해밀턴 역학 에서 디랙 괄호 (영어 : Dirac bracket )는 해밀토니언과 가환하지 않는 구속이 가해진 고전적 계 에서 시간 변화를 나타내는 괄호다. 폴 디랙 이 도입하였다.[ 1] [ 2]
해밀턴 계
(
M
,
ω
,
H
)
{\displaystyle (M,\omega ,H)}
심플렉틱 다양체
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
위상 공간 이고,
H
{\displaystyle H}
해밀토니언 이다.
M
{\displaystyle M}
매끄러운 함수 들의 대수를
C
∞
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}
심플렉틱 구조 에 의하여, 푸아송 괄호
{
f
,
g
}
=
(
ω
−
1
)
μ
ν
∂
μ
f
∂
ν
g
{\displaystyle \{f,g\}=(\omega ^{-1})^{\mu \nu }\partial _{\mu }f\partial _{\nu }g}
가 존재한다.
이 계 위에 주어진 구속 (영어 : constraint )
Φ
⊂
C
∞
{\displaystyle \Phi \subset {\mathcal {C}}^{\infty }}
매끄러운 함수 들의 집합이다.
Φ
{\displaystyle \Phi }
C
∞
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}
아이디얼 이자,
C
∞
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}
자유 가군 이다. 즉,
임의의 함수
f
∈
C
∞
(
M
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}
ϕ
∈
Φ
{\displaystyle \phi \in \Phi }
f
ϕ
i
∈
Φ
{\displaystyle f\phi ^{i}\in \Phi }
임의의
ϕ
,
ϕ
′
∈
Φ
{\displaystyle \phi ,\phi '\in \Phi }
ϕ
+
ϕ
′
∈
Φ
{\displaystyle \phi +\phi '\in \Phi }
Φ
{\displaystyle \Phi }
기저
{
ϕ
i
}
i
∈
I
⊂
Φ
{\displaystyle \{\phi ^{i}\}_{i\in I}\subset \Phi }
ϕ
∈
Φ
{\displaystyle \phi \in \Phi }
ϕ
=
u
i
ϕ
i
{\displaystyle \phi =u_{i}\phi ^{i}}
u
i
∈
C
∞
(
M
)
{\displaystyle u_{i}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}
(일관성) 쌍대가군
Φ
∗
=
hom
(
Φ
,
C
∞
(
M
)
)
{\displaystyle \Phi ^{*}=\hom(\Phi ,{\mathcal {C}}^{\infty }(M))}
u
∈
Φ
∗
{\displaystyle u\in \Phi ^{*}}
(
{
ϕ
,
H
}
+
u
i
{
ϕ
,
ϕ
i
}
)
|
M
~
=
0
∀
ϕ
∈
Φ
{\displaystyle (\{\phi ,H\}+u_{i}\{\phi ,\phi ^{i}\})|_{\tilde {M}}=0\forall \phi \in \Phi }
여기서,
M
~
{\displaystyle {\tilde {M}}}
구속된 상태 공간
M
~
⊂
M
{\displaystyle {\tilde {M}}\subset M}
M
~
=
{
x
∈
M
|
ϕ
i
(
x
)
=
0
∀
ϕ
∈
Φ
}
{\displaystyle {\tilde {M}}=\{x\in M|\phi ^{i}(x)=0\forall \phi \in \Phi \}}
즉, 모든 구속들을 만족시키는 상태들의 집합이다.
1종 구속 (영어 : first-class constraint )의 집합
Φ
1
⊂
Φ
{\displaystyle \Phi _{1}\subset \Phi }
Φ
1
=
{
ϕ
1
∈
Φ
:
{
ϕ
1
,
Φ
}
|
M
~
=
0
}
{\displaystyle \Phi _{1}=\{\phi _{1}\in \Phi \colon \{\phi _{1},\Phi \}|_{\tilde {M}}=0\}}
모든 1종 구속은 일관성 조건에 따라서 해밀토니언 과 가환한다.
