수리물리학 에서 기하학적 양자화 (幾何學的量子化, 영어 : geometric quantization )는 해밀턴 역학 으로 나타내어지는 고전적 계 를 주로 심플렉틱 기하학을 통해 양자화 하는 체계적인 방법이다. 1970년대에 수학자 베르트람 콘스탄트(Bertram Kostant)과 장-마리 수리오(Jean-Marie Souriau)가 정립했다.
대부분의 고전적 계는 해밀턴 역학 으로 나타낼 수 있다. 해밀턴 계는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
심플렉틱 다양체
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
. 이는 계의 상태 공간 (phase space) 이다.
해밀토니언
H
:
M
→
R
{\displaystyle H\colon M\to \mathbb {R} }
. 이는 계의 시간 변화 를 나타낸다.
고전적 관측가능량들은
M
{\displaystyle M}
위의 함수로 나타내어진다.
기하학적 양자화 는 해밀턴 계에 일련의 추가 데이터를 통해 대응하는 힐베르트 공간 을 정의한다. 이는 다음과 같다.
준양자화(영어 : prequantization )
양자화
메타플렉틱 보정(영어 : metaplectic correction )
준양자화
편집
심플렉틱 형식
ω
{\displaystyle \omega }
가 다음과 같은 준양자화 조건 (準量子化條件, 영어 : prequantization condition )을 만족시킨다고 하자.
[
ω
/
2
π
]
∈
H
2
(
M
;
Z
)
{\displaystyle [\omega /2\pi ]\in \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Z} )}
즉,
ω
/
2
π
{\displaystyle \omega /2\pi }
의 코호몰로지류 는 정수 계수 코호몰로지 원소를 정의한다고 하자. (일반적으로, 드람 코호몰로지 는 물론 실수 계수이다.)
매끄러운 다양체
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
위의 준양자 구조 (準量子構造, 영어 : prequantum structure )는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
M
{\displaystyle M}
위의 복소수 선다발
L
↠
M
{\displaystyle L\twoheadrightarrow M}
L
{\displaystyle L}
위의 코쥘 접속
∇
{\displaystyle \nabla }
준양자화 조건을 만족시키는 심플렉틱 다양체
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 표준적인 준양자 구조가 존재한다.
c
1
(
L
)
=
[
ω
/
2
π
]
{\displaystyle \operatorname {c} _{1}(L)=[\omega /2\pi ]}
F
∇
=
i
ω
{\displaystyle F_{\nabla }=\mathrm {i} \omega }
여기서
c
1
{\displaystyle c_{1}}
은 1차 천 특성류 이다. (사실, 둘째 조건은 첫째 조건을 함의한다.)
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
의 준양자 구조
(
L
,
∇
)
{\displaystyle ({\mathcal {L}},\nabla )}
가 주어졌다면,
L
→
L
⊗
n
{\displaystyle {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}^{\otimes n}}
은
(
M
,
n
ω
)
{\displaystyle (M,n\omega )}
의 준양자 구조를 이룬다. 일반화 위치
q
i
{\displaystyle q^{i}}
를 고정시킨다면 일반화 운동량 이
p
i
=
q
j
ω
i
j
{\displaystyle p_{i}=q_{j}\omega _{ij}}
이므로, 이는
p
i
↦
n
p
i
{\displaystyle p_{i}\mapsto np_{i}}
와 같다. 라그랑주 역학이 성립한다면, 작용
S
{\displaystyle S}
는 일반화 운동량에 비례하므로, 이는
S
/
ℏ
↦
n
S
/
ℏ
=
S
/
(
ℏ
/
n
)
{\displaystyle S/\hbar \mapsto nS/\hbar =S/(\hbar /n)}
이다. 양자역학 의 파인만 경로 적분 은
S
/
ℏ
{\displaystyle S/\hbar }
에만 의존하므로, 이는 플랑크 상수 의 재정의
ℏ
↦
ℏ
/
n
{\displaystyle \hbar \mapsto \hbar /n}
으로 생각할 수 있다. 따라서,
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
극한은
ℏ
→
0
{\displaystyle \hbar \to 0}
, 즉 반고전적(영어 : semiclassical ) 극한이다. 따라서, 고전 역학으로의 극한은 준양자 구조로 이해할 수 있다.
