나폴레옹 정리

기하학에서, 나폴레옹 정리(Napoléon定理, 영어: Napoleon theorem)는 주어진 삼각형의 각 변 위에 모두 외부를 향하거나 모두 내부를 향하도록 덧그린 정삼각형의 중심을 이어 만든 삼각형은 정삼각형이라는 정리이다.

나폴레옹 정리 도해

정의편집

삼각형  의 외측에서 삼각형  ,  ,  정삼각형이 되게 만드는 점  ,  ,  를 잡고 (예를 들어   에 대하여  의 반대쪽에 위치한다), 정삼각형  ,  ,  무게 중심을 각각  ,  ,  라고 하자. 마찬가지로, 삼각형  의 내측에서 삼각형  ,  ,  가 정삼각형이 되게 만드는 점  ,  ,  를 잡고 (예를 들어   에 대하여  와 같은 쪽에 위치한다), 정삼각형  ,  ,  의 무게 중심을 각각  ,  ,  라고 하자. 나폴레옹 정리에 따르면, 삼각형   은 모두 정삼각형이다.

삼각형  를 삼각형  외측 나폴레옹 삼각형(外側Napoléon三角形, 영어: outer Napoleon triangle)이라고 하고, 삼각형  를 삼각형  내측 나폴레옹 삼각형(內側Napoléon三角形, 영어: inner Napoleon triangle)이라고 한다. 즉, 나폴레옹 정리는 임의의 삼각형의 내측 및 외측 나폴레옹 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.

역사편집

1825년에 영국의 수학자 윌리엄 러더퍼드(영어: William Rutherford)가 《레이디스 다이어리》(영어: The Ladies' Diary)의 〈새로운 수학 문제〉(영어: New Mathematical Questions)란에 기고한 글에서 처음 공개되었다.[1]:495

프랑스의 황제 나폴레옹 보나파르트의 이름이 붙었으나, 나폴레옹이 제시한 결과라는 증거는 존재하지 않는다.[1]:497

증명편집

다음은 외측 나폴레옹 삼각형에 대한 증명들이다. 일부는 내측 나폴레옹 삼각형에 대해서도 적용 가능하다.

닮음을 통한 증명편집

외측 나폴레옹 삼각형  의 세 변의 길이가 같다는 사실을 보이자.   에 대해서만 보이면 족하다. 정삼각형의 무게 중심과 내심은 일치하므로,  ,  ,  는 각각 정삼각형  ,  ,  의 세 내각의 이등분선의 교점이다. 특히

 

이며, 양변에  를 더하면

 

를 얻는다. 또한

 

이므로, 삼각형   는 서로 닮음이다. 다시 말해, 삼각형   를 중심으로 30도 회전한 뒤  를 중심으로 하고  를 비로 하는 중심 닮음 변환을 가하면 삼각형  를 얻으므로, 두 삼각형은 서로 닮음이다. 마찬가지로, 삼각형    역시 서로 닮음이며, 이에 대한 닮음비 역시  이다. 따라서

 

가 성립한다.

외접원을 통한 증명편집

우선 삼각형  ,  ,  의 외접원이 같은 점을 지난다는 사실을 보이자.[2]:61-63, §3.3 편의상 삼각형  ,  외접원 가 아닌 교점을  라고 하자. 편의상   ,  에 대하여 각각  ,  와 같은 쪽에 위치한다고 하자. 그렇다면

 
 

이므로

 

이며,  는 삼각형  의 외접원 위의 점이다. 즉, 세 외접원은 모두 이 점을 지난다.

이제 외측 나폴레옹 삼각형  의 세 내각이 60도라는 사실을 보이자. 편의상  에 대해서만 보이면 족하다. 삼각형   의 외접원의 중심선  는 공통현  수직 이등분선이다. 마찬가지로 삼각형   의 외접원의 중심선   역시 공통현  의 수직 이등분선이다. 따라서

 

이다.

삼각법적 증명편집

외측 나폴레옹 삼각형  의 변  의 길이를 원래 삼각형  의 세 변의 길이  ,  ,  에 대한 함수로 나타내자. 이 함수가 대칭 함수라면 남은 두 변  ,  의 길이 역시 같은 함수로 표현되므로 증명이 완성된다. 삼각형  에서

 
 

이므로, 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다.

 

여기서  는 삼각형  의 넓이이다. 마지막 함수는  ,  ,  의 순열에 대하여 불변이므로 대칭 함수가 맞다.

나폴레옹 삼각형의 성질편집

변의 길이와 넓이편집

삼각형  의 꼭짓점  ,  ,  의 대변의 길이를  ,  ,  라고 하고, 넓이 라고 할 경우, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형  ,  의 변의 길이는

 
 

이며, 넓이는

 
 

이다. 특히, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 넓이의 차는 원래 삼각형의 넓이와 같다.[2]:64, Theorem 3.38

무게 중심편집

삼각형의 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심은 같다.[2]:65, §3.3, Exercise 4 또한 이는 원래 삼각형의 무게 중심과 일치한다. 다음은 외측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심이 원래 삼각형의 무게 중심과 같다는 사실을 벡터에 대한 선형 변환을 사용하여 증명한다. 내측 나폴레옹 삼각형 역시 같은 방법으로 증명할 수 있다.

증명:[3]:178-179, §5F

삼각형  의 무게 중심을  라고 하자. 편의상 삼각형  의 꼭짓점이 시개 반대 방향으로 열거되었다고 하자. 삼각형  의 평면 위의 벡터들에 대한 변환  가 모든 벡터를 시계 반대 방향으로 60도 회전시킨다고 하자. 즉, 평면 위 임의의 점  ,  에 대하여

 

 

사이의 유향각은 시계 반대 방향 60도이다. 그렇다면  선형 변환이다. 삼각형  는 정삼각형이고 꼭짓점이 시계 방향으로 열거되었으므로

 

이며, 또한  은 삼각형  의 무게 중심이므로

 

이다. 마찬가지로,

 
 

가 성립한다. 세 등식의 양변을 서로 더하면

 

를 얻는다. 즉,  는 외측 나폴레옹 삼각형  의 무게 중심이다.

일반화편집

삼각형  의 외측에서

 

를 만족시키는 점  ,  ,  를 잡자. 그렇다면, 삼각형  ,  ,  의 외접원은 같은 점을 지난다. 특히, 삼각형  ,  ,  가 정삼각형일 경우 전제 조건이 만족되며, 세 외접원이 공통으로 지나는 점은 제1 나폴레옹 점이 된다.

삼각형  의 외측에서 삼각형  ,  ,  가 닮음이고 같은 위치에 오는 점들끼리 대응점이게 하는 점  ,  ,  를 잡고, 삼각형  ,  ,  의 무게 중심을 각각  ,  ,  라고 하자. 그렇다면, 삼각형  는 이 세 삼각형과 닮음이다. 특히, 나폴레옹 정리는 삼각형  ,  ,  가 정삼각형인 특수한 경우이다.

같이 보기편집

각주편집

  1. Grünbaum, Branko (2012). “Is Napoleon’s Theorem Really Napoleon’s Theorem?”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 119 (6): 496-501. doi:10.4169/amer.math.monthly.119.06.495. ISSN 0002-9890. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.119.06.495. Zbl 1264.01010. 
  2. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0. 
  3. Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4. 

외부 링크편집