{
Φ
1
,
H
}
=
0
{\displaystyle \{\Phi _{1},H\}=0}
또한, 1종 구속들의 집합
Φ
1
{\displaystyle \Phi _{1}}
C
∞
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}
아이디얼 이자,
C
∞
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}
f
∈
C
∞
(
M
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}
ϕ
1
∈
Φ
1
{\displaystyle \phi _{1}\in \Phi _{1}}
f
ϕ
1
∈
Φ
1
{\displaystyle f\phi _{1}\in \Phi _{1}}
짧은 완전열
0
→
Φ
1
↪
Φ
↠
Φ
2
→
0
{\displaystyle 0\to \Phi _{1}\hookrightarrow \Phi \twoheadrightarrow \Phi _{2}\to 0}
은 분할 완전열 이며, 따라서
Φ
{\displaystyle \Phi }
Φ
≅
Φ
1
⊕
Φ
2
{\displaystyle \Phi \cong \Phi _{1}\oplus \Phi _{2}}
물론 이러한 갈림은 표준적으로(canonical) 정의되지 않지만, 임의로 정의할 수 있다.
Φ
2
≅
Φ
/
Φ
1
{\displaystyle \Phi _{2}\cong \Phi /\Phi _{1}}
2종 구속 (영어 : second-class constraint )들의 집합이라고 한다. 1종 제약은 자유 가군 의 부분가군이므로 사영 가군 (벡터다발 )이다.
2차 구속
Φ
2
{\displaystyle \Phi _{2}}
{
ϕ
2
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{\phi _{2}^{i}\}_{i\in I}}
C
i
j
{\displaystyle C_{ij}}
{
ϕ
2
i
,
ϕ
2
j
}
C
j
k
=
δ
i
k
{\displaystyle \{\phi _{2}^{i},\phi _{2}^{j}\}C_{jk}=\delta _{i}^{k}}
이 경우, 디랙 괄호
{
,
}
D
{\displaystyle \{,\}_{\text{D}}}
{
f
,
g
}
D
=
{
f
,
g
}
−
{
f
,
ϕ
2
i
}
C
i
j
{
ϕ
2
j
,
g
}
{\displaystyle \{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}-\{f,\phi _{2}^{i}\}C_{ij}\{\phi _{2}^{j},g\}}
제약된 해밀턴 계
(
M
,
ω
,
H
,
Φ
)
{\displaystyle (M,\omega ,H,\Phi )}
f
∈
C
∞
(
M
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}
f
˙
{\displaystyle {\dot {f}}}
f
˙
=
{
f
,
H
}
D
{\displaystyle {\dot {f}}=\{f,H\}_{\text{D}}}
이 정의에 따라서, 구속을 만족시키는 초기 조건의 시간 변화는 계속해서 제약을 만족시킨다.
{
ϕ
,
H
}
D
|
M
~
=
0
∀
ϕ
∈
Φ
{\displaystyle \{\phi ,H\}_{\text{D}}|_{\tilde {M}}=0\forall \phi \in \Phi }
즉, 임의의 2종 구속
ϕ
2
i
{\displaystyle \phi _{2}^{i}}
{
ϕ
2
i
,
H
}
D
=
0
{\displaystyle \{\phi _{2}^{i},H\}_{\text{D}}=0}
이고, 임의의 1종 구속
ϕ
1
i
{\displaystyle \phi _{1}^{i}}
{
ϕ
1
i
,
H
}
D
=
{
ϕ
1
1
,
H
}
=
0
{\displaystyle \{\phi _{1}^{i},H\}_{\text{D}}=\{\phi _{1}^{1},H\}=0}
이다. 디랙 괄호는 일반적으로 기저 변환에 따라 바뀌지만,
M
~
{\displaystyle {\tilde {M}}}
심플렉틱 다양체
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
q
{\displaystyle q}
B
μ
ν
=
B
ω
μ
ν
{\displaystyle B_{\mu \nu }=B\omega _{\mu \nu }}
위치 에너지
V
:
M
→
R
{\displaystyle V\colon M\to \mathbb {R} }
[ 3] [ 4] 라그랑지언 은 다음과 같다.
