대수기하학 과 미분기하학 에서, 보편 가역층 (普遍可逆層, 영어 : universal invertible sheaf , tautological invertible sheaf ) 또는 보편 선다발 (普遍線다발, 영어 : universal line bundle , tautological line bundle )은 사영 공간 위에 정의되는 표준적인 가역층 (선다발 )이며, 보통
O
(
−
1
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}
로 표기된다. 대략, 사영 공간은 벡터 공간 의 원점을 지나는 1차원 부분 벡터 공간들의 모듈라이 공간 이므로, 보편 가역층은 사영 공간의 각 점에, 이 점이 나타내는 1차원 부분 벡터 공간을 대응시키는 선다발이다.
체
K
{\displaystyle K}
위의 유한 생성 자유 가환 결합 대수
A
=
K
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle A=K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}
를 생각하자.
n
{\displaystyle n}
차원 사영 공간 은 그 사영 스펙트럼 이다.
P
K
n
=
Proj
A
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} A}
이제, 구조층
O
P
K
n
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}}
위의 대수층
A
=
O
P
K
n
[
y
0
,
…
,
y
n
]
{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}[y_{0},\dotsc ,y_{n}]}
의 상대 스펙트럼
S
p
e
c
_
A
=
A
P
K
n
n
+
1
=
P
K
n
×
K
A
K
n
+
1
{\displaystyle \operatorname {\underline {Spec}} {\mathcal {A}}=\mathbb {A} _{\mathbb {P} _{K}^{n}}^{n+1}=\mathbb {P} _{K}^{n}\times _{K}\mathbb {A} _{K}^{n+1}}
을 취하자. 기하학적으로, 이는
n
{\displaystyle n}
차원 사영 공간 위의 자명한
n
+
1
{\displaystyle n+1}
차원 벡터 다발 에 해당한다.
이제, 대수층의 다음과 같은 아이디얼 층 을 생각하자.
I
=
(
x
i
y
j
−
x
j
y
i
)
i
,
j
∈
{
0
,
1
,
…
,
n
}
⊆
A
{\displaystyle {\mathfrak {I}}=(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})_{i,j\in \{0,1,\dotsc ,n\}}\subseteq {\mathcal {A}}}
그렇다면, 이에 대한 몫 대수층
O
P
K
n
(
−
1
)
=
S
p
e
c
_
(
A
/
I
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{{\mathcal {P}}_{K}^{n}}(-1)=\operatorname {\underline {Spec}} ({\mathcal {A}}/{\mathfrak {I}})}
는 가역층 을 이룬다. 이를
P
K
n
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}}
의 보편 가역층 이라고 한다. 기하학적으로, 그 닫힌점들의 집합은
{
(
[
x
0
:
x
1
:
⋯
:
x
n
]
,
y
0
,
y
1
,
…
,
y
n
)
∈
P
K
n
×
K
A
K
n
+
1
:
[
x
0
:
⋯
:
x
n
]
=
[
y
0
:
⋯
:
y
n
]
}
∪
P
K
n
×
{
(
0
,
0
,
…
,
0
)
}
{\displaystyle \{([x_{0}:x_{1}:\dotsb :x_{n}],y_{0},y_{1},\dotsc ,y_{n})\in \mathbb {P} _{K}^{n}\times _{K}\mathbb {A} _{K}^{n+1}\colon [x_{0}:\dotsb :x_{n}]=[y_{0}:\dotsb :y_{n}]\}\cup \mathbb {P} _{K}^{n}\times \{(0,0,\dotsc ,0)\}}
이다. 여기서
(
−
,
−
,
…
,
−
)
{\displaystyle (-,-,\dotsc ,-)}
은 아핀 공간 의 데카르트 좌표이며,
[
−
:
−
:
⋯
:
−
]
{\displaystyle [-:-:\dotsb :-]}
는 사영 공간 의 동차 좌표 이다.
보편 가역층
O
(
−
1
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}
은 세르 뒤틀림층 (영어 : Serre’s twisting sheaf )
O
(
1
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
의 (텐서곱에 대한) 역원이다.
체
K
{\displaystyle K}
위의 사영 공간
P
K
n
=
Proj
K
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}
을 생각하자. 이 경우, 가환환의 몫 사상
K
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
↠
x
0
↦
0
K
[
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]\,{\stackrel {x_{0}\mapsto 0}{\twoheadrightarrow }}\,K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}
으로 정의되는, 사영 공간 사이의 사상
P
K
n
−
1
↪
P
K
n
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n-1}\hookrightarrow \mathbb {\mathbb {P} } _{K}^{n}}
을 생각하자. 이는 여차원 1의 닫힌 부분 스킴 이므로,
P
K
n
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}}
의 베유 인자 를 이룬다. 이를 초평면 인자 (영어 : hyperplane divisor )라고 하고,
H
{\displaystyle H}
로 표기하자.
(
x
0
{\displaystyle x_{0}}
대신 다른 좌표를 사용하거나
x
0
{\displaystyle x_{0}}
을 0 대신 다른 값으로 대응시키더라도, 이와 같은 동치류에 속하는 베유 인자 를 얻는다.)
그렇다면, 보편 가역층은 인자류
−
[
H
]
∈
DivCl
(
P
K
n
)
{\displaystyle -[H]\in \operatorname {DivCl} (\mathbb {P} _{K}^{n})}
에 대응한다. (즉, 효과적 인자류
[
H
]
{\displaystyle [H]}
는 세르 뒤틀림층 에 대응한다.)