호몰로지 대수학 에서 스펙트럼 열 (spectrum列, 영어 : spectral sequence )은 어떤 호몰로지 또는 코호몰로지 에 대한 일련의 근사들을 나타내는 수학적 대상이다.
어떤 아벨 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
의 대상들이 두 개의 정수 등급(grading)
(
p
,
q
)
∈
Z
2
{\displaystyle (p,q)\in \mathbb {Z} ^{2}}
을 가진다고 하자. 이 경우, (코호몰로지) 스펙트럼 열
E
r
p
,
q
{\displaystyle E_{r}^{p,q}}
는 다음과 같은 대상들로 이루어진다.
어떤 정수
r
0
∈
Z
{\displaystyle r_{0}\in \mathbb {Z} }
모든
r
≥
r
0
{\displaystyle r\geq r_{0}}
에 대하여,
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
의 대상
E
r
p
,
q
{\displaystyle E_{r}^{p,q}}
공경계 사상
d
r
p
,
q
:
E
r
p
,
q
→
E
r
p
+
r
,
q
+
1
−
r
{\displaystyle d_{r}^{p,q}\colon E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q+1-r}}
이들은 다음을 만족시킨다.
모든 정수
r
≥
r
0
{\displaystyle r\geq r_{0}}
에 대하여,
d
r
∘
d
r
=
0
{\displaystyle d_{r}\circ d_{r}=0}
이다.
⋯
→
E
r
p
−
2
r
,
q
−
2
+
2
r
→
d
r
E
r
p
−
r
,
q
−
1
+
r
→
d
r
E
r
p
,
q
→
d
r
E
r
p
+
r
,
q
+
1
−
r
→
d
r
E
r
p
+
2
r
,
q
+
2
−
2
r
→
⋯
{\displaystyle \cdots \to E_{r}^{p-2r,q-2+2r}{\xrightarrow {d_{r}}}E_{r}^{p-r,q-1+r}{\xrightarrow {d_{r}}}E_{r}^{p,q}{\xrightarrow {d_{r}}}E_{r}^{p+r,q+1-r}{\xrightarrow {d_{r}}}E_{r}^{p+2r,q+2-2r}\to \cdots }
H
(
E
r
p
,
q
)
=
ker
d
r
p
,
q
/
im
d
r
p
−
r
,
q
−
1
+
r
≅
E
r
+
1
p
,
q
{\displaystyle H(E_{r}^{p,q})=\ker d_{r}^{p,q}/\operatorname {im} d_{r}^{p-r,q-1+r}\cong E_{r+1}^{p,q}}
이다.
호몰로지 스펙트럼 열 의 경우 대신
E
p
,
q
r
{\displaystyle E_{p,q}^{r}}
로 쓰고, 이 경우 공경계 사상 대신 경계 사상
∂
r
:
E
p
,
q
r
→
E
p
−
r
,
q
−
1
+
r
r
{\displaystyle \partial _{r}\colon E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q-1+r}^{r}}
을 사용한다.
코호몰로지 스펙트럼 수열
E
2
p
,
q
{\displaystyle E_{2}^{p,q}}
의 형상화
그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진
r
{\displaystyle r}
에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이
r
0
,
r
0
+
1
,
…
{\displaystyle r_{0},r_{0}+1,\dots }
인 "책"을 이루며, 책의
r
≥
r
0
{\displaystyle r\geq r_{0}}
번째 쪽에는
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다.
스펙트럼 열
E
r
p
,
q
{\displaystyle E_{r}^{p,q}}
이 주어졌다고 하자. 만약 각
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수
r
0
(
p
,
q
)
{\displaystyle r_{0}(p,q)}
가 존재한다고 하자.
d
r
p
−
r
,
q
+
r
+
1
=
0
∀
r
≥
r
0
(
p
,
q
)
{\displaystyle d_{r}^{p-r,q+r+1}=0\qquad \forall r\geq r_{0}(p,q)}
d
r
p
,
q
=
0
∀
r
≥
r
0
(
p
,
q
)
{\displaystyle d_{r}^{p,q}=0\qquad \forall r\geq r_{0}(p,q)}
그렇다면, 주어진
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
에 대하여
E
r
p
,
q
{\displaystyle E_{r}^{p,q}}
는 충분히 큰
r
{\displaystyle r}
에 대하여 같아진다. 이를
E
∞
p
,
q
{\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}
라고 하고,
E
r
p
,
q
{\displaystyle E_{r}^{p,q}}
가 여과 지표 (濾過指標, 영어 : filtration index )
p
{\displaystyle p}
에 대하여
E
∞
p
,
q
{\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}
로 수렴 (收斂, 영어 : converge , abut )한다고 한다. 이는 기호로 다음과 같이 적는다.
