미분위상수학에서 영다양체(零多樣體, 영어: nilmanifold)는 멱영 리 군몫공간으로 얻어지는 동차공간이다. 해다양체의 특수한 경우이며, 기하화 추측에서 3차원 다양체를 분류하는 기하 가운데 하나이다.

정의

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연결 멱영 리 군   속의 격자(영어: lattice)는 다음 조건들을 만족시키는 부분군  이다.

연결 멱영 리 군  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  은 (하나 이상의) 격자를 갖는다.
  • (말체프 조건 영어: Mal’cev condition) 모든 구조 상수가 유리수가 되는 리 대수  기저가 존재한다.

연결 매끄러운 다양체  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 연결 매끄러운 다양체영다양체라고 한다.

  • 연결 멱영 리 군에 대한 동차 공간이다. 즉, 연결 멱영 리 군  추이적 작용  이 존재하며, 모든  에 대하여  미분 동형을 이룬다.
  •  이 되는 연결 멱영 리 군   및 격자  이 존재한다.
  • 반복된 U(1) 주다발유클리드 공간곱공간미분 동형이다. 즉,  이며  (한원소 공간)인 매끄러운 주다발의 열    이 존재한다.[1]:Theorem 1

즉, 멱영 리 군에 대한 동차 공간안정자군은 격자를 이룬다.

성질

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모든 영다양체는 자명하게 해다양체이며, 따라서 해다양체의 성질들을 만족시킨다. 특히, 영다양체의 2차 이상 호모토피 군은 모두 자명하며, 콤팩트 영다양체는 그 기본군으로 완전히 분류된다.

모든 영다양체는 콤팩트 영다양체와 유클리드 공간곱공간이다. 따라서 영다양체의 분류는 콤팩트 영다양체의 분류로 귀결된다.

원환면이 아닌 콤팩트 영다양체는 형식적 공간이 아니며, 특히 켈러 구조를 가질 수 없다. 정의에 따라, 모든 영다양체는 가향 다양체이며, 추가로 평행화 가능 다양체이다.[2]:163, Corollary 4.1.3

 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  이 되는 영다양체  이 존재한다.
  •  꼬임 부분군이 자명한 유한 생성 멱영군이다.

모든 연결 아벨 리 군은 영다양체이다. 특히, 원환면  은 콤팩트 영다양체이다.

하이젠베르크 군   차원 멱영 리 군을 이룬다. 정수 계수 하이젠베르크 군  은 그 속의 격자를 이루며,  은 영다양체를 이룬다.

낮은 차원의 영다양체

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2차원 이하

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2차원 이하의 연결 영다양체는 원환면유클리드 공간곱공간 밖에 없다. 콤팩트 영다양체를 구성하려면, 1차원에서는 한원소 공간 위에 하나의 U(1) 주다발이 존재하며, 2차원에서는 원 위의 U(1) 주다발은 역시 하나 밖에 없다. (원 위에는 두 개의 원다발이 존재하며, 이는 각각 원환면클라인 병에 해당한다. 그러나 후자의 경우는 U(1) 주다발을 이루지 못한다.)

3차원 콤팩트 영다양체

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3차원 콤팩트 영다양체는 자연수에 의하여 분류된다. 구체적으로, 2차원 원환면   위의 U(1) 주다발  는 그 연관 복소수 선다발천 특성류의 적분인 2차 코호몰로지

 

로 분류된다. 그런데 이 경우  와 반대 방항을 갖는 주다발  은 서로 미분 동형인 다양체를 정의한다. 즉, 3차원 연결 콤팩트 영다양체의 미분 동형 동치류는 자연수  로 분류된다. 이 가운데, 3차원 원환면 에 해당한다.

이는 다음과 같이 하이젠베르크 군의 몫으로 표현될 수 있다.[2]:161, Example 4.1.1 하이젠베르크 군

 

속에서, 리 군 곱셈 규칙이

 

이므로, 격자

 

를 고를 수 있으며,

 

는 콤팩트 영다양체를 이룬다. 사영 사상

 
 

아래, 이는 2차원 원환면 위의 원다발을 이룬다. 이 경우,   미분 동형이다.[2]:163, §4.1.3 다시 말해, 모든 3차원 콤팩트 연결 영다양체는   또는   ( )와 미분 동형이다.[2]:162–163, Corollary 4.1.2

역사

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아나톨리 말체프가 1949년에 도입하였고, ‘영다양체’(러시아어: нильмногообразие 닐므노고오브라지예[*])라는 용어를 정의하였다.[3]

각주

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  1. Belegradek, Igor (2018). “Iterated circle bundles and infranilmanifolds” (영어). arXiv:1805.06585. 
  2. Gorbatsevich, V. V.; Onishchik, A. L. 《Lie Groups and Lie Algebras Ⅱ. Lie Transformation Groups》 (영어). 
  3. Мальцев, Анатолий Иванович (1949). “Об одном классе однородных пространств”. 《Известия академии наук СССР. Серия математическая.》 (러시아어) 13 (1): 9–32. MR 0028842. Zbl 0034.01701. 

외부 링크

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