다양체
M
{\displaystyle M}
위의 극성화 (極性化, 영어 : polarization )는 다음과 같은 성질을 만족시키는, 접다발 의 복소화
T
M
C
{\displaystyle TM^{\mathbb {C} }}
의 부분 벡터 다발
P
⊂
T
M
C
{\displaystyle P\subset TM^{\mathbb {C} }}
이다.[1] :Definition 7.4 [2] :§4
(적분 가능성) 모든
u
,
v
∈
P
{\displaystyle u,v\in P}
에 대하여,
[
u
,
v
]
∈
P
{\displaystyle [u,v]\in P}
이다. 여기서
[
⋅
,
⋅
]
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}
는 리 미분 이다.
(극대성)
P
{\displaystyle P}
보다 더 큰 차원의 적분가능 분포는 존재하지 않는다. (즉,
M
{\displaystyle M}
이 유한 차원이라면,
P
{\displaystyle P}
의 차원은
dim
R
P
=
dim
M
{\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }P=\dim M}
이다.)
극성화와 준양자 구조가 주어진 다양체
(
M
,
L
,
∇
,
P
)
{\displaystyle (M,L,\nabla ,P)}
에 대하여,
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
는
L
{\displaystyle L}
의 제곱 적분 가능 단면 가운데,
P
{\displaystyle P}
의 방향으로 일정한 단면들이다.
H
=
{
s
∈
L
2
(
M
,
L
)
:
∇
P
s
=
0
}
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\{s\in \operatorname {L} ^{2}(M,L)\colon \nabla _{P}s=0\}}
이는 내적을 통해 힐베르트 공간 을 이룬다. 이 공간의 사영화(영어 : projectivization )가 양자역학의 상태 공간이다.
여기서 ‘제곱 적분 가능 단면’이라는 것은 구체적으로 다음과 같다.
P
{\displaystyle P}
는 적분 가능하므로, 프로베니우스 정리 에 따라서 엽층 을 정의하며, 그 엽공간(영어 : leaf space )
M
/
P
{\displaystyle M/P}
를 정의할 수 있다. 엽공간 위에는
M
{\displaystyle M}
으로부터 유도된 측도가 존재한다.
∇
P
s
=
0
{\displaystyle \nabla _{P}s=0}
을 만족시키는 단면의 경우
M
/
P
{\displaystyle M/P}
위에 정의할 수 있다. 단면의 제곱 적분 가능성이란
M
/
P
{\displaystyle M/P}
위에 유도된 측도에 대한 것이다.
메타플렉틱 보정
편집
양자화 과정에서, 준고전적 상태를 양자 상태(힐베르트 공간의 벡터)에 대응시키려면 메타플렉틱 구조 (영어 : metaplectic structure )를 정의해야 한다.
심플렉틱 다양체
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
의 접다발
T
M
{\displaystyle TM}
은 심플렉틱 구조로 인해
Sp
(
dim
M
,
R
)
{\displaystyle \operatorname {Sp} (\dim M,\mathbb {R} )}
구조를 갖는다. 메타플렉틱 군
Mp
(
2
k
,
R
)
{\displaystyle \operatorname {Mp} (2k,\mathbb {R} )}
는
Sp
(
2
k
,
R
)
{\displaystyle \operatorname {Sp} (2k,\mathbb {R} )}
의 연결 두 겹 피복군 이다. (
π
1
(
Sp
(
2
k
,
R
)
)
=
Z
{\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Sp} (2k,\mathbb {R} ))=\mathbb {Z} }
이므로, 이러한 연결 두 겹 피복군은 유일하다.) 심플렉틱 다양체
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
의 메타플렉틱 구조 는 접다발의
Sp
(
dim
M
,
R
)
{\displaystyle \operatorname {Sp} (\dim M,\mathbb {R} )}
구조를 메타플렉틱 구조
Mp
(
dim
M
,
R
)
{\displaystyle \operatorname {Mp} (\dim M,\mathbb {R} )}
로의 올림(lift)이다. (이는 스핀 구조 의 정의와 유사하다.)