E
r
p
,
q
⇒
p
E
∞
p
,
q
{\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}}
보통
E
∞
p
,
q
{\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}
는 여과
F
∙
E
∞
n
{\displaystyle F^{\bullet }E_{\infty }^{n}}
가 갖추어져 있는 대상
E
∞
n
{\displaystyle E_{\infty }^{n}}
으로부터 다음과 같이 얻어진다.
E
∞
p
,
q
=
F
p
E
∞
p
+
q
F
p
+
1
E
∞
p
+
q
{\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\frac {F^{p}E_{\infty }^{p+q}}{F^{p+1}E_{\infty }^{p+q}}}}
이 경우 마찬가지로
E
r
p
,
q
⇒
p
E
∞
n
{\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n}}
로 표기한다.
스펙트럼 열
E
r
p
,
q
{\displaystyle E_{r}^{p,q}}
이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 정수
r
0
{\displaystyle r_{0}}
가 존재한다면,
E
r
p
,
q
{\displaystyle E_{r}^{p,q}}
가
r
0
{\displaystyle r_{0}}
에서 퇴화 (退化, 영어 : degenerate )한다고 한다.
d
r
p
,
q
=
0
∀
p
,
q
∈
Z
,
r
≥
r
0
{\displaystyle d_{r}^{p,q}=0\qquad \forall p,q\in \mathbb {Z} ,\;r\geq r_{0}}
스펙트럼 열이 퇴화하는 것은 스펙트럼 열이 수렴하는 것보다 더 강한 조건이다.
제1 사분면 스펙트럼 열 (第一四分面spectrum列, 영어 : first-quadrant spectral sequence )는 다음 조건을 만족시키는 스펙트럼 열이다.
만약
p
<
0
{\displaystyle p<0}
또는
q
<
0
{\displaystyle q<0}
이라면
E
r
p
,
q
=
0
{\displaystyle E_{r}^{p,q}=0}
즉, 모든 쪽에서 성분이 오직 제1 사분면 에서만 영 대상 이 아닌 스펙트럼 열이다. 사실,
r
{\displaystyle r}
번째 쪽에서 성분이 제1 사분면에만 존재한다면 그 다음에 오는 모든 쪽에서 성분들은 제1 사분면에서만 존재하게 된다. 따라서, 이 조건은 첫 번째 쪽에서만 확인하면 된다.
제1 사분면 스펙트럼 열은 항상 수렴한다. 구체적으로, 제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열의 경우
E
∞
p
,
q
=
E
max
{
p
+
1
,
q
+
2
}
p
,
q
{\displaystyle E_{\infty }^{p,q}=E_{\max\{p+1,q+2\}}^{p,q}}
이며, 호몰로지 스펙트럼 열의 경우 역시
E
p
,
q
∞
=
E
p
,
q
max
{
p
+
1
,
q
+
2
}
{\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=E_{p,q}^{\max\{p+1,q+2\}}}
이다.
제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열
E
2
p
,
q
⇒
p
E
∞
p
+
q
{\displaystyle E_{2}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p+q}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 셋째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다.
