유니터리 작용소
함수해석학에서 유니터리 작용소(unitary作用素, 영어: unitary operator)는 힐베르트 공간의 자기동형사상이다. 즉, 내적을 보존시키는 전단사 선형 변환이다.
정의
편집힐베르트 공간 위의 유계 작용소 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유계 작용소를 유니터리 작용소라고 한다.
만약 마지막 조건에서 상에 대한 조건을 생략할 경우, 는 등거리 변환이라고 한다. 이는 유니터리 작용소보다 더 약한 개념이다. 등거리사상은 를 만족시키지만, 는 만족시키지 않을 수 있다.
예
편집항등 함수 는 항상 유니터리 작용소이다.
유한 차원 실수 힐베르트 공간의 경우, 유니터리 작용소는 직교행렬이다. 유한 차원 복소 힐베르트 공간의 경우, 유니터리 작용소는 유니터리 행렬이다.
힐베르트 공간 의 기저 위의 대칭군 의 원소 로부터 유도되는 선형변환
은 유니터리 작용소이다. 대신, 가 단사 함수이지만 전사 함수가 아니라면, 이는 등거리 변환이지만 유니터리 작용소가 아니다.
유클리드 공간 위의 복소수 L2 공간 위의 푸리에 변환 연산자
는 유니터리 작용소이다.
참고 문헌
편집- Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 99. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. MR 2499016. Zbl 1166.81004.
외부 링크
편집- Sobolev, V.I. (2001). “Unitary operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.