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이와사와 분해

리 군 이론에서, 이와사와 분해([岩澤]分解, 영어: Iwasawa decomposition)는 그람-슈미트 과정반단순 리 군에 일반화하여, 리 군의 원소를 멱영 성분·가환 성분·콤팩트 성분으로 나누는 분해이다.[1]:197–204[2]

정의편집

리 대수의 이와사와 분해편집

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 이에 대한 카르탕 분해

 

를 정의할 수 있다. 여기서  콤팩트 리 대수이며,  는 일반적으로 리 대수가 아닌 실수 벡터 공간이다.

   속의 (임의로 고른) 극대 가환 부분 리 대수라고 하자. 그렇다면  에 기저를 잡아 기저에 임의의 순서를 가하고,   제한근 가운데 양의 제한근에 대응하는 제한근 공간들의 직합이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은, 실수 벡터 공간의 직합이 성립한다.

 

이를  이와사와 분해라고 한다.

리 군의 이와사와 분해편집

 연결 실수 반단순 리 군이라고 하자. 그렇다면 그 리 대수의 이와사와 분해  에 대응하여, 각각의 지수 사상

 
 
 

을 정의할 수 있다. 이 경우

  •  콤팩트 반단순 리 군이며,  의 닫힌 부분군이자 최대 콤팩트 부분군이다.  중심을 포함한다.
  •  단일 연결 아벨 리 군이며,  의 닫힌 부분군이다.
  •  단일 연결 멱영 리 군이며,  의 닫힌 부분군이다.

그렇다면, 다음과 같은 미분 동형이 존재한다.[1]:203, Theorem 29.3 (물론, 이는 일반적으로 군 준동형이 아니다.)

 

따라서, 임의의 원소  

 
 
 
 

과 같이 분해시킬 수 있다. 이것이 리 군의 이와사와 분해이다.

만약  연결 공간이 아닌 반단순 리 군인 경우, 만약  중심유한군이라면 역시 이와사와 분해를 정의할 수 있다. 이 경우,   의 (연결 공간이 아닌) 최대 콤팩트 부분군이다.

리 군 또는 리 대수의 실수 계수(영어: real rank)는 그 아벨 성분의 실수 차원이다.

성질편집

실수 반단순 리 대수  의 이와사와 분해

 

의 각 성분은 다음과 같은 성질을 갖는다.

  •  콤팩트 리 대수이다. 즉, 그 킬링 형식음의 정부호이다.
  •  는 가환 리 대수이다. 즉,  이다.
  •  멱영 리 대수이다. 즉, 충분히 큰 양의 정수  에 대하여
 
이다.

카르탕 분해와의 관계편집

반단순 리 대수  카르탕 대합  이 주어졌을 때, 카르탕 분해

 

를 정의할 수 있다. 이는 같은  에 대한 이와사와 분해

 

와 다음과 같은 관계를 갖는다.

  • 카르탕 분해의  는 이와사와 분해의  와 같다.
  • 카르탕 분해의  는 이와사와 분해의  를 극대 아벨 부분 대수로서 포함한다. (그러나  은 일반적으로  의 부분 대수도,  의 부분 대수도 아니다.)
  • 카르탕 분해에서,  는 일반적으로 리 대수가 아니다. 반면 이와사와 대수의   은 둘 다 리 대수이다.
  • 카르탕 분해에서,   킬링 형식에 대하여 서로 직교이다. 이와사와 분해에서,   킬링 형식에 대하여 서로 직교이지만,    와 직교일 필요가 없다.

편집

대표적인 리 군의 이와사와 분해는 다음과 같다.

콤팩트 성분 아벨 성분 멱영 성분
실수 일반선형군   직교군   양의 대각행렬  대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬
실수 특수선형군   특수직교군   행렬식이 1인 양의 대각행렬  대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬
2×2 실수 특수선형군        
복소 일반선형군   유니터리 군   양의 대각행렬  대각 성분이 모두 1인 복소 상삼각행렬
복소 특수선형군   유니터리 군   행렬식이 1인 양의 대각행렬  대각 성분이 모두 1인 복소 상삼각행렬
콤팩트 반단순 리 군     자명군 1 자명군 1

그람-슈미트 과정편집

일반선형군  의 이와사와 분해는 사실상 그람-슈미트 과정과 동치이다. 벡터 공간  기저  가 주어졌다고 하자. 그렇다면 행렬

 

을 정의할 수 있다. 이 경우, 그람-슈미트 과정을 거치면, 이를

 

의 꼴로 분해시키게 되는데, 여기서  는 그람-슈미트 과정을 통해 얻은 정규 직교 기저를 나타내는 직교행렬이며,  정규 직교 기저로의 변환을 나타내는 상삼각행렬이다. 이 경우,  를 추가로 분해하여

 

로 놓자. 여기서   를 직교 기저로 놓기 위한, 대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬이고,  는 직교 기저를 정규 직교 기저로 만들기 위한, 양의 성분을 가진 대각행렬이다. 즉,

 

가 되며, 이는  의 이와사와 분해이다.

상반평면의 이와사와 분해편집

리 군  의 이와사와 분해는 보형 형식의 이론에서 등장한다. 이 경우, 복소 상반평면

 

은 다음과 같은 잉여류 공간으로 나타내어진다.

 

즉, 이는  의 이와사와 분해  에서 콤팩트 성분을 버린 것이다. 즉, 구체적인 대응 관계는 다음과 같다.

 

역사편집

이와사와 겐키치가 1949년에 도입하였다.[3]

참고 문헌편집

  1. Bump, Daniel (2013). 《Lie groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 225. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-8024-2. ISBN 978-1-4614-8024-2. ISSN 0072-5285. 
  2. Knapp, A. W. (1997). 〈Structure theory of semisimple Lie groups〉 (PDF). 《Representation Theory and Automorphic Forms》. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (영어) 61. American Mathematical Society. 1–27쪽. ISBN 978-0-8218-0609-8. 
  3. Iwasawa, Kenkichi (1949). “On some types of topological groups”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 2 (50): 507–558. 

외부 링크편집