|
⋮
⋮
⋮
⋮
E
3
0
,
2
E
3
1
,
2
E
3
2
,
2
E
3
3
,
2
⋯
E
3
0
,
1
E
3
1
,
1
E
3
2
,
1
E
3
3
,
1
⋯
E
3
0
,
0
E
3
1
,
0
E
3
2
,
0
E
3
3
,
0
⋯
_
=
|
⋮
⋮
⋮
⋮
ker
d
2
0
,
2
ker
d
2
1
,
2
ker
d
2
2
,
2
im
d
2
0
,
3
ker
d
2
3
,
2
im
d
2
1
,
3
⋯
ker
d
2
0
,
1
ker
d
2
1
,
1
ker
d
2
2
,
1
im
d
2
0
,
2
ker
d
2
3
,
1
im
d
2
1
,
2
⋯
E
2
0
,
0
E
2
1
,
0
coker
d
2
0
,
1
coker
d
2
1
,
1
⋯
_
{\displaystyle \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\E_{3}^{0,2}&E_{3}^{1,2}&E_{3}^{2,2}&E_{3}^{3,2}&\cdots \\E_{3}^{0,1}&E_{3}^{1,1}&E_{3}^{2,1}&E_{3}^{3,1}&\cdots \\E_{3}^{0,0}&E_{3}^{1,0}&E_{3}^{2,0}&E_{3}^{3,0}&\cdots \end{matrix}}}\right.\qquad =\qquad \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\ker d_{2}^{0,2}&\ker d_{2}^{1,2}&{\tfrac {\ker d_{2}^{2,2}}{\operatorname {im} d_{2}^{0,3}}}&{\tfrac {\ker d_{2}^{3,2}}{\operatorname {im} d_{2}^{1,3}}}&\cdots \\\ker d_{2}^{0,1}&\ker d_{2}^{1,1}&{\tfrac {\ker d_{2}^{2,1}}{\operatorname {im} d_{2}^{0,2}}}&{\tfrac {\ker d_{2}^{3,1}}{\operatorname {im} d_{2}^{1,2}}}&\cdots \\E_{2}^{0,0}&E_{2}^{1,0}&\operatorname {coker} d_{2}^{0,1}&\operatorname {coker} d_{2}^{1,1}&\cdots \end{matrix}}}\right.}
넷째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다.
|
⋮
⋮
⋮
⋮
E
4
0
,
2
E
4
1
,
2
E
4
2
,
2
E
4
3
,
2
⋯
E
4
0
,
1
E
4
1
,
1
E
4
2
,
1
E
4
3
,
1
⋯
E
4
0
,
0
E
4
1
,
0
E
4
2
,
0
E
4
3
,
0
⋯
_
=
|
⋮
⋮
⋮
⋮
ker
d
3
0
,
2
ker
d
3
1
,
2
ker
d
3
2
,
2
ker
d
3
3
,
2
im
d
3
0
,
4
⋯
ker
d
2
0
,
1
ker
d
2
1
,
1
ker
d
2
2
,
1
im
d
2
0
,
2
coker
d
3
0
,
3
⋯
E
2
0
,
0
E
2
1
,
0
coker
d
2
0
,
1
coker
d
3
0
,
2
⋯
_
{\displaystyle \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\E_{4}^{0,2}&E_{4}^{1,2}&E_{4}^{2,2}&E_{4}^{3,2}&\cdots \\E_{4}^{0,1}&E_{4}^{1,1}&E_{4}^{2,1}&E_{4}^{3,1}&\cdots \\E_{4}^{0,0}&E_{4}^{1,0}&E_{4}^{2,0}&E_{4}^{3,0}&\cdots \end{matrix}}}\right.\qquad =\qquad \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\ker d_{3}^{0,2}&\ker d_{3}^{1,2}&\ker d_{3}^{2,2}&{\tfrac {\ker d_{3}^{3,2}}{\operatorname {im} d_{3}^{0,4}}}&\cdots \\\ker d_{2}^{0,1}&\ker d_{2}^{1,1}&{\tfrac {\ker d_{2}^{2,1}}{\operatorname {im} d_{2}^{0,2}}}&\operatorname {coker} d_{3}^{0,3}&\cdots \\E_{2}^{0,0}&E_{2}^{1,0}&\operatorname {coker} d_{2}^{0,1}&\operatorname {coker} d_{3}^{0,2}&\cdots \end{matrix}}}\right.}
즉, 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 성분들로 수렴한다.
