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5개의 원소의 집합의 분할. 총 52가지가 있으며, 따라서 이다.
4개의 원소의 집합의 분할. 총 15가지가 있으며, 따라서 이다.

조합론에서, 벨 수(Bell數, 영어: Bell number)는 주어진 크기의 집합의 분할의 수를 세는 정수열이다. 12정도의 해 가운데 하나이며, 또한 푸아송 분포의 모멘트이다.

정의편집

n번째 벨 수(영어: Bell number) Bn은 n개의 원소들로 구성된 집합분할하는 방법의 가지수이다. 이는 n개의 원소들 사이의 동치 관계의 수로 생각할 수 있으며, 또  행의 시에서 가능한 각운 패턴의 수로도 여길 수 있다.[1]

제2종 스털링 수   개의 원소들로 구성된 집합을  개의 조각으로 분할하는 방법의 수이다. 따라서 벨 수는 제2종 스털링 수의 합이다.

 

투샤르 다항식편집

투샤르 다항식(영어: Touchard polynomial) 또는 벨 다항식(영어: Bell polynomial)은 다음과 같은 다항식열이다.

 

이는 음계산법을 써 다음과 같이 표기할 수 있다.[2]:186–187 하강 포흐하머 기호이항형 다항식열을 이루므로, 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자.

 
 

여기서  하강 포흐하머 기호이다. 이 범함수의 역범함수

 
 

를 생각하면,

 

가 된다.

벨 수는 투샤르 다항식의  인 값이다.

 

투샤르 다항식은 이항형 다항식열이다. 이에 대응하는 델타 작용소는  의 역함수인

 

이다.

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벨 수열의 값은 다음과 같다. (B0 = B1 = 1부터 시작한다.) (OEIS의 수열 A000110)

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, …

투샤르 다항식열의 값은 다음과 같다.

 
 
 
 
 
 
 

성질편집

점화식편집

투샤르 다항식과 벨 수는 다음과 같은 점화식을 만족시킨다.

 
 

이는 음계산법으로 표기하면 다음과 같다.[2]:187, Lemma 4.2.3

 

도빈스키 공식편집

다음 공식은 도빈스키 공식(영어: Dobiński’s formula)라고 불린다.[3]

 

이에 따라,  번째 벨 수는 기댓값이 1인 푸아송 분포

 

 번째 모멘트이다.

이는 음계산법으로 다음과 같이 유도할 수 있다.[2]:188, 4.2.4 우선

 

이다. 따라서,

 

이므로,

 

이다. 즉,

 

가 된다.

생성 함수편집

투샤르 다항식 및 벨 수는 다음과 같은 지수 생성 함수를 갖는다.

 
 

이는 음계산법을 사용하여 쉽게 유도할 수 있다.[2]:186, Theorem 4.2.2 하강 포흐하머 기호의 델타 작용소는 전방 유한 차분

 

이며, 따라서

 

이다. 즉,

 

이다. 그런데

 

이므로

 

이다. 따라서

 

이다.

적분 표현편집

지수 생성 함수에 코시의 적분정리를 사용하여, 투샤르 다항식과 벨 수를 다음과 같이 선적분으로 나타낼 수 있다.

 
 

여기서  는 원점을 시계 반대 방향으로 한 번 도는 임의의 폐곡선이다.

역사편집

 
52개의 겐지몬. 원래 겐지몬은 채색되어 있지 않으며, 색깔은 대응하는 집합의 분할을 구체적으로 보이기 위해 첨가하였다.
 
19세기 《겐지 이야기》 삽화. 왼쪽 상단에 6장 〈스에쓰무하나〉(일본어: 末摘花)에 대응하는 겐지몬이 표시돼 있다.

벨 수는 중세 일본 수학에서 최초로 등장한다. 《겐지 이야기》에서의 한 일화로부터 겐지코(일본어: 源氏香)라는 놀이가 등장했는데,[1] 이 놀이에서는 5개의 향 가운데 어떤 것들이 같은 냄새의 향인지 구별하는 것이 목표이다. 가능한 해의 수는 벨 수에 따라 총  가지다. 이 52가지의 벨 수는 겐지몬(일본어: 源氏紋)이라는 문양으로 나타내어져, 겐지 이야기의 54개의 장의 각 표지에 표시되었다. (이 가운데 54장 〈유메 노 우키하시〉(일본어: 夢浮橋)에는 벨 수와 관계없는 겐지몬이 붙어 있으며, 35장 〈와카나 노 게〉(일본어: 若菜下) 와 42장 〈니오노미야〉(일본어: 匂宮)의 겐지몬은 모양이 다르지만 같은 집합의 분할에 대응한다.)

