그린 정리

미적분학에서 그린 정리(영어: Green’s theorem)는 평면 영역 위의 이중 적분과, 그 영역의 경계선 위의 선적분 사이의 관계에 대한 정리이다. 스토크스 정리의 특수한 경우다.

정의편집

연속 미분 가능 함수  의 정의역  가 어떤 유계 영역폐포라고 하자. 또한, 경계선  가 양의 방향을 가지며, 유한 개의 조각마다 매끄러운 단순 닫힌곡선들로 이루어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립하며, 이를 그린 정리라고 한다.

 

만약  단일 연결 공간이라면,  는 하나의 단순 닫힌곡선이며, 그 방향은 반시계 방향이다. 만약  가 단일 연결 공간이 아니라면,  는 여러 개의 단순 닫힌곡선이며, 가장 바깥쪽의 하나는 반시계 방향, 남은 곡선들은 시계 방향이다.

그린 정리는 곡면 위의 면적분과 그 경계선 위의 선적분의 관계에 대한 정리인 켈빈-스토크스 정리의 특수한 경우이다.

예시편집

평면위의 각 점마다 벡터가 다음과 같이 할당되어 있다.[1]

 

적분영역  는 원점을 중심으로 반지름이 1인 단위원이다.

 

이 벡터함수에 대해 그린정리의 좌변과 우변을 각각 계산하여 등식이 성립하는지 확인한다.

우변편집

벡터함수의 편미분들을 계산한다.

 
 

마지막의 등식이 성립하는 이유는 이중적분이 그냥 면적이 되기 때문이다.

좌변편집

원위의 점을 따라가며 형성되는 벡터함수 값을 찾는다.

 

선적분에 필요한 연쇄법칙(Chain rule)을 계산한다.

 

반시계 방향으로 회전하며 우변을 적분한다.

 

좌변과 우변이 같음을 확인할 수 있다.

같이 보기편집

  • 그린의 항등식

각주편집

  1. George B., Thomas; Ross L., Finney (1999). 《Calculus and Analytic Geometry》 9판. ADDISON WESLEY. 1136쪽. ISBN 978-0-201-35036-4. 

외부 링크편집