|
⋮
⋮
⋮
⋮
E
∞
0
,
2
E
∞
1
,
2
E
∞
2
,
2
E
∞
3
,
2
⋯
E
∞
0
,
1
E
∞
1
,
1
E
∞
2
,
1
E
∞
3
,
1
⋯
E
∞
0
,
0
E
∞
1
,
0
E
∞
2
,
0
E
∞
3
,
0
⋯
_
=
|
⋮
⋮
⋮
⋮
ker
d
3
0
,
2
ker
d
3
1
,
2
ker
d
3
2
,
2
ker
d
3
3
,
2
im
d
3
0
,
4
⋯
ker
d
2
0
,
1
ker
d
2
1
,
1
ker
d
2
2
,
1
im
d
2
0
,
2
coker
d
3
0
,
3
⋯
E
2
0
,
0
E
2
1
,
0
coker
d
2
0
,
1
coker
d
3
0
,
2
⋯
_
{\displaystyle \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\E_{\infty }^{0,2}&E_{\infty }^{1,2}&E_{\infty }^{2,2}&E_{\infty }^{3,2}&\cdots \\E_{\infty }^{0,1}&E_{\infty }^{1,1}&E_{\infty }^{2,1}&E_{\infty }^{3,1}&\cdots \\E_{\infty }^{0,0}&E_{\infty }^{1,0}&E_{\infty }^{2,0}&E_{\infty }^{3,0}&\cdots \end{matrix}}}\right.\qquad =\qquad \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\ker d_{3}^{0,2}&\ker d_{3}^{1,2}&\ker d_{3}^{2,2}&{\tfrac {\ker d_{3}^{3,2}}{\operatorname {im} d_{3}^{0,4}}}&\cdots \\\ker d_{2}^{0,1}&\ker d_{2}^{1,1}&{\tfrac {\ker d_{2}^{2,1}}{\operatorname {im} d_{2}^{0,2}}}&\operatorname {coker} d_{3}^{0,3}&\cdots \\E_{2}^{0,0}&E_{2}^{1,0}&\operatorname {coker} d_{2}^{0,1}&\operatorname {coker} d_{3}^{0,2}&\cdots \end{matrix}}}\right.}
수렴한 성분들이
E
∞
∙
{\displaystyle E_{\infty }^{\bullet }}
의 여과 에 의하여 주어진다고 하자.
E
∞
p
,
q
=
F
p
E
∞
p
+
q
F
p
+
1
E
∞
p
+
q
{\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\frac {F^{p}E_{\infty }^{p+q}}{F^{p+1}E_{\infty }^{p+q}}}}
그렇다면 다음이 성립한다.
E
2
1
,
0
≅
E
∞
1
,
0
=
F
1
E
∞
1
F
2
E
∞
1
=
F
1
E
∞
1
{\displaystyle E_{2}^{1,0}\cong E_{\infty }^{1,0}={\frac {F^{1}E_{\infty }^{1}}{F^{2}E_{\infty }^{1}}}=F^{1}E_{\infty }^{1}}
ker
d
2
0
,
1
≅
E
∞
0
,
2
=
F
0
E
∞
1
F
1
E
∞
1
=
E
∞
1
F
1
E
∞
1
{\displaystyle \ker d_{2}^{0,1}\cong E_{\infty }^{0,2}={\frac {F^{0}E_{\infty }^{1}}{F^{1}E_{\infty }^{1}}}={\frac {E_{\infty }^{1}}{F^{1}E_{\infty }^{1}}}}
coker
d
2
0
,
1
≅
E
∞
2
,
0
=
F
2
E
∞
2
F
3
E
∞
2
=
F
2
E
∞
2
{\displaystyle \operatorname {coker} d_{2}^{0,1}\cong E_{\infty }^{2,0}={\frac {F^{2}E_{\infty }^{2}}{F^{3}E_{\infty }^{2}}}=F^{2}E_{\infty }^{2}}
따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.
0
→
E
2
1
,
0
≅
F
1
E
∞
1
↪
E
∞
1
→
E
∞
1
F
1
E
∞
1
≅
ker
d
2
0
,
1
↪
E
2
0
,
1
→
d
2
0
,
1
E
2
2
,
0
↠
coker
d
2
0
,
1
≅
F
2
E
∞
2
↪
E
∞
2
{\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\cong F^{1}E_{\infty }^{1}\hookrightarrow E_{\infty }^{1}\to {\frac {E_{\infty }^{1}}{F^{1}E_{\infty }^{1}}}\cong \ker d_{2}^{0,1}\hookrightarrow E_{2}^{0,1}{\xrightarrow {d_{2}^{0,1}}}E_{2}^{2,0}\twoheadrightarrow \operatorname {coker} d_{2}^{0,1}\cong F^{2}E_{\infty }^{2}\hookrightarrow E_{\infty }^{2}}
여기서
ker
d
2
0
,
1
{\displaystyle \ker d_{2}^{0,1}}
와
coker
d
2
0
,
1
{\displaystyle \operatorname {coker} d_{2}^{0,1}}
을 생략하면, 다음과 같은 완전열 을 얻는다.