L
(
x
,
x
˙
)
=
q
A
μ
x
˙
μ
−
V
(
x
)
{\displaystyle L(x,{\dot {x}})=qA_{\mu }{\dot {x}}^{\mu }-V(x)}
여기서
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
자기 퍼텐셜 로,
(
d
A
)
μ
ν
=
∂
μ
A
ν
−
∂
ν
A
μ
=
B
ω
μ
ν
{\displaystyle (dA)_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }=B\omega _{\mu \nu }}
를 만족시킨다. 편의상
A
ν
=
1
2
B
x
μ
ω
μ
ν
{\displaystyle A_{\nu }={\frac {1}{2}}Bx^{\mu }\omega _{\mu \nu }}
으로 놓을 수 있다. 즉,
L
(
x
,
x
˙
)
=
1
2
q
B
x
μ
x
˙
ν
ω
μ
ν
−
V
(
x
)
{\displaystyle L(x,{\dot {x}})={\frac {1}{2}}qBx^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\omega _{\mu \nu }-V(x)}
이다.
이 경우, 정준 운동량 은 다음과 같다.
p
ν
=
∂
L
∂
x
˙
ν
=
1
2
q
B
x
μ
ω
μ
ν
{\displaystyle p_{\nu }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{\nu }}}={\frac {1}{2}}qBx^{\mu }\omega _{\mu \nu }}
즉, 해밀토니언은 다음과 같다.
H
=
p
μ
x
˙
μ
−
L
=
V
(
x
)
{\displaystyle H=p_{\mu }{\dot {x}}^{\mu }-L=V(x)}
또한, 정준 운동량들은 시간 도함수
x
˙
{\displaystyle {\dot {x}}}
y
˙
{\displaystyle {\dot {y}}}
ϕ
ν
=
p
ν
−
1
2
q
B
x
μ
ω
μ
ν
=
0
{\displaystyle \phi _{\nu }=p_{\nu }-{\frac {1}{2}}qBx^{\mu }\omega _{\mu \nu }=0}
이 경우, 두 구속들의 푸아송 괄호는 다음과 같다.
{
ϕ
μ
,
ϕ
ν
}
=
q
B
ω
μ
ν
{\displaystyle \{\phi _{\mu },\phi _{\nu }\}=qB\omega _{\mu \nu }}
이는 가역행렬 이므로 이들은 둘 다 2종 구속들이며, 일관적이다. 따라서 디랙 괄호는 다음과 같다.
{
f
,
g
}
D
=
{
f
,
g
}
+
1
q
B
{
f
,
ϕ
μ
}
ω
μ
ν
{
ϕ
ν
,
g
}
{\displaystyle \{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}+{\frac {1}{qB}}\{f,\phi _{\mu }\}\omega ^{\mu \nu }\{\phi _{\nu },g\}}
특히,
{
x
μ
,
x
μ
}
D
=
−
ω
μ
ν
/
(
q
B
)
{\displaystyle \{x^{\mu },x^{\mu }\}_{\text{D}}=-\omega ^{\mu \nu }/(qB)}
이므로, 이를 양자화하면
[
x
μ
,
x
ν
]
=
−
i
ℏ
ω
μ
ν
/
(
q
B
)
{\displaystyle [x^{\mu },x^{\nu }]=-i\hbar \omega ^{\mu \nu }/(qB)}
이다. 즉, 비가환 기하학 을 얻는다.
