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정의편집

군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다고 하자.

 

즉,

 

이다. 그렇다면   에 의한  확대(영어: extension of Q by N)라고 한다.

만약   중심의 부분군이라면, 즉

 

이라면 이를 중심 확대(中心擴大, 영어: central extension)라고 한다.

  로의 두 확대

 
 

에 대하여, 만약 다음 그림

 

을 가환하게 하는 군 동형  이 존재한다면,   을 서로 동형인 확대라고 한다.

분류편집

군의 확대들의 동형류들은 2차 군 코호몰로지에 의하여 분류된다.

아벨 군의 범주 속에서의 확대편집

  가 아벨 군이며, 확대된 군   역시 아벨 군이라고 하자. 이러한 군의 확대는 Ext 함자에 의하여 분류된다. 구체적으로, 이러한 아벨 군의 범주 속에서의 확대들의 동형류들은

 

과 표준적으로 일대일 대응한다.

아벨 정칙 부분군의 경우편집

 이 아벨 군이라고 하자. 그렇다면,   에 대한 분류들은 다음과 같은 집합과 표준적으로 일대일 대응한다.

 

여기서   을 작용  를 갖춘  -가군으로 보았을 때의 2차 군 코호몰로지이다. 즉, 군의 확대  가 주어졌을 때, 자연스러운 준동형

 
 

이 유도되는데, 주어진 준동형  에 대응하는 확대들은 2차 군 코호몰로지  과 표준적으로 대응한다. 이는 반직접곱  가 표준적인 밑점(영어: basepoint)을 제공하기 때문이다.

특히,  아벨 군  에 대한 중심 확대는 자명한 작용  에 대응하며, 중심 확대는 자명한  -가군 계수의 2차 군 코호몰로지  와 표준적으로 일대일 대응한다.

무중심 정칙 부분군의 경우편집

 중심이 자명군일 경우,   에 대한 확대의 동형류들은 군 준동형

 

과 일대일 대응한다.[1]:106, Corollary 6.8; Exercise 6.1 이는 가환 그림

 

에서,   으로부터 완전히 결정되기 때문이다. 특히,  이 자명한 중심을 갖고, 또한 외부자기동형군 역시 자명하다면,  의 모든 확대는 직접곱이다. 이러한 조건을 만족시키는 군을 완비군(完備群, 영어: complete group)이라고 한다.

외부 자기 동형을 갖지 않는 정칙 부분군의 경우편집

만약  자명군이라면, 준동형  은 자명한 준동형밖에 없다. 이 경우, 모든 확대들은 2차 군 코호몰로지  와 표준적으로 일대일 대응하며,  직접곱  에 대응한다.

구체적으로,

 

이므로, 짧은 완전열

 

이 존재한다.  이 아벨 군이며,   에 대한 작용은 자명하므로 가능한  들은  과 표준적으로 일대일 대응하며, 주어진  에 대하여  짧은 완전열

 

에서 유일하게 결정된다.

일반적 정칙 부분군의 경우편집

일반적인  의 경우, 군의 확대의 동형류들은 여전히 2차 코호몰로지와 일대일 대응하지만, 밑점(영어: basepoint)이 유일하지 않으므로 이 대응은 더 이상 표준적이지 않다.

구체적으로, 확대

 

가 주어졌을 때, 표준적인 군 준동형

 

이 존재한다. 임의의 준동형  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:105, Theorem 6.7

  •  를 유도하는 군의 확대  가 존재한다.
  • 어떤 특정한  에 대하여,  이다.

즉,  를 통한 확대의 존재에 대한 걸림돌은 3차 군 코호몰로지의 특정 원소이다.

만약 위 조건이 성립한다면,  를 통한 임의의 두 확대  에 대하여, 둘의 "차이"를 표준적으로  과 일대일 대응시킬 수 있다.[1]:105, Theorem 6.6 즉,  를 통한 확대들은  과 일대일 대응하지만, 이 대응은 표준적이지 않다. 다만,  가 자명한 작용일 경우, 자명한 확대  를 밑점으로 삼으면 표준적인 일대일 대응을 얻는다.

구체적으로, 이 걸림돌  는 다음과 같다.[1]:105, Theorem 6.7 완전열

 

에 의하여, 원소

 

가 주어진다. 또한, 군 준동형  에 의하여, 코호몰로지 군 사이의 준동형

 

이 주어진다. 그렇다면

 

이다.

참고 문헌편집

  1. Brown, K. 《Cohomology of groups》 (영어). 

외부 링크편집

같이 보기편집