관성 모멘트 목록

관성 모멘트

관성 모멘트는 질량 × 길이² 의 차원을 갖는다. 다음의 목록은 한 알갱이(질점)에 대한 관성 모멘트 $\int r^{2}\,dm$ 로부터 유도되었다.


설명	관성 모멘트	비고
반지름이 $r$ 이고 질량이 $m$ 인 속이 빈 위 아래로 뚫려있는 원기둥	$I=mr^{2}\,$	—
안쪽 반지름이 $r_{1}$ , 바깥 반지름이 $r_{2}$ 이고 질량이 $m$ 인 두꺼운 원기둥	$I_{z}={\frac {1}{2}}m({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2})$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m[3({r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2})+h^{2}]$ 또는 $t_{n}={\frac {t}{r}}$ 이고 $r=r_{2}$ 라고 하면 $I_{z}=mr^{2}(1-t_{n}+{\frac {1}{2}}t_{n}^{2})$	—
반지름 $r$ , 높이 $h$ , 질량 $m$ 인 원기둥	$I_{z}={\frac {1}{2}}mr^{2}$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m(3r^{2}+h^{2})$	—
반지름 $r$ , 질량 $m$ 인 얇은 원판	$I_{z}={\frac {1}{2}}mr^{2}$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{4}}mr^{2}$	—
반지름 $r$ , 질량 $m$ 인 구	$I={\frac {2}{5}}mr^{2}$	—
반지름 $r$ , 질량 $m$ 인 구 껍질	$I={\frac {2}{3}}mr^{2}$	—
반지름 $r$ , 높이 $h$ , 질량 $m$ 인 직원뿔	$I_{z}=(3/10)mr^{2}\,\!$ $I_{x}=I_{y}=(3/5)m(r^{2}/4+h^{2})\,\!$	—
높이 $h$ , 너비 $w$ , 깊이 $d$ , 질량 $m$ 인 직육면체	$I_{h}={\frac {1}{12}}m(w^{2}+d^{2})$ $I_{w}={\frac {1}{12}}m(h^{2}+d^{2})$ $I_{d}={\frac {1}{12}}m(h^{2}+w^{2})$	모서리 길이 $s$ , 질량 $m$ 인 정육면체의 경우, $I_{CM}={\frac {1}{6}}ms^{2}$ .
길이 $L$ , 질량 $m$ 인 막대	$I_{center}={\frac {1}{12}}mL^{2}$	가느다란 선(강체)에 질량이 분포되어 있다고 가정한 근사값임.
길이 $L$ , 질량 $m$ 인 막대	$I_{end}={\frac {1}{3}}mL^{2}$	가느다란 선(강체)에 질량이 분포되어 있다고 가정한 근사값임.
반지름 $a$ , 단면 반지름 $b$ , 질량 $m$ 인 원환체(토러스)	지름에 대해서: ${\frac {1}{8}}(4a^{2}+5b^{2})m$ 수직축에 대해서: $(a^{2}+{\frac {3}{4}}b^{2})m$	—
꼭짓점이 ${\vec {P}}_{1}$ , ${\vec {P}}_{2}$ , ${\vec {P}}_{3}$ , ..., ${\vec {P}}_{N}$ , 질량 $m$ 인 얇은 다각형 판	$I={\frac {m}{6}}{\frac {\sum _{n=1}^{N}\|\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\|\|({\vec {P}}_{n+1}^{2}+{\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n}+{\vec {P}}_{n}^{2})}{\sum _{n=1}^{N}\|\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\|\|}}$	${\begin{Vmatrix}{\overrightarrow {P}}_{n}\end{Vmatrix}}$ 는 ${\overrightarrow {P}}_{n}$ 의 크기를 이야기하는 것이다.

단면 이차 모멘트

단면 이차 모멘트는 길이⁴ 을 차원으로 갖는다. 아래는 따로 언급하지 않으면, 도심(또는 질량중심)을 지나는 수평축에 대한 단면 이차 모멘트의 목록이다.

설명	단면 이차 모멘트	비고
반지름 $r\,$ (지름 D)인 원	$I_{0}=\pi r^{4}/4=\pi D^{4}/64$
안쪽 반지름 $r_{1}$ , 바깥쪽 반지름 $r_{2}$ 인 가운데가 빈 원	$I_{0}={\frac {1}{4}}\pi ({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4})$
단면의 도심과 원의 중심을 지나는 수평축에 대해 각도 $\theta \,$ (라디안), 반지름 $r\,$ 인 원호	$I_{0}=\left(\theta -\sin \theta \right){\frac {r^{4}}{8}}\,$
반지름 $r\,$ 인 반원	$I_{0}=\left({\frac {\pi }{8}}-{\frac {8}{9\pi }}\right)r^{4}\,$	단면의 도심을 지나는 축에 대한 값.
반지름 $r\,$ 인 반원	$I=\pi r^{4}/8\,$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리에 의해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리는 $4r/3\pi \,$ ).
반지름 $r\,$ 인 반원	$I_{0}=\pi r^{4}/8\,$	단면의 도심을 지나는 수직축에 대한 값.
반지름 $r\,$ 이고 1사분면에 놓여 있는 사분원	$I=\pi r^{4}/16\,$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값.
반지름 $r\,$ 이고 1사분면에 놓여 있는 사분원	$I_{0}=\left({\frac {\pi }{16}}-{\frac {4}{9\pi }}\right)r^{4}\,$	단면의 도심을 지나는 수평 또는 수직축에 대한 값. 평행축 정리에 의해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리는 $4r/3\pi \,$ ).
x 반지름 $a\,$ , y 반지름 $b\,$ 인 타원	$I_{0}=\pi ab^{3}/4\,$
너비 $b\,$ , 높이 $h\,$ 인 직사각형	$I_{0}=bh^{3}/12\,$
너비 $b\,$ , 높이 $h\,$ 인 직사각형	$I=bh^{3}/3\,$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값.
밑변 $b\,$ , 높이 $h$ 인 삼각형	$I_{0}=bh^{3}/36\,$
밑변 $b\,$ , 높이 $h$ 인 삼각형	$I=bh^{3}/12\,$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리를 이용해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리 $h/3\,$ ).
한 변의 길이가 $a\,$ 인 육각형	$I_{0}=5{\sqrt {3}}a^{4}/16\,$	단면의 도심을 지나는 임의의 수직축, 수평축에 대해서 동일하다.