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환론에서, 영역(領域, 영어: domain)은 0 밖의 영인자가 없는, 자명환이 아닌 환이다. 정역의 개념의 비가환환에 대한 일반화이다.

정의편집

 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 영역이라고 한다.

  •  자명환이 아니며, 임의의  에 대하여, 만약  이라면  이거나  이다.
  • 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다.
  • 왼쪽 영인자가 정확히 한 개 있다 (즉, 0).
  • 오른쪽 영인자가 정확히 한 개 있다 (즉, 0).

성질편집

다음 함의 관계가 성립한다.[1]:153

정역
단순환 영역 축소환
左·右 원시환 소환 반소환

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.

정역
단순환 영역 축소환
左·右 원시환 소환 반소환

즉, 가환 영역은 정역이다.

웨더번 정리에 따라서, 유한환인 영역은 유한체밖에 없다.

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모든 나눗셈환(유한체, 유리수체, 실수체, 복소수체, 사원수환)은 영역이다.

후르비츠 사원수(영어: Hurwitz quaternion)의 환

 

립시츠 사원수(영어: Lipschitz quaternion)의 환

 

역시 비가환 영역을 이룬다.

  위의 텐서 대수(자유 단위 결합 대수)  는 영역이며,  일 경우 비가환 영역이다.

표수가 0인 체   위의 바일 대수   역시 비가환 영역이다.

리 대수 위의 보편 포락 대수는 영역이며, 리 대수가 비아벨 리 대수인 경우 이는 비가환 영역이다.

임의의 환   및 양의 정수  에 대하여, 행렬환  는 영역이 아니다. (만약  가 자명환이 아니라면 이는 0이 아닌 왼쪽·오른쪽 영인자를 갖고, 만약  가 자명환이라면 행렬환 역시 자명환이다.)

군환의 영역성편집

   에 대하여, 만약  꼬임 부분군이 자명하지 않을 경우 군환  는 0이 아닌 영인자를 가져 영역이 될 수 없다. 예를 들어, 만약  에 대하여  이라면,

 

이 된다.

일반적으로, 꼬임 부분군이 자명한 군에 대한 군환이 항상 영역이 되는지는 미해결 문제이다. 만약  가 꼬임 부분군이 자명한 가해군이라면 군환이 영역을 이룬다는 사실이 알려져 있다.

참고 문헌편집

  1. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. 

외부 링크편집

같이 보기편집