환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 은 위상 공간 X {\displaystyle X} 와 그 위의 가환환 의 층 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 의 순서쌍 이다. O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 를 X {\displaystyle X} 의 구조층 (構造層, 영어 : structure sheaf )라고 한다.
두 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} , ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} 사이의 사상 (寫像, 영어 : morphism of ringed spaces ) ( f , f # ) {\displaystyle (f,f^{\#})} 은 다음과 같은 순서쌍 이다.
f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 는 연속 함수 이다.
f # : O Y → f ∗ O X {\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}} 는 가환환 의 층의 사상이다. 구체적으로, X {\displaystyle X} 의 각 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 에 대하여, f U # : O Y ( U ) → O X ( f − 1 ( U ) ) {\displaystyle f_{U}^{\#}\colon O_{Y}(U)\to O_{X}(f^{-1}(U))} 는 환 준동형 이며, 이는 제한 사상과 호환되어야 한다.국소환 달린 공간
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국소환 달린 공간 (局所環달린空間, 영어 : locally ringed space )은 구조층의 모든 줄기 가 국소환 인 환 달린 공간이다. (각 열린집합 U {\displaystyle U} 에 대해 O X ( U ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)} 가 국소환일 필요는 없다.)
두 국소환 달린 공간 사이의 사상 (寫像, 영어 : morphism of locally ringed spaces ) ( f , f # ) : ( X , O X ) → ( Y , O Y ) {\displaystyle (f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} 은 다음과 같은 환 달린 공간의 사상이다.
임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, f # {\displaystyle f^{\#}} 로 인하여 유도되는 줄기 사이의 환 준동형 O Y , f ( x ) → O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}} 아래, O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} 의 유일한 극대 아이디얼 의 원상 은 O Y , f ( x ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}} 의 유일한 극대 아이디얼 과 같다. 열린 몰입
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환 달린 공간 사상 ( f , f # ) : ( X , O X ) → ( Y , O Y ) {\displaystyle (f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} 이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 열린 몰입 (영어 : open immersion )이라고 한다.
f {\displaystyle f} 의 치역 f ( X ) {\displaystyle f(X)} 은 열린집합 이며, f {\displaystyle f} 는 치역으로의 위상 동형 을 정의한다.
f # : O Y → f ∗ O X {\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}} 이 층 의 동형 사상 O Y | f ( X ) → f ∗ O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}|_{f(X)}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}} 을 유도한다.환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 및 X {\displaystyle X} 의 열린집합 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 가 주어졌을 때, ( U , O X | U ) {\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})} 는 환 달린 공간을 이루며, 자연스러운 포함 사상 ( U , O X | U ) → ( X , O X ) {\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})\to (X,{\mathcal {O}}_{X})} 은 열린 몰입을 이룬다. 만약 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 가 국소환 달린 공간이라면 ( U , O X | U ) {\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})} 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.
모든 열린 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 열린 몰입은 그 치역 에 따라 결정된다.
닫힌 몰입
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환 달린 공간 사상 ( f , f # ) : ( X , O X ) → ( Y , O Y ) {\displaystyle (f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} 이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 닫힌 몰입 (영어 : closed immersion )이라고 한다.
f {\displaystyle f} 의 치역 은 닫힌집합 이며, f {\displaystyle f} 는 치역으로의 위상 동형 을 정의한다.
f # : O Y → f ∗ O X {\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}} 는 가환환 값의 층 의 전사 사상 이다. 즉, 모든 줄기 사상 O Y , f ( x ) → O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}} 은 전사 함수 이다.환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의 아이디얼 층 I ⊆ O X {\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 지지 집합 supp I ⊆ X {\displaystyle \operatorname {supp} {\mathcal {I}}\subseteq X} 은 닫힌집합 이다. supp I ⊆ X {\displaystyle \operatorname {supp} {\mathcal {I}}\subseteq X} 위의 몫층 O X / I {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}} 을 정의할 수 있으며, ( supp I , O X / I ) → ( X , O X ) {\displaystyle (\operatorname {supp} {\mathcal {I}},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})\to ({\mathcal {X}},{\mathcal {O}}_{X})} 는 닫힌 몰입을 이룬다. 만약 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 가 국소환 달린 공간이라면 ( supp I , O X / I ) {\displaystyle (\operatorname {supp} {\mathcal {I}},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})} 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.
모든 닫힌 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 닫힌 몰입은 그 아이디얼 층 에 따라 결정된다. 이름과 달리, 닫힌 몰입은 그 지지 집합 인 닫힌집합 에 의하여 결정되지 않는다.
모든 스킴 은 국소환 달린 공간이다.
국소 유클리드 공간 M {\displaystyle M} 위에 실수 값의 연속 함수 의 층 C 0 ( M ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(M;\mathbb {R} )} 을 부여한다면, ( M , C 0 ( M ; R ) ) {\displaystyle (M,{\mathcal {C}}^{0}(M;\mathbb {R} ))} 은 국소환 달린 공간을 이룬다.
마찬가지로, 매끄러운 다양체 M {\displaystyle M} 위에 실수 값의 매끄러운 함수 의 층 C ∞ ( M ; R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )} 을 부여한다면, ( M , C ∞ ( M ; R ) ) {\displaystyle (M,{\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} ))} 은 국소환 달린 공간을 이룬다.
마찬가지로, 복소다양체 M {\displaystyle M} 위에 복소수 값의 정칙 함수 의 층 O M {\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}} 을 부여한다면, ( M , O M ) {\displaystyle (M,{\mathcal {O}}_{M})} 은 국소환 달린 공간을 이룬다.