그린 정리

미적분학에서 그린 정리(영어: Green’s theorem)는 평면 영역 위의 이중 적분과, 그 영역의 경계선 위의 선적분 사이의 관계에 대한 정리이다. 스토크스 정리의 특수한 경우다.

정의

연속 미분 가능 함수 $(P,Q)\colon D\to \mathbb {R} ^{2}$의 정의역 $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$가 어떤 유계 영역의 폐포라고 하자. 또한, 경계선 $\partial D$가 양의 방향을 가지며, 유한 개의 조각마다 매끄러운 단순 닫힌곡선들로 이루어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립하며, 이를 그린 정리라고 한다.

$\oint _{\partial D}Pdx+Qdy=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dxdy$

만약 $D$가 단일 연결 공간이라면, $\partial D$는 하나의 단순 닫힌곡선이며, 그 방향은 반시계 방향이다. 만약 $D$가 단일 연결 공간이 아니라면, $\partial D$는 여러 개의 단순 닫힌곡선이며, 가장 바깥쪽의 하나는 반시계 방향, 남은 곡선들은 시계 방향이다.

그린 정리는 곡면 위의 면적분과 그 경계선 위의 선적분의 관계에 대한 정리인 켈빈-스토크스 정리의 특수한 경우이다.

예시

평면위의 각 점마다 벡터가 다음과 같이 할당되어 있다.

$\mathbf {F} (x,y)=(x-y)\mathbf {i} +x\mathbf {j}$

적분영역 $D$는 원점을 중심으로 반지름이 1인 단위원이다.

$\mathbf {r} (t)=(\cos t)\mathbf {i} +(\sin t)\mathbf {j}$

이 벡터함수에 대해 그린정리의 좌변과 우변을 각각 계산하여 등식이 성립하는지 확인한다.

우변

벡터함수의 편미분들을 계산한다.

${\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}=-1,\,{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}=1$

$\iint _{D}\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)dA=\iint _{D}(1-(-1))dxdy=2\iint _{D}dxdy=2\pi$

마지막의 등식이 성립하는 이유는 이중적분이 그냥 면적이 되기 때문이다.

좌변

원위의 점을 따라가며 형성되는 벡터함수 값을 찾는다.

$F_{1}=\cos t-\sin t,\,F_{2}=\cos t$

선적분에 필요한 연쇄법칙(Chain rule)을 계산한다.

$dx=d(\cos t)=-\sin tdt,\,dy=d(\sin t)=\cos tdt$

반시계 방향으로 회전하며 우변을 적분한다.

$\int _{C}{F_{1}dx+F_{2}dy}=\int _{t=0}^{t=2\pi }(\cos t-\sin t)(-\sin tdt)+(\cos t)(\cos tdt)=\int _{0}^{2\pi }(-\sin t\cos t+1)dt=2\pi$

좌변과 우변이 같음을 확인할 수 있다.

같이 보기

• 그린의 항등식

외부 링크

• 이철희. “그린 정리”. 《수학노트》. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Green's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Curl theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Green's theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of Green's theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Green's theorem”. 《ProofWiki》 (영어).