티호노프 공간
일반위상수학에서, 티호노프 공간(Тихонов空間, 영어: Tychonoff space) 또는 T3½ 공간(영어: T3½ space)은 점과 닫힌집합을 연속 함수로 분리할 수 있는 하우스도르프 공간이며, 이는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 공간인 조건과 동치이다.
위상 공간의 분리공리 | |
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T0 | 콜모고로프 공간 |
T1 | |
T2 | 하우스도르프 공간 |
T2½ | 우리손 공간 |
완전 T2½ | 완비 하우스도르프 공간 |
T3 | 정칙 하우스도르프 공간 |
T3½ | 티호노프 공간 |
T4 | 정규 하우스도르프 공간 |
T5 | 완비 정규 하우스도르프 공간 |
T6 | 완전 정규 하우스도르프 공간 |
정의편집
위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 완비 정칙 공간(完備正則空間, 영어: completely regular space)이라고 한다.
- (점과 닫힌집합의 실함수를 통한 분리) 임의의 닫힌집합 및 에 대하여, 이며 인 연속 함수 이 존재한다.[1]
- (균등화 가능성 영어: uniformizability) 위에 그 위상과 호환되는 균등 공간 구조가 존재한다.
위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 티호노프 공간이라고 한다.
- 는 콜모고로프 공간이며 완비 정칙 공간이다.
- 는 T1 공간이며 완비 정칙 공간이다.[1]
- 는 하우스도르프 공간이며 완비 정칙 공간이다.
- 는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 집합과 위상 동형이다.[1]
- 는 콤팩트 하우스도르프 공간의 조밀 집합과 위상 동형이다.[1]
- 는 의 부분 집합과 위상동형이다.[1] 여기서 는 에서 로 가는 연속 함수들의 집합이며, 는 표준 위상을 부여한 단위 구간 의 개 만큼의 곱공간이다. 이는 티호노프의 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
- 에서 그 스톤-체흐 콤팩트화 로 가는 연속 함수 에 대하여, 는 그 상과 위상 동형이다.
- 위에, 그 위상과 호환되는 하우스도르프 균등 공간 구조가 존재한다.
성질편집
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[1]
- 정규 하우스도르프 공간(T4) ⊊ 티호노프 공간(T3½) ⊊ (정칙 하우스도르프 공간(T3) ∩ 완비 하우스도르프 공간)
완비 정칙 공간의 부분 공간은 완비 정칙 공간이다. 완비 정칙 공간의 임의 개수 곱공간은 완비 정칙 공간이다.[2][3] 하우스도르프 공간의 부분 공간과 곱공간은 하우스도르프 공간이므로, 티호노프 공간의 부분 공간과 임의 개수 곱공간 역시 티호노프 공간이다.
역사편집
안드레이 니콜라예비치 티호노프의 이름이 붙어 있다.
같이 보기편집
참고 문헌편집
- ↑ 가 나 다 라 마 바 유정옥 (2013). 《알기쉬운 위상수학》 2판. 교우사. ISBN 978-89-8172-528-0.
- ↑ James, I. M. (1987). 《Topological and Uniform Spaces》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). New York, NY: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4716-6. ISBN 978-1-4612-9128-2. ISSN 0172-6056. Zbl 0625.54001.
- ↑ Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
외부 링크편집
- “Tikhonov space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Tychonoff space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Completely regular space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Tychonoff space”. 《nLab》 (영어).