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리 군론에서, 극대 원환면({極大圓環面, 영어: maximal torus 맥시멀 토러스[*])은 어떤 콤팩트 리 군 속의 연결 콤팩트 닫힌 아벨 부분군 가운데 극대 원소인 것이다.

목차

정의편집

 연결 콤팩트 리 군이라고 하자.   속의, 원환면  미분 동형닫힌 부분군

 

들의 집합을 생각하자. 이들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합극대 원소 극대 원환면이라고 한다.

성질편집

연결 콤팩트 리 군   및 그 극대 원환면이 주어졌을 때, 모든 원소  는 (임의의) 극대 원환면  의 원소와 켤레 동치이다. 즉, 항상  가 되는  를 찾을 수 있다.

증명:

임의의  에 대하여,  가 되는  를 찾아야 한다. 이러한  

 

이므로,   위의  왼쪽 군 작용고정점을 이룬다.  부분군이므로, 반대로  의 모든 고정점  은 이러한  에 대응한다.

 콤팩트 공간이므로, 렙셰츠 고정점 정리를 사용하여,  의 작용의 렙셰츠 수가 0이 아님을 보이면 족하다. 렙셰츠 수호모토피류에 대하여 불변량이다.  경로 연결 공간이므로,  의 작용은  작용(즉, 항등 함수)과 호모토픽하며, 항등 함수의 렙셰츠 수오일러 지표와 같다. 즉,  오일러 지표  가 0이 아님을 보이면 족하다.

이를 계산하기 위하여, 원소   가운데,  로 생성되는 부분군   조밀 집합을 이루는 것을 고르자. ( 원환면이므로, 이는 항상 가능하며, 거의 모든  에 대하여 이러한 성질이 성립한다.) 그렇다면,  의 작용의 고정점 정규화 부분군  의 원소이다. 즉,   위의 고정점의 집합은  이다.  가 극대 원환면이라면, 이는 유한 집합이다. 그 모든 원소들은 서로 켤레이므로, 같은 지표를 갖는다. 따라서, 고정점  의 지표가 0이 아님을 보이면 족하다. 이는 1임을 쉽게 확인할 수 있다. 즉,  이며, 모든  에 대하여   가 존재한다.

존재와 유일성편집

모든 연결 콤팩트 리 군은 하나 이상의 극대 원환면을 갖는다. 극대 원환면은 일반적으로 유일하지 않지만, 연결 콤팩트 리 군  의 모든 극대 원환면들은 서로 켤레 동치이다.

증명:

임의의 두 극대 원환면  ,  이 주어졌으며,   에 대하여,  로 생성되는 부분군이  조밀 집합이며,   에 대하여 마찬가지라고 하자. 그렇다면, 항상   를 찾을 수 있으므로,  가 된다.

즉, 연결 콤팩트 리 군  의 경우 바일 군이 유일하게 정의된다.

단순 리 군단순 리 대수는 근계에 의하여 분류된다. 이 경우, 리 군/대수의 바일 군은 그 근계의 바일 군과 일치한다.

차원편집

연결 콤팩트 리 군  의 극대 원환면의 차원은  의 계수와 같다. 즉, 그 리 대수  반단순 리 대수아벨 리 대수직합

 

으로 분해하였을 때,  의 차원은  의 차원과  딘킨 도표의 꼭짓점의 수의 합과 같다.

 

바일 군의 작용편집

연결 콤팩트 리 군  의 극대 원환면  가 주어졌을 때, 그 바일 군

 

  위에 자연스럽게 작용한다. 이에 대한 몫공간

 

 켤레류의 공간과 동형이다.

편집

유니터리 군  의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다.

 

특수 유니터리 군  의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다.

 

특수 직교군  의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다.

 

여기서

 

이다. 특수 직교군  의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다.

 

참고 문헌편집

  • Humphreys, James E. 《Introduction to Lie Algebras and Representation Theory》 (영어). 

외부 링크편집