231
• $X$는 $[0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}$의 부분 집합과 위상동형이다.^:231 여기서 ${\mathcal {C}}(X,Y)$는 $X$에서 $Y$로 가는 연속 함수들의 집합이며, $[0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}$는 표준 위상을 부여한 단위 구간 $[0,1]$의 $|{\mathcal {C}}(X,[0,1])|$개 만큼의 곱공간이다. 이는 티호노프의 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
• $X$에서 그 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta X$로 가는 연속 함수 $\iota \colon X\to \beta X$에 대하여, $X$는 그 상과 위상 동형이다.
• $X$ 위에, 그 위상과 호환되는 하우스도르프 균등 공간 구조가 존재한다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^:231–232

정규 하우스도르프 공간(T₄) ⊊ 티호노프 공간(T_3½) ⊊ (정칙 하우스도르프 공간(T₃) ∩ 완비 하우스도르프 공간)

완비 정칙 공간의 부분 공간은 완비 정칙 공간이다. 완비 정칙 공간의 임의 개수 곱공간은 완비 정칙 공간이다.^:141:211 하우스도르프 공간의 부분 공간과 곱공간은 하우스도르프 공간이므로, 티호노프 공간의 부분 공간과 임의 개수 곱공간 역시 티호노프 공간이다.

증명:

완비 정칙 공간 $X$와 그 부분 공간 $Y\subseteq X$가 주어졌다고 하자. 닫힌집합 $C\subseteq Y$ 및 $y\in Y\setminus F$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $C=F\cap Y$인 닫힌집합 $F\subseteq X$가 존재하며, 이에 대하여 $f(y)=0$, $f(F)=\{1\}$인 연속 함수 $f\colon X\to [0,1]$이 존재한다. $g=f\upharpoonright Y$라고 하자. 그렇다면 $g$는 연속 함수이며, $g(y)=0$ 및 $g(C)=\{1\}$을 만족시킨다.

완비 정칙 공간들의 집합 $\{X_{i}\}_{i\in I}$가 주어졌다고 하자. 곱공간 $X=\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}$의 닫힌집합 $C$ 및 $x\in X\setminus C$가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 $x$의 열린 근방 $\textstyle \prod _{i\in I}U_{i}$를 취하자.

$x\in \prod _{i\in I}U_{i}\subseteq X\setminus C$

$U_{i}\in \operatorname {Open} (X_{i})$

$U_{i}=X_{i}\qquad \forall i\in I\setminus \{i(1),\dots ,i(n)\}$

그렇다면 각 $j\in \{1,\dots ,n\}$에 대하여, $f_{j}(x_{i(j)})=0$, $f_{j}(X_{i(j)}\setminus U_{i(j)})=\{1\}$인 연속 함수 $f_{j}\colon X_{i(j)}\to [0,1]$이 존재한다.

$g\colon X\to [0,1]$

$g\colon y\mapsto 1-(1-f_{1}(y_{i(1)}))\cdots (1-f_{n}(y_{i(n)}))$

라고 하자. 그렇다면 $g$는 연속 함수이며, $g(x)=0$ 및 $g(C)=\{1\}$을 만족시킨다.

역사

안드레이 니콜라예비치 티호노프의 이름이 붙어 있다.

같이 보기

• 우리손 공간
• 정칙 공간
• 정규 공간

외부 링크

• “Tikhonov space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Tychonoff space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Completely regular space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Tychonoff space”. 《nLab》 (영어).