준고전적 상태는 라그랑주 부분 다양체
N
⊂
M
{\displaystyle N\subset M}
과 그 위에 정의된
L
{\displaystyle L}
의 단면
s
∈
Γ
(
N
,
L
⊗
det
T
∗
N
)
{\displaystyle s\in \Gamma (N,L\otimes {\sqrt {\det T^{*}N}})}
이다.
s
2
{\displaystyle s^{2}}
는
N
{\displaystyle N}
위에 주어진 밀도 분포를 나타낸다. 이 경우, 메타플렉틱 구조를 사용하여 이를
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
의 원소
s
~
∈
L
2
(
M
,
L
)
{\displaystyle {\tilde {s}}\in \operatorname {L} ^{2}(M,L)}
로 확장시킬 수 있다. 마찬가지로, 해밀토니언 을 비롯한 일부 고전적 관측가능량
f
:
M
→
R
{\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }
또한 메타플렉틱 구조를 사용해 양자역학적 관측가능량에 대응시킬 수 있다.
특히, 이 경우 자주 선다발
L
{\displaystyle L}
을
L
⊗
K
{\displaystyle L\otimes {\sqrt {K}}}
로 대체한다. 여기서
K
=
⋀
dim
M
(
T
M
/
P
)
∗
{\displaystyle K=\textstyle \bigwedge ^{\dim M}(\mathrm {T} M/P)^{*}}
이다. 만약
P
{\displaystyle P}
가 정칙 극성화라면
K
{\displaystyle K}
는 복소다양체 의 표준 인자 에 대응되는 정칙 선다발 이며, 만약
P
{\displaystyle P}
가 실수 극성화라면
K
{\displaystyle K}
는 일반화 좌표 의 매끄러운 다양체 위의 최고차 미분 형식 의 선다발이다. 예를 들어,
T
∗
N
{\displaystyle \mathrm {T} ^{*}N}
의 실수 극성화의 경우, 상태는
N
{\displaystyle N}
위의 함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
대신
f
(
x
)
d
dim
N
x
{\displaystyle f(x){\sqrt {\mathrm {d} ^{\dim N}x}}}
의 꼴이게 되며, 그 제곱
|
f
(
x
)
|
2
d
dim
N
x
{\displaystyle |f(x)|^{2}\,\mathrm {d} ^{\dim N}x}
은 자연스럽게
N
{\displaystyle N}
위에서 적분될 수 있다. 이러한 보정을 가하면, 조화 진동자의 에너지가
n
ω
ℏ
{\displaystyle n\omega \hbar }
대신
(
n
+
1
/
2
)
ω
ℏ
{\displaystyle (n+1/2)\omega \hbar }
가 된다.
극성화의 종류
편집
기하학적 양자화에서는 크게 두 종류의 극성화를 사용한다.
M
{\displaystyle M}
이 공변접다발
M
=
T
∗
N
{\displaystyle M=\mathrm {T} ^{*}N}
인 경우. 이는 짜임새 공간
N
{\displaystyle N}
이 존재하여, 라그랑주 역학 이 적용 가능한 경우다.
M
{\displaystyle M}
이 켈러 다양체 인 경우.
공변접다발
편집
공변접다발
M
=
T
∗
N
{\displaystyle M=\mathrm {T} ^{*}N}
의 경우, 심플렉틱 미분 형식
ω
=
d
p
i
∧
d
q
i
{\displaystyle \omega =\mathrm {d} p_{i}\wedge \mathrm {d} q^{i}}
에 대한 리우빌 미분 형식
θ
=
p
i
∧
d
q
i
{\displaystyle \theta =p_{i}\wedge \mathrm {d} q^{i}}
이 대역적(global)으로 존재한다. 즉,
ω
=
d
θ
{\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta }
는 완전 형식 이고, 그 코호몰로지류는 0이다. 즉, 복소수 선다발
L
≅
M
×
C
{\displaystyle {\mathcal {L}}\cong M\times \mathbb {C} }
은 자명하고, 그 위에
θ
{\displaystyle \theta }
를 성분으로 가지는 코쥘 접속 을 정의할 수 있다.