번호 제목 집합의 분할
1 기리쓰보 13, 2, 45
2 하하키기 1, 2, 3, 4, 5
3 우쓰세미 1, 2, 3, 45
4 유가오 1, 2, 34, 5
5 와카무라사키 1, 23, 45
6 스에쓰무하나 1234, 5
7 모미지 노 가 1, 235, 4
8 하나 노 엔 1, 2, 35, 4
9 아오이 12, 3, 4, 5
10 사사키 123, 45
11 하나 치루 사토 1, 24, 35
12 스마 134, 25
13 아카시 1, 23, 4, 5
14 미오쓰쿠시 1, 245, 3
15 요모규 123, 4, 5
16 세키야 1, 234, 5
17 에아와세 13, 25, 4
18 마쓰카제 12, 34, 5
19 우스구모 1, 2345
20 아사가오 134, 2, 5
21 오토메 13, 2, 4, 5
22 다마카즈라 12, 345
23 하쓰네 13, 24, 5
24 고초 14, 235
25 호타루 124, 3, 5
26 도코나쓰 1, 2, 345
27 가가리비 1, 24, 3, 5
28 노와키 12, 3, 45
29 미유키 13, 245
30 후지바카마 14, 2, 3, 5
31 마키바시라 15, 24, 3
32 우메가에 1235, 4
33 후지 노 우라바 1, 25, 34
34 와카나 노 조 125, 34
35 와카나 노 게 124, 35 (분할은 42와 같지만, 겐지몬이 다름)
36 가시와기 135, 2, 4
37 요코부에 145, 2, 3
38 스즈무시 15, 2, 34
39 유기리 14, 2, 35
40 미노리 14, 25, 3
41 마보로시 15, 2, 3, 4
42 니오노미야 124, 35 (분할은 35와 같지만, 겐지몬이 다름)
43 고바이 1, 25, 3, 4
44 다케가와 15, 234
45 하시히메 1345, 2
46 시가모토 14, 23, 5
47 아게마키 145, 23
48 사와라비 12, 35, 4
49 야도리기 1245, 3
50 아즈마야 125, 3, 4
51 우키후네 15, 23, 4
52 가게로 135, 24
53 데나라이 12345
54 유메 노 우키하시 (물결 모양, 집합 분할과 관계없음)

1877년에 폴란드의 구스타브 도빈스키(폴란드어: Gustaw Dobiński)가 오늘날 도빈스키 공식이라고 불리는, 벨 수에 대한 공식을 발표하였다.[3] 벨 삼각형은 찰스 샌더스 퍼스가 1880년에,[4] 알렉산더 에잇컨(영어: Alexander C. Aitken)이 1933년에[5] 거론하였다.

스리니바사 라마누잔은 노트 2권[6] 3장에서 투샤르 다항식과 벨 수에 대하여 연구하였으나, 출판하지 않았다.[7]

에릭 템플 벨(영어: Eric Temple Bell)은 이 수들에 대하여 1934년부터 다루기 시작하였다.[8] 벨은 원래 이 수들을 "지수적 수"(영어: exponential number)라고 불렀으나, 이후 벨을 기려 "벨 수"라고 불리게 되었다. 자크 투샤르(프랑스어: Jacques Touchard)는 투샤르 다항식을 1939년에 도입하였다.[9]

같이 보기편집

참고 문헌편집

  1. Gardner, Martin (1978). “The Bells: versatile numbers that can count partitions of a set, primes and even rhymes”. 《Scientific American》 (영어) 238: 24–30. doi:10.1038/scientificamerican0578-24. 
  2. Kung, Joseph P. S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine H. (2009). 《Combinatorics: The Rota Way》. Cambridge Mathematical Library (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88389-4. doi:10.1017/CBO9780511803895. 
  3. Dobiński, G. (1877). “Summirung der Reihe   für m = 1, 2, 3, 4, 5, …”. 《Archiv der Mathematik und Physik mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten》 (독일어) 61: 333–336. JFM 09.0178.04.  |title=에 지움 문자가 있음(위치 21) (도움말)
  4. Peirce, C. S. (1880). “On the algebra of logic”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 3 (1): 15–57. JFM 12.0041.01. JSTOR 2369442. 
  5. Aitken, A. C. (1933). “A problem in combinations”. 《Edinburgh Mathematical Notes》 (영어) 28: 18–23. JFM 59.0937.01. Zbl 0007.38907. doi:10.1017/S1757748900002334. 
  6. Ramanujan, Srinivasa (1957). 《Notebooks Vol. 2》 (영어). 뭄바이: Tata Institute of Fundamental Research. 
  7. Berndt, Bruce C. (2011년 4월). “Ramanujan reaches his hand from his grave to snatch your theorems from you” (PDF). 《Asia Pacific Mathematics Newsletter》 (영어) 1 (2): 8–13. 
  8. Bell, E. T. (1934). “Exponential polynomials”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 35: 258–277. JFM 60.0295.01. JSTOR 1968431. Zbl 0009.21202. 
  9. Touchard, Jacques (1939). “Sur les cycles des substitutions”. 《Acta Mathematica》 70 (1): 243–297. ISSN 0001-5962. MR 1555449. doi:10.1007/BF02547349. 

외부 링크편집