수학 에서 랭글랜즈 쌍대군 (영어 : Langlands dual group )은 주어진 군에서 근 과 쌍대근(coroot)을 맞바꾼 군이다.
가약 리 군
G
{\displaystyle G}
(즉, 리 대수가 반단순 리 대수 와 아벨 리 대수 의 직합인 경우)가 주어졌다고 하자. 이러한 리 군은 근 데이터 (영어 : root datum )
(
X
∗
,
Φ
,
X
∗
,
Φ
∨
)
{\displaystyle (X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })}
로 (동형사상 을 무시하면) 유일하게 정의된다. 여기서
X
∗
{\displaystyle X^{*}}
는
G
{\displaystyle G}
의 극대 원환면 의 지표 들의 격자이다. (즉, 극대 원환면 의 폰트랴긴 쌍대군 이다.) 이를
G
{\displaystyle G}
의 무게 격자 (weight lattice)라고 한다.
Φ
⊂
X
∗
{\displaystyle \Phi \subset X^{*}}
는 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 근계 이다.
X
∗
{\displaystyle X_{*}}
는
X
∗
{\displaystyle X^{*}}
의 쌍대 격자다. 이를
G
{\displaystyle G}
의 쌍대 무게 격자 (coweight lattice)라고 한다.
Φ
∨
⊂
X
∗
{\displaystyle \Phi ^{\vee }\subset X_{*}}
는
Φ
{\displaystyle \Phi }
의 쌍대근계(coroot system)이다. 즉,
α
∈
Φ
{\displaystyle \alpha \in \Phi }
에 대해
α
∨
=
2
α
/
⟨
α
,
α
⟩
{\displaystyle \alpha ^{\vee }=2\alpha /\langle \alpha ,\alpha \rangle }
이다.
근 데이터는 가약 리 군을 심지어 유한 아벨 부분군까지 정확히 나타내므로, 딘킨 도표 보다 더 많은 정보를 담고 있다.
이러한 근 데이터가 주어졌다면, 군
G
{\displaystyle G}
의 랭글랜즈 쌍대군
G
∨
{\displaystyle G^{\vee }}
는 근 데이터에서 무게 격자와 쌍대 무게 격자를, 근계와 쌍대근계를 맞바꾼 가약 리 군이다. 즉,
G
∨
{\displaystyle G^{\vee }}
의 근 데이터는
(
X
∗
,
Φ
∨
,
X
∗
,
Φ
)
{\displaystyle (X_{*},\Phi ^{\vee },X^{*},\Phi )}
이다.
복소수체 말고도, 다른 체에 대한 대수군 의 경우도 랭글랜즈 쌍대군을 정의할 수 있다.
콤팩트 아벨 리 군
G
{\displaystyle G}
의 경우, 이는 항상 벡터 공간을 격자로 나눈 꼴
G
=
V
/
Λ
{\displaystyle G=V/\Lambda }
로 나타낼 수 있다. 이 경우, 그 랭글랜즈 쌍대군은
G
∨
=
V
∗
/
Λ
∗
{\displaystyle G^{\vee }=V^{*}/\Lambda ^{*}}
이다. 이는 폰트랴긴 쌍대군 과 전혀 다름에 주의하자. (이 경우,
G
{\displaystyle G}
의 폰트랴긴 쌍대군 은
Λ
∗
{\displaystyle \Lambda ^{*}}
이다.)
단순 연결 콤팩트 리 군의 경우, 랭글랜즈 쌍대군은 원래 군과 비슷하나, 그 유한 아벨 군에 대한 몫이 다를 수 있다. 특히, 리 군의 범피복 공간 은 그 리 군의 중심 을 없앤 형태와 쌍대이다. 예외적으로, Bn 과 Cn 이 서로 쌍대이다.
구체적으로 다음과 같다.
단순 연결 콤팩트 리 군의 랭글랜즈 쌍대군
군
쌍대군
SU
(
m
n
)
/
(
Z
/
m
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (mn)/(\mathbb {Z} /m)}
SU
(
m
n
)
/
(
Z
/
n
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (mn)/(\mathbb {Z} /n)}
Spin
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)}
USp
(
2
n
)
/
(
Z
/
2
)
{\displaystyle \operatorname {USp} (2n)/(\mathbb {Z} /2)}
SO
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (2n+1)}
USp
(
2
n
)
{\displaystyle \operatorname {USp} (2n)}
SO
(
2
n
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (2n)}
SO
(
2
n
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (2n)}
Spin
(
2
n
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)}
PSO
(
2
n
)
{\displaystyle \operatorname {PSO} (2n)}
Spin
(
8
n
)
/
(
Z
/
2
)
1
{\displaystyle \operatorname {Spin} (8n)/(\mathbb {Z} /2)_{1}}
Spin
(
8
n
)
/
(
Z
/
2
)
1
{\displaystyle \operatorname {Spin} (8n)/(\mathbb {Z} /2)_{1}}
Spin
(
8
n
)
/
(
Z
/
2
)
2
{\displaystyle \operatorname {Spin} (8n)/(\mathbb {Z} /2)_{2}}
Spin
(
8
n
)
/
(
Z
/
2
)
2
{\displaystyle \operatorname {Spin} (8n)/(\mathbb {Z} /2)_{2}}
Spin
(
8
n
+
4
)
/
(
Z
/
2
)
1
{\displaystyle \operatorname {Spin} (8n+4)/(\mathbb {Z} /2)_{1}}
Spin
(
8
n
+
4
)
/
(
Z
/
2
)
2
{\displaystyle \operatorname {Spin} (8n+4)/(\mathbb {Z} /2)_{2}}
G
2
{\displaystyle G_{2}}
G
2
{\displaystyle G_{2}}
F
4
{\displaystyle F_{4}}
F
4
{\displaystyle F_{4}}
E
6
{\displaystyle E_{6}}
E
6
/
(
Z
/
3
)
{\displaystyle E_{6}/(\mathbb {Z} /3)}
E
7
{\displaystyle E_{7}}
E
7
/
(
Z
/
2
)
{\displaystyle E_{7}/(\mathbb {Z} /2)}
E
8
{\displaystyle E_{8}}
E
8
{\displaystyle E_{8}}
위 표에서,
Spin
(
4
n
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (4n)}
의 중심 은
(
Z
/
2
)
×
(
Z
/
2
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} /2)\times (\mathbb {Z} /2)}
이므로, 이를 각각
(
Z
/
2
)
1
{\displaystyle (\mathbb {Z} /2)_{1}}
,
(
Z
/
2
)
2
{\displaystyle (\mathbb {Z} /2)_{2}}
로 표기하였다.