이 경우, 표준적으로
T
(
x
,
p
)
M
≅
T
x
N
⊕
T
x
∗
N
(
x
∈
M
,
p
∈
T
x
∗
M
)
{\displaystyle \mathrm {T} _{(x,p)}M\cong \mathrm {T} _{x}N\oplus \mathrm {T} _{x}^{*}N\qquad (x\in M,\;p\in \mathrm {T} _{x}^{*}M)}
T
(
x
,
p
)
M
C
≅
T
x
N
C
⊕
T
x
∗
N
C
(
x
∈
M
,
p
∈
T
x
∗
M
)
{\displaystyle \mathrm {T} _{(x,p)}M^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {T} _{x}N^{\mathbb {C} }\oplus \mathrm {T} _{x}^{*}N^{\mathbb {C} }\qquad (x\in M,\;p\in \mathrm {T} _{x}^{*}M)}
이므로, 다음과 같은 자연스러운 극성화가 존재한다.
P
=
T
∗
N
C
⊂
T
M
C
{\displaystyle {\mathcal {P}}=\mathrm {T} ^{*}N^{\mathbb {C} }\subset TM^{\mathbb {C} }}
이는 파동 함수가 일반화 위치의 함수이며, 일반화 운동량에 의존하지 않는 것에 해당한다.
따라서 복소수 힐베르트 공간 은
N
{\displaystyle N}
위의 르베그 공간
H
=
L
2
(
N
,
C
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(N,\mathbb {C} )}
과 동형이다. 이 위에 위치 및 운동량 연산자들은
x
^
i
:
f
↦
x
i
f
{\displaystyle {\hat {x}}^{i}\colon f\mapsto x_{i}f}
p
^
i
:
f
↦
−
i
∂
i
f
{\displaystyle {\hat {p}}_{i}\colon f\mapsto -i\partial _{i}f}
으로 대응된다.
켈러 다양체
편집
그 심플렉틱 형식이 정수 계수의 코호몰로지(의
2
π
{\displaystyle 2\pi }
배)인 켈러 다양체
M
{\displaystyle M}
을 생각하자. 이 경우,
ω
/
2
π
{\displaystyle \omega /2\pi }
에 대응하는 정칙 선다발
L
↠
M
{\displaystyle L\twoheadrightarrow M}
이 존재하며, 그 위에 곡률이
i
ω
{\displaystyle i\omega }
인 접속을 정의할 수 있다.
켈러 다양체의 복소구조 를 사용하여, 복소화 접다발
T
M
C
{\displaystyle TM^{\mathbb {C} }}
를 다음과 같이 분해할 수 있다.
T
M
C
=
T
M
+
⊕
T
M
−
{\displaystyle \mathrm {T} M^{\mathbb {C} }=\mathrm {T} M^{+}\oplus \mathrm {T} M^{-}}
여기서
T
M
+
{\displaystyle \mathrm {T} M^{+}}
는 정칙 벡터장들의 다발이고,
T
M
−
{\displaystyle \mathrm {T} M^{-}}
는 반정칙(antiholomorphic) 벡터장들의 다발이다. 이 경우 극성화를
P
=
T
M
−
{\displaystyle {\mathcal {P}}=\mathrm {T} M^{-}}
로 잡을 수 있다. 이에 따라서,
H
=
H
0
(
M
,
L
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=H^{0}(M,L)}
은
L
{\displaystyle L}
의 (제곱 적분 가능) 정칙 단면들의 공간이다. 이 경우, 관측가능량들은
z
^
i
:
f
↦
z
i
f
{\displaystyle {\hat {z}}^{i}\colon f\mapsto z^{i}f}
−
i
∂
i
:
f
↦
−
i
∂
i
f
{\displaystyle -\mathrm {i} \partial _{i}\colon f\mapsto -\mathrm {i} \partial _{i}f}
에 의하여 생성되고, 이들은 정준 교환 관계 를 만족시킨다.