이 경우에는 제약에 따라 물리적 공간
M
{\displaystyle M}
위상 공간 이 된다. 이 경우에는 퍼텐셜
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
심플렉틱 구조
ω
μ
ν
{\displaystyle \omega _{\mu \nu }}
코호몰로지류
[
ω
]
∈
H
2
(
M
;
R
)
{\displaystyle [\omega ]\in H^{2}(M;\mathbb {R} )}
기하학적 양자화 를 따르는 경우에는 유일한 준양자 구조가 존재한다. 만약 물리적 공간의 리만 계량
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }}
ω
μ
ν
{\displaystyle \omega _{\mu \nu }}
켈러 구조 를 이뤄 기하학적 양자화 가 가능하다. 물론, 퍼텐셜
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
m
{\displaystyle m}
위치 에너지
V
(
x
)
{\displaystyle V(\mathbf {x} )}
C
:
M
→
R
{\displaystyle C\colon M\to \mathbb {R} }
C
−
1
(
0
)
⊂
M
{\displaystyle C^{-1}(0)\subset M}
[ 5]
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
해밀토니언 을 적을 수 있다.
H
=
1
2
m
g
μ
ν
p
μ
p
ν
+
V
(
x
)
{\displaystyle H={\frac {1}{2m}}g^{\mu \nu }p_{\mu }p_{\nu }+V(x)}
물론 이 경우 다음과 같은 구속을 가해야 한다.
ϕ
1
=
C
(
x
)
=
0
{\displaystyle \phi ^{1}=C(x)=0}
ϕ
2
=
g
μ
ν
p
μ
∂
ν
C
(
x
)
=
0
{\displaystyle \phi ^{2}=g^{\mu \nu }p_{\mu }\partial _{\nu }C(x)=0}
이 경우,
{
ϕ
1
,
ϕ
2
}
=
g
μ
ν
∂
μ
C
∂
ν
C
=
(
∂
C
)
2
{\displaystyle \{\phi ^{1},\phi ^{2}\}=g^{\mu \nu }\partial _{\mu }C\partial _{\nu }C=(\partial C)^{2}}
이다. 따라서, 만약
C
−
1
(
0
)
{\displaystyle C^{-1}(0)}
∂
C
≠
0
{\displaystyle \partial C\neq 0}
ϕ
1
{\displaystyle \phi ^{1}}
ϕ
2
{\displaystyle \phi ^{2}}
음함수 정리 에 의하여
C
−
1
(
0
)
{\displaystyle C^{-1}(0)}
이 경우, 디랙 괄호는 다음과 같다.
{
f
,
g
}
D
=
{
f
,
g
}
+
(
∂
C
)
−
2
{
f
,
ϕ
i
}
ϵ
i
j
{
ϕ
j
,
g
}
{\displaystyle \{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}+(\partial C)^{-2}\{f,\phi ^{i}\}\epsilon _{ij}\{\phi ^{j},g\}}
예를 들어,
{
x
μ
,
x
ν
}
D
=
0
{\displaystyle \{x^{\mu },x^{\nu }\}_{\text{D}}=0}
{
x
μ
,
p
ν
}
D
=
δ
ν
μ
−
(
∂
C
)
−
2
∂
μ
C
∂
ν
C
{\displaystyle \{x^{\mu },p_{\nu }\}_{\text{D}}=\delta _{\nu }^{\mu }-(\partial C)^{-2}\partial ^{\mu }C\partial _{\nu }C}
{
p
μ
,
p
ν
}
D
=
(
∂
C
)
−
2
p
ρ
(
(
∇
ρ
∂
μ
C
)
(
∂
ν
C
)
−
(
∂
μ
C
)
(
∇
ρ
∂
ν
C
)
)
{\displaystyle \{p_{\mu },p_{\nu }\}_{\text{D}}=(\partial C)^{-2}p^{\rho }\left((\nabla _{\rho }\partial _{\mu }C)(\partial _{\nu }C)-(\partial _{\mu }C)(\nabla _{\rho }\partial _{\nu }C)\right)}
가 된다.
![{\displaystyle [x^{\mu },x^{\nu }]=-i\hbar \omega ^{\mu \nu }/(qB)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99761bfcb8f75473d3f7b2a3a6f4a14747363189)
![{\displaystyle [\omega ]\in H^{2}(M;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8939a2211c17099a4f4b05b9feb8ff72c2f2f4)
