매개계

가환대수학에서, 매개계(媒介界, 영어: system of parameters 시스템 오브 파라미터즈^[*], 약자 영어: s.o.p)는 국소 가환환 위의 ‘국소 좌표계’의 일종이다.^{:104–116, §14:234–236, §10.1} 구체적으로, 매개계는 국소 가환환의 유일한 극대 아이디얼의 (충분히 큰 차수의) 거듭제곱을 생성하는 유한 부분 집합이며, 그 크기는 국소 가환환의 크룰 차원과 같다. 이 정의에서 극대 아이디얼 대신 그 거듭제곱을 생각하는 이유는 국소 가환환이 특이점의 근방을 나타내는 경우일 수 있기 때문이며, 정칙 국소환의 경우 극대 아이디얼 자체를 생성하는 매개계가 존재한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 뇌터 국소 가환환 $(R,{\mathfrak {m}})$
• $R$-유한 생성 가군 $M$. 그 크룰 차원을 $\dim _{R}M=d$라고 하자.

이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\operatorname {length} M<\infty$
• 충분히 큰 양의 정수 $N$에 대하여, ${\mathfrak {m}}^{N}M=0$이다.

여기서 $\operatorname {length} (-)$는 가군의 길이이다.

그렇다면, 임의의 유한 집합인 부분 집합 $S\subseteq R$에 대하여, 만약

$\operatorname {length} {\frac {M}{SM}}<\infty$

이 된다면 $|S|\geq d$가 된다. 이를 포화시키는 부분 집합, 즉

$|S|=d$

$\operatorname {length} {\frac {M}{SM}}<\infty$ (즉, $\exists N\in \mathbb {Z} ^{+}\colon {\mathfrak {m}}^{N}M\subseteq SM$)

인 부분 집합 $S\subseteq R$를 $M$의 매개계라고 한다.

특히, $M=R$인 경우를 생각하자. 즉, 임의의 유한 집합인 부분 집합 $S\subseteq R$에 대하여, 만약

$\operatorname {length} M{(S)}<\infty$ (즉, $\exists N\in \mathbb {Z} ^{+}\colon {\mathfrak {m}}^{N}\subseteq S$)

라면,

$|S|\geq d$

이다. 이를 포화시키는 부분 집합, 즉

$|S|=d$

$\exists N\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \exists N\in \mathbb {Z} ^{+}\colon {\mathfrak {m}}^{N}\subseteq S$

인 부분 집합 $S$를 $R$의 매개계라고 한다. 위 조건에서 만약 $N=1$으로 놓을 수 있다면, $S$를 정칙 매개계(正則媒介界, 영어: regular system of parameters)라고 한다.

성질

뇌터 국소 가환환에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 정칙 국소환이다.
• 정칙 매개계를 갖는다.

뇌터 국소 가환환 $(R,{\mathfrak {m}})$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.^{:Remark 2.2}

• 코언-매콜리 국소환이다.
• 모든 매개계가 정칙열이다.
• 적어도 하나 이상의 매개계가 정칙열이다.

정칙 국소환

$d$차원 정칙 국소환 $(R,{\mathfrak {m}},\kappa =R/{\mathfrak {m}})$의 부분 집합 $S\subseteq {\mathfrak {m}}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^{:105, Theorem 14.2}

• $S\subseteq S'$인 정칙 매개계 $S'\subseteq R$가 존재한다.
• $R/(S)$는 $d-|S|$차원 정칙 국소환이다.
• $\{s+{\mathfrak {m}}^{2}\colon s\in S\}\subseteq {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$는 $\kappa$-벡터 공간인 자리스키 공변접공간 ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ 속에서 선형 독립이다.

독립성

$d$차원 정칙 국소환 $(R,{\mathfrak {m}},\kappa =R/{\mathfrak {m}})$의 매개계 $(r_{1},\dotsc ,r_{d})$가 주어졌다고 하자. 임의의 $R$계수 $k$차 동차 다항식

$p\in R[x_{1},\dotsc ,x_{d}]$

에 대하여, 만약

$p(r_{1},\dotsc ,r_{d})=0$

이라면, $p$의 모든 계수는 ${\mathfrak {m}}$에 속한다.^{:107, Theorem 14.5} (즉, $p$의 $\kappa [x_{1},\dotsc ,x_{d}]$ 속의 상이 0이다.)

예

아르틴(즉, 0차원) 국소 가환환 $(R,{\mathfrak {m}})$의 경우, 매개계는 공집합이다. 이 경우 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$은 멱영 아이디얼이다. (예를 들어, 소수 $p$에 대하여 국소 가환환 $R=\mathbb {Z} /(p^{d})$가 이에 해당한다.) 이 경우, $R$가 정칙 국소환인지 여부는 $R$가 체인지 여부와 동치이다. (체의 경우 ${\mathfrak {m}}=(0)$이므로, 공집합이 정칙 매개계를 이룬다.)

체 $K$ 위의 아핀 평면 $K[x,y]$의 원점에서의 국소환 $K[x,y]_{(x,y)}$을 생각하자. 이는 2차원 정칙 국소환이다. 이 경우

$\{x,y\}\subset K[x,y]_{(x,y)}$

는 정칙 매개계이다. 보다 일반적으로, 임의의

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} (2;K)$

에 대하여

$\{ax+cy,bx+dy\}$

역시 정칙 매개계이다.

반면,

$\{x,y^{2}-x\}\subset K[x,y]_{(x,y)}$

는 정칙 매개계가 아닌 매개계이다.^{:235, Figure 10.2} 이 경우

${\mathfrak {m}}=(x,y)\not \subseteq (x,y^{2}-x)$

${\mathfrak {m}}^{2}=(x^{2},xy,y^{2})\subsetneq (x,y^{2}-x)$

이다.

정수환의 소수 $p$에서의 국소화 $\mathbb {Z} _{(p)}$를 생각하자. 이는 1차원 국소 가환환이며, 그 극대 아이디얼은 $p$로 생성되는 주 아이디얼이다. 따라서 $\{p\}$는 정칙 매개계를 이룬다. 보다 일반적으로, $p$와 서로소인 임의의 0이 아닌 정수 $a$에 대하여 $\{ap\}$는 $\mathbb {Z} _{(p)}$의 정칙 매개계이다. 또한, 2 이상의 양의 정수 $k$에 대하여 $\{ap^{k}\}$는 $\mathbb {Z} _{(p)}$의 정칙 매개계이지만, 이는 매개계가 아니다.

역사

국소환의 개념을 볼프강 크룰이 1938년에 도입한 뒤, 이미 1943년에 클로드 슈발레가 매개계의 개념을 사용하였다.^{:701, Definition Ⅲ.2}

매개계의 개념에 대하여 데이비드 아이젠버드는 다음과 같이 적었다.

“	기하학적으로, 만약 $R$가 대수다양체 $X$의 점 $p$의 국소환이라면, $R$ 위의 매개계는 일종의 $p$ 근처의 국소 좌표계이다. 즉, [매개계의 원소인] 함수 $x_{i}$들의 값들은 $p$ 근처의 점을 거의 결정하며, 같은 $x_{i}$들의 값을 갖는 점들은 유한하다. Geometrically, if $R$ is the local ring of a point $p$ on an algebraic variety $X$, a system of parameters in $R$ is a sort of local coordinate system for $X$ around $p$, in the sense that the values of the functions $x_{i}$ determine points near $p$ up to a finite ambiguity […]	”
	— :235, §10.1

외부 링크

• “System of parameters of a module over a local ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.