유클리드 공간의 공변접다발 극성화
편집
구체적으로, 위상 공간이
2
n
{\displaystyle 2n}
차원 유클리드 공간
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
인 계를 생각하자. 이를 공변접다발
R
2
n
≅
T
∗
R
n
=
Span
R
{
x
1
,
…
,
x
n
,
p
1
,
…
,
p
n
}
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}\cong T^{*}\mathbb {R} ^{n}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{x_{1},\dots ,x_{n},p_{1},\dots ,p_{n}\}}
으로 여긴다면, 심플렉틱 퍼텐셜
θ
=
∑
i
=
1
n
p
i
d
x
i
{\displaystyle \theta =\sum _{i=1}^{n}p_{i}dx_{i}}
에 대응하는 접속은 다음과 같다.
∇
∂
/
∂
p
i
=
∂
∂
p
i
{\displaystyle \nabla _{\partial /\partial p_{i}}={\frac {\partial }{\partial p_{i}}}}
∇
∂
/
∂
q
i
=
∂
∂
q
i
−
2
π
i
p
i
{\displaystyle \nabla _{\partial /\partial q_{i}}={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}-2\pi ip_{i}}
극성화
Span
{
∂
∂
p
}
{\displaystyle \operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial p}}\right\}}
에 대한 힐베르트 공간은 따라서 다음과 같다.
H
=
{
f
∈
L
2
(
R
2
n
)
:
∂
f
∂
p
i
=
0
∀
i
=
1
,
…
,
n
}
≅
L
2
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2n})\colon {\frac {\partial f}{\partial p^{i}}}=0\forall i=1,\dots ,n\right\}\cong L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
반대로, 운동량 방향의 극성화
Span
{
∂
∂
x
}
{\displaystyle \operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial x}}\right\}}
에 대한 힐베르트 공간은 다음과 같다.[1] :Example 7.5
H
=
{
f
∈
L
2
(
R
2
n
)
:
∂
f
∂
x
i
−
2
π
i
p
i
f
(
x
)
=
0
∀
i
=
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2n})\colon {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}-2\pi ip_{i}f(x)=0\forall i=1,\dots ,n\right\}}
즉,
f
(
x
,
p
)
=
f
(
p
)
exp
(
2
π
i
∑
i
=
1
n
p
i
x
i
)
{\displaystyle f(x,p)=f(p)\exp \left(2\pi i\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\right)}
의 꼴의 함수들로 구성된다. 이는 위치 방향의 극성화의 푸리에 변환 임을 알 수 있다.
유클리드 공간의 켈러 극성화
편집
평탄한 복소공간에 켈러 양자화를 부여하면, 조화 진동자 의 힐베르트 공간을 얻는다.[1] :Example 7.10
구체적으로, 위상 공간이
2
n
{\displaystyle 2n}
차원 유클리드 공간
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
인 계를 생각하자. 이 위의 준위상 선다발은 자명한 선다발이지만, 그 위의 접속은 다음과 같다.
∇
i
=
∂
∂
x
i
+
x
i
{\displaystyle \nabla _{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+x_{i}}
여기에 복소구조를 주어
R
2
n
≅
C
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}\cong \mathbb {C} ^{n}}
z
i
=
x
i
+
x
i
+
n
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle z_{i}=x_{i}+x_{i+n},\quad i=1,\dots ,n}
∂
∂
z
=
1
2
(
∂
∂
x
−
i
∂
∂
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}
∂
∂
z
¯
=
1
2
(
∂
∂
x
+
i
∂
∂
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}
으로 생각하고, 켈러 극성화
P
=
Span
C
{
∂
∂
z
¯
1
,
…
,
∂
∂
z
¯
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\left\{{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}_{1},\dots ,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\right\}}
를 적용하자. 그렇다면 힐베르트 공간은 L2 함수
s
:
C
n
→
C
{\displaystyle s\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }
가운데
∇
∂
/
∂
z
s
(
z
,
z
¯
)
=
(
2
∂
∂
z
¯
+
z
)
s
(
z
,
z
¯
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{\partial /\partial z}s(z,{\bar {z}})=\left(2{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}+z\right)s(z,{\bar {z}})=0}
인 것들로 구성된다. 이 조건을 만족시키는 함수는
s
(
z
,
z
¯
)
=
f
(
z
)
exp
(
−
∑
i
z
i
z
¯
i
/
2
)
{\displaystyle s(z,{\bar {z}})=f(z)\exp \left(-\sum _{i}z_{i}{\bar {z}}^{i}/2\right)}
의 꼴이며, 여기서
f
:
C
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }
는 다음 조건을 만족시키는 정칙 함수이다.