0
→
E
2
1
,
0
→
E
∞
1
→
E
2
0
,
1
→
d
2
0
,
1
E
2
2
,
0
→
E
∞
2
{\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\to E_{\infty }^{1}\to E_{2}^{0,1}{\xrightarrow {d_{2}^{0,1}}}E_{2}^{2,0}\to E_{\infty }^{2}}
이를 5항 완전열 (五項完全列, 영어 : five-term exact sequence )이라고 한다.
마찬가지로, 수렴하는 제1 사분면 호몰로지 스펙트럼 열
E
p
,
q
2
⇒
p
E
p
+
q
∞
{\displaystyle E_{p,q}^{2}\Rightarrow _{p}E_{p+q}^{\infty }}
이 주어졌다고 하고, 수렴한 성분들이
E
∙
∞
{\displaystyle E_{\bullet }^{\infty }}
의 여과 에 의하여 주어진다고 하자.
E
p
,
q
∞
=
F
p
E
p
+
q
∞
F
p
−
1
E
p
+
q
∞
{\displaystyle E_{p,q}^{\infty }={\frac {F_{p}E_{p+q}^{\infty }}{F_{p-1}E_{p+q}^{\infty }}}}
그렇다면, 스펙트럼 열의 처음 몇 성분은 다음과 같다.
E
1
,
0
2
≅
E
1
,
0
∞
=
F
1
E
1
∞
F
0
E
1
∞
=
E
1
∞
F
0
E
1
∞
{\displaystyle E_{1,0}^{2}\cong E_{1,0}^{\infty }={\frac {F_{1}E_{1}^{\infty }}{F_{0}E_{1}^{\infty }}}={\frac {E_{1}^{\infty }}{F_{0}E_{1}^{\infty }}}}
ker
∂
2
,
0
2
≅
E
2
,
0
∞
=
F
2
E
2
∞
F
1
E
2
∞
=
E
2
∞
F
1
E
2
∞
{\displaystyle \ker \partial _{2,0}^{2}\cong E_{2,0}^{\infty }={\frac {F_{2}E_{2}^{\infty }}{F_{1}E_{2}^{\infty }}}={\frac {E_{2}^{\infty }}{F_{1}E_{2}^{\infty }}}}
coker
∂
2
,
0
2
≅
E
0
,
1
∞
=
F
0
E
∞
2
F
−
1
E
∞
2
=
F
0
E
∞
2
{\displaystyle \operatorname {coker} \partial _{2,0}^{2}\cong E_{0,1}^{\infty }={\frac {F_{0}E_{\infty }^{2}}{F_{-1}E_{\infty }^{2}}}=F_{0}E_{\infty }^{2}}
이따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.
E
2
∞
↠
E
2
∞
F
1
E
2
∞
≅
ker
∂
2
,
0
2
↪
E
2
,
0
2
→
∂
2
,
0
2
E
0
,
1
2
↠
coker
∂
2
,
0
2
≅
F
0
E
1
∞
↪
E
1
∞
↠
E
1
∞
F
0
E
1
∞
≅
E
1
,
0
2
→
0
{\displaystyle E_{2}^{\infty }\twoheadrightarrow {\frac {E_{2}^{\infty }}{F_{1}E_{2}^{\infty }}}\cong \ker \partial _{2,0}^{2}\hookrightarrow E_{2,0}^{2}{\xrightarrow {\partial _{2,0}^{2}}}E_{0,1}^{2}\twoheadrightarrow \operatorname {coker} \partial _{2,0}^{2}\cong F_{0}E_{1}^{\infty }\hookrightarrow E_{1}^{\infty }\twoheadrightarrow {\frac {E_{1}^{\infty }}{F_{0}E_{1}^{\infty }}}\cong E_{1,0}^{2}\to 0}
여기서
ker
∂
2
,
0
2
{\displaystyle \ker \partial _{2,0}^{2}}
와
coker
∂
2
,
0
2
{\displaystyle \operatorname {coker} \partial _{2,0}^{2}}
을 생략하면, 다음과 같은 5항 완전열 을 얻는다.
