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삼각형과 방접원

기하학에서, 방접원(傍接圓, 영어: excircle)은 삼각형의 한 변에 접하고 남은 두 변의 연장선에 접하는 이다.

목차

정의편집

삼각형  의 변  에 접하고 남은 두 변  ,  의 연장선에 접하는 원은 유일하게 존재한다. 이 원을 꼭짓점  에 대한 삼각형  방접원이라고 한다. 이 원의 중심   의 내각의 이등분선과  ,  의 외각의 이등분선의 교점이며, 이를 꼭짓점  에 대한 삼각형  방심(傍心, 영어: excenter)이라고 한다. 마찬가지로 꼭짓점  ,  에 대한 방접원과 방심  ,  를 정의할 수 있다.

방심 삼각형편집

삼각형  의 세 방심  ,  ,  를 꼭짓점으로 하는 삼각형  를 원래 삼각형  방심 삼각형(傍心三角形, 영어: excenter triangle)이라고 한다. 방심 삼각형의 외접원베번 원(Bevan圓, 영어: Bevan circle)이라고 하고, 이 원의 중심  베번 점(Bevan點, 영어: Bevan point)이라고 한다.

성질편집

방심과 삼각형의 세 변의 직선 사이의 거리는 같다. 이는 이 방심을 중심으로 하는 방접원의 반지름이다.

모든 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다.[1]:28, §3.2 모든 삼각형의 외심내심과 베번 점의 중점이다.[1]:29, §3.2 모든 삼각형의 슈피커 중심은 수심과 베번 점의 중점이다.[1]:27, §3.2 삼각형의 한 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 중점, 대변 위 방접원의 접점, 내심은 공선점이다.[1]:30, §3.3 삼각형  의 내심을  라고 하고, 내접원과 두 변  ,   사이의 접점을 각각  ,  라고 하고,   의 교점을  라고 할 경우,   의 수선이다.[1]:31, §3.4

모든 삼각형은 자기 자신의 방심 삼각형의 수족 삼각형이다.

포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 구점원은 이 삼각형의 세 방접원과 외접하고 내접원과 내접한다.

계량적 성질편집

삼각형  의 변  ,  ,  의 길이를  ,  ,  라고 하고, 반둘레 라고 하고, 넓이 라고 하자. 또한 내접원의 반지름을  라고 하고, 꼭짓점  ,  ,  에 대한 방접원의 반지름을  ,  ,  라고 하자. 그렇다면

 

이다.[2]:13, §1.4, Exercise 5 특히,

 

[3]:80, §2F, Theorem 2.34

 

가 성립한다.

각주편집

  1. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어). Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5. 
  2. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0. 
  3. Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4. 

외부 링크편집