∫
C
|
f
(
z
)
|
2
exp
(
−
∑
i
z
i
z
¯
i
)
d
2
n
z
<
∞
{\displaystyle \int _{\mathbb {C} }|f(z)|^{2}\exp \left(-\sum _{i}z_{i}{\bar {z}}_{i}\right)\,d^{2n}z<\infty }
이 힐베르트 공간에는 다음과 같이 다중지표 를 사용한 힐베르트 기저를 줄 수 있다.
s
α
=
z
α
exp
(
−
z
z
¯
/
2
)
,
α
∈
N
n
{\displaystyle s_{\alpha }=z^{\alpha }\exp(-z{\bar {z}}/2),\qquad \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}
이들은
n
{\displaystyle n}
차원 조화 진동자 의
α
{\displaystyle \alpha }
번째 에너지 준위로 해석할 수 있다. 이러한 힐베르트 공간을 시걸-바르그만-포크 공간 (영어 : Segal–Bargmann–Fock space )이라고 한다.
리만 구의 양자화
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리만 구
C
^
{\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}
위에 켈러 양자화를 가하면, 스피너 를 얻으며, 이는 비가환 기하학 적으로 퍼지 구 로 이해할 수 있다. 구체적으로, 준양자 선다발을 차수
k
{\displaystyle k}
의 인자
D
{\displaystyle D}
에 대응하는 선다발
O
(
D
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}
로 고르자. 그렇다면, 켈러 양자화 힐베르트 공간은 다음과 같다.
H
(
k
)
=
{
f
∈
Γ
(
O
(
D
)
)
:
∂
¯
f
=
0
}
{\displaystyle {\mathcal {H}}(k)=\{f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(D))\colon {\bar {\partial }}f=0\}}
이 힐베르트 공간의 차원은 리만-로흐 정리 에 의하여
dim
C
H
(
k
)
=
max
{
k
+
1
,
0
}
{\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {H}}(k)=\max\{k+1,0\}}
이다. 이는 스핀
k
/
2
{\displaystyle k/2}
의 스피너의 힐베르트 공간의 차원과 같다. (사실 메타플렉틱 보정을 고려할 경우,
k
{\displaystyle k}
를
k
−
1
{\displaystyle k-1}
로 치환하여야 한다.)
보다 일반적으로, 콤팩트 리만 곡면
Σ
{\displaystyle \Sigma }
위에 켈러 양자화를 가하자. 이 경우, 준양자 선다발을 인자
D
{\displaystyle D}
에 대응하는 선다발로 잡고 켈러 양자화를 가하면 층 코호몰로지 공간
H
(
D
)
=
H
0
(
Σ
,
O
(
D
)
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}(D)=H^{0}(\Sigma ,{\mathcal {O}}(D))}
을 얻으며, 그 차원은 리만-로흐 정리 에 의하여 계산할 수 있다.
