구조 다양체

미분기하학에서 구조 다양체(영어: $G$-structure manifold)는 그 접다발이 어떤 리 군의 작용을 갖춘 매끄러운 다양체이다.

정의

리 군 $G$ 및 $G$의 충실한 유한 차원 실수 표현

$\rho \colon G\to \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )$

이 주어졌다고 하자. $(G,\rho )$-구조 다발은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $V$와 같은 차원의 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
• $E$의 틀다발 $\operatorname {F} (E)$의 부분 다발인 $G$-주다발 $P\subseteq \operatorname {F} (E)$

즉, 각 점 $x\in M$에서, 특별한 틀

$\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {E} _{x}$

들의 집합이 존재하며, 이 틀들의 집합에는 추이적 오른쪽 $G$-작용이 존재한다.

이는 사실 $E$와 $P\times _{G}\mathbb {R} ^{n}$ 사이의 벡터 다발 동형 사상과 동치이다.

그 접다발이 $(G,\rho )$-구조를 갖는 매끄러운 다양체를 $(G,\rho )$-구조 다양체라고 한다. 이 경우, $(G,\rho )$-구조는 어떤 1차 미분 형식

$\Omega ^{1}(M;P\times _{G}\mathbb {R} ^{n})$

에 의하여 주어지는데, 이를 접착 형식(영어: solder form)이라고 한다.

호환 접속

$G$-구조 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$의 호환 접속(영어: compatible connection)은 코쥘 접속

$\nabla \colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} ^{*}M\otimes E)$

가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.

• 임의의 폐곡선 $\gamma \colon [0,1]\to M$ ($\gamma (0)=\gamma (1)$)에 대하여, $\gamma$에 대한 홀로노미 $\operatorname {Hol} _{\gamma }\in \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )$는 $G$에 속한다.

$(E,P)$ 위의 $G$-호환 접속들의 공간은

$\Omega ^{1}(M;P\times _{G}{\mathfrak {g}})$

위의 아핀 공간을 이룬다.

이 경우, 접속 $\nabla$의 곡률

$F_{\nabla }(X,Y)\in {\mathfrak {gl}}(E)$

은 다음과 같은 2차 미분 형식을 이룬다.

$F\in \Omega ^{2}(M;P\times _{G}{\mathfrak {g}})$

예

다음과 같이, 다양한 미분기하학적 구조들은 $G$-구조 다양체의 개념의 특수한 경우이다.

$\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )$	매끄러운 다양체
$\operatorname {GL} ^{+}(n;\mathbb {R} )$	유향 다양체
$\operatorname {GL} (n/2;\mathbb {C} )$	개복소다양체
$\operatorname {O} (n;\mathbb {R} )$	리만 다양체
$\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )$	유향 리만 다양체
$\operatorname {O} (p,n-p;\mathbb {R} )$	부호수 $(p,n-p)$의 준 리만 다양체
$\operatorname {Sp} (n;\mathbb {R} )$	준 심플렉틱 다양체
${\mathsf {G}}_{2}\leq \operatorname {GL} (7;\mathbb {R} )$	G₂ 다양체

참고 문헌

• Chern, Shiing-shen (1966). “The geometry of G-structures”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 72: 167–219. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11473-8. MR 0192436.