방접원

기하학에서, 방접원(傍接圓, 영어: excircle)은 주어진 삼각형의 한 변에 접하고 남은 두 변의 연장선에 접하는 이다. 방심(傍心, 영어: excenter)은 방접원의 중심을 일컫는다.

삼각형의 내접원과 방접원

정의편집

삼각형  의 세 변의 직선에 동시에 접하는 은 정확히 4개 존재한다. 한 원은 세 변의 내부에서 접하며, 이를 삼각형  내접원이라고 한다. 남은 3개의 원은 각각 꼭짓점  ,  ,  의 대변의 내부와 남은 두 변의 연장선에서 접하며, 이들을 각각 꼭짓점  ,  ,  와 마주보는 삼각형  방접원이라고 한다. 세 방접원의 중심을 방심  ,  ,  라고 한다. 세 방심을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 방심 삼각형(傍心三角形, 영어: excenter triangle)  라고 한다. 방심 삼각형의 외접원베번 원(Bevan圓, 영어: Bevan circle)이라고 하며, 베번 원의 중심(즉, 방심 삼각형의 외심)을 베번 점(Bevan點, 영어: Bevan point)  라고 한다.

성질편집

방심과 삼각형의 세 변 사이의 거리는 같다. 이는 이 방심을 중심으로 하는 방접원의 반지름이다. 방심은 두 외각의 이등분선과 남은 한 내각의 이등분선의 교점이다.

포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 구점원은 이 삼각형의 세 방접원과 외접하고 내접원과 내접한다.

반지름편집

삼각형  의 꼭짓점  ,  ,  의 대변의 길이를  ,  ,  라고 하고, 반둘레 라고 하고, 넓이 라고 하자. 또한 외접원내접원의 반지름을 각각   라고 하고, 꼭짓점  ,  ,  와 마주보는 방접원의 반지름을  ,  ,  라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 항등식들이 성립한다.[1]:13, §1.4, Exercise 5[2]:80, §2F, Theorem 2.34

 
 
 
 
 

접점편집

삼각형  의 꼭짓점  ,  ,  와 마주보는 방접원의 대변과의 접점을  ,  ,  이라고 하자. 그렇다면 직선  ,  ,  은 모두 삼각형  둘레를 이등분한다. 즉, 반둘레 라고 할 때 다음이 성립한다.

 
 
 

방심 삼각형과 베번 점편집

삼각형  의 내심을  , 각 꼭짓점  ,  ,  와 마주보는 방심을  ,  ,  라고 하자. 그렇다면 방심 삼각형의 꼭짓점  ,  ,  에서 대변에 내린 수선의 발은 각각 점  ,  ,  가 되며, 세 수선의 교점은 내심  가 된다. 특히, 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이며, 삼각형의 내심과 세 방심은 수심계를 이룬다.[3]:28, §3.2 모든 삼각형의 외심내심과 베번 점의 중점이다.[3]:29, §3.2 모든 삼각형의 슈피커 중심은 수심과 베번 점의 중점이다.[3]:27, §3.2 삼각형  의 한 꼭짓점  에서 대변에 내린 수선의 중점  , 그 꼭짓점과 마주보는 방접원의 접점  , 그리고 내심  는 같은 직선 위에 있다.[3]:30, §3.3

방심 삼각형의 수심 삼각형, 또는 수심 삼각형의 방심 삼각형은 원래 삼각형이다. 즉, 수심 삼각형과 방심 삼각형을 취하는 연산은 서로 역연산이다.

삼각형  의 반둘레를  라고 하고, 외접원의 반지름을  라고 하자. 그렇다면 방심 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

 

나겔 점과 외촉 삼각형편집

 
나겔 점과 외촉 삼각형

삼각형  의 각 꼭짓점  ,  ,  를 마주보는 방접원과 대변의 접점을 각각  ,  ,  라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분  ,  ,  는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형  나겔 점(영어: Nagel point))  이라고 한다.[3]:5, §1.2 나겔 점에 대한 체바 삼각형(즉, 세 방접원의 접점을 꼭짓점으로 하는 삼각형)을 외촉 삼각형(영어: extouch triangle)  이라고 한다. 나겔 점의 이름은 독일의 수학자 크리스티안 하인리히 폰 나겔(독일어: Christian Heinrich von Nagel)에서 왔다.

증명:

꼭짓점  ,  ,  의 대변의 길이를 각각  ,  ,  라고 하고, 반둘레 라고 하자. 그렇다면

 
 
 

이므로,

 

이다. 체바 정리에 의하여,  ,  ,  공점선이다.

각주편집

  1. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0. 
  2. Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4. 
  3. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5. 

외부 링크편집