콤팩트 켈러 다양체의 양자화
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보다 일반적으로, 콤팩트 켈러 다양체
M
{\displaystyle M}
위에, 양의 정수
k
∈
Z
+
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}
에 대하여 곡률이
k
ω
{\displaystyle k\omega }
가 되는 복소수 정칙 선다발
L
⊗
k
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes k}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 준양자 선다발로 삼아 켈러 양자화를 가하면 힐베르트 공간은 층 코호몰로지
H
(
k
)
=
H
0
(
M
,
L
⊗
n
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}(k)=H^{0}(M,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}
가 된다. 이 코호몰로지의 차원은 충분히 큰
k
{\displaystyle k}
에 대하여 히르체브루흐-리만-로흐 정리 로 계산할 수 있다.[1] :Example 7.11
H
(
k
)
=
∫
M
exp
(
k
ω
)
Td
M
(
k
≫
1
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}(k)=\int _{M}\exp(k\omega )\operatorname {Td} M\qquad (k\gg 1)}
여기서
Td
M
{\displaystyle \operatorname {Td} M}
은 토드 특성류 이다.
특히,
M
{\displaystyle M}
이 복소수
n
{\displaystyle n}
차원이라면
∫
M
exp
(
k
ω
)
Td
M
=
∑
i
=
0
n
∫
M
k
i
ω
i
i
!
Td
M
=
k
n
∫
M
ω
n
/
n
!
+
1
(
n
−
1
)
!
2
k
n
−
1
∫
M
ω
c
1
+
⋯
{\displaystyle \int _{M}\exp(k\omega )\operatorname {Td} M=\sum _{i=0}^{n}\int _{M}{\frac {k^{i}\omega ^{i}}{i!}}\operatorname {Td} M=k^{n}\int _{M}\omega ^{n}/n!+{\frac {1}{(n-1)!2}}k^{n-1}\int _{M}\omega c_{1}+\cdots }
이 되므로, 고전 극한
k
→
∞
{\displaystyle k\to \infty }
에서는 힐베르트 공간의 차원이 위상 공간 의 부피
∫
M
(
k
ω
)
n
/
n
!
{\displaystyle \int _{M}(k\omega )^{n}/n!}
에 수렴하는 것을 알 수 있다.
참고 문헌
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Woodhouse, Nicholas M. J. (1997년 8월 28일). 《Geometric Quantization》 . Oxford Mathematical Monographs (영어) 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850270-8 . MR 1183739 .
Echeverría-Enríquez, Arturo; Miguel C. Munoz-Lecanda, Narciso Román-Roy, Carles Victoria-Monge (1998). “Mathematical foundations of geometric quantization” . 《Extracta Mathematica》 (영어) 13 (2). arXiv :math-ph/9904008 . Bibcode :1999math.ph...4008 .
Todorov, Ivan (2012). ““Quantization is a mystery”” (PDF) . 《Bulgarian Journal of Physics》 (영어) 39 (2): 107–149. arXiv :1206.3116 . Bibcode :2012arXiv1206.3116T .
Sardanashvily, G. (2001). “Geometric quantization of symplectic foliations” (영어). arXiv :math/0110196 . Bibcode :2001math.....10196S .
Ma, Xiaonan. 〈Geometric quantization on Kähler and symplectic manifolds〉 (PDF) . 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Hyderabad, India, 2010》 (영어). 785–810쪽. Zbl 1229.53088 . 2013년 9월 27일에 원본 문서 (PDF) 에서 보존된 문서. 2013년 9월 25일에 확인함 .
Lerman, Eugene (2012). 〈Geometric quantization: a crash course〉. 《Mathematical Aspects of Quantization》. Contemporary Mathematics (영어) 583 . American Mathematical Society. arXiv :1206.2334 . Bibcode :2012arXiv1206.2334L . doi :10.1090/conm/583/11577 . ISBN 978-0-8218-7573-5 .
Tyurin, Andrey N. (2002). “Quantization, classical and quantum field theory and theta-functions” (영어). Bibcode :2002math.....10466T .
Sjamaar, Reyer (1996). “Symplectic reduction and Riemann–Roch formulas for multiplicities”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 33 (3): 327–338. doi :10.1090/S0273-0979-96-00661-1 . MR 1364017 .
Bos, Rogier David (2007). 《Groupoids in geometric quantization》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문. Universal Press. ISBN 978-90-9022176-2 .
외부 링크
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