E
2
∞
→
E
2
,
0
2
→
∂
2
,
0
2
E
0
,
1
2
→
E
1
∞
→
E
1
,
0
2
→
0
{\displaystyle E_{2}^{\infty }\to E_{2,0}^{2}{\xrightarrow {\partial _{2,0}^{2}}}E_{0,1}^{2}\to E_{1}^{\infty }\to E_{1,0}^{2}\to 0}
스펙트럼 열은 보통 완전쌍 이나 사슬 복합체의 여과 로부터 발생한다.
어떤 아벨 범주 속에서의 완전쌍 (完全雙, 영어 : exact couple )
(
A
,
E
,
f
,
g
,
h
)
{\displaystyle (A,E,f,g,h)}
은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
두 개의 대상
A
{\displaystyle A}
,
E
{\displaystyle E}
사상
A
→
f
A
→
g
E
→
h
A
{\displaystyle A{\xrightarrow {f}}A{\xrightarrow {g}}E{\xrightarrow {h}}A}
이들은
im
f
=
ker
g
{\displaystyle \operatorname {im} f=\ker g}
im
g
=
ker
h
{\displaystyle \operatorname {im} g=\ker h}
im
h
=
ker
f
{\displaystyle \operatorname {im} h=\ker f}
를 만족시켜야 한다. 즉, 다음 그림이 완전열 을 이룬다.
A
→
f
A
h
↖
↙
g
E
{\displaystyle {\begin{matrix}A\qquad &{\xrightarrow {f}}&\qquad A\\{\scriptstyle h}\nwarrow &&\swarrow \scriptstyle g\\&E\end{matrix}}}
완전쌍
(
A
,
E
,
f
,
g
,
h
)
{\displaystyle (A,E,f,g,h)}
의 유도 완전쌍 (誘導完全雙, 영어 : derived exact couple )
(
A
′
,
E
′
,
f
′
,
g
′
,
h
′
)
{\displaystyle (A',E',f',g',h')}
은 다음과 같은 완전쌍이다.
d
=
g
∘
h
{\displaystyle d=g\circ h}
A
′
=
im
f
{\displaystyle A'=\operatorname {im} f}
E
′
=
ker
d
/
im
d
{\displaystyle E'=\ker d/\operatorname {im} d}
f
′
=
f
|
A
:
A
′
→
A
′
{\displaystyle f'=f|_{A}\colon A'\to A'}
g
′
:
A
′
→
E
′
{\displaystyle g'\colon A'\to E'}
는 (모든 아벨 범주는 구체적 범주 로 나타낼 수 있으므로)
g
′
:
a
′
↦
g
(
f
−
1
(
a
′
)
)
{\displaystyle g'\colon a'\mapsto g(f^{-1}(a'))}
이다. 이 경우,
f
−
1
(
a
′
)
{\displaystyle f^{-1}(a')}
의 선택이 상관없음을 보일 수 있다.
h
′
:
E
′
→
A
′
{\displaystyle h'\colon E'\to A'}
는
h
:
C
→
A
{\displaystyle h\colon C\to A}
에 의하여 유도된다. 즉,
h
:
[
e
]
↦
h
(
e
)
{\displaystyle h\colon [e]\mapsto h(e)}
이다. 이 경우,
g
(
h
(
e
)
)
=
0
{\displaystyle g(h(e))=0}
이므로 항상
g
(
h
(
e
)
)
=
f
(
a
)
{\displaystyle g(h(e))=f(a)}
인
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
가 존재하며, 따라서
h
(
e
)
∈
f
(
A
)
=
A
′
{\displaystyle h(e)\in f(A)=A'}
이다.
이를 반복하여,
n
{\displaystyle n}
차 유도 완전쌍
(
A
(
n
)
,
E
(
n
)
,
f
(
n
)
,
g
(
n
)
,
h
(
n
)
)
{\displaystyle (A^{(n)},E^{(n)},f^{(n)},g^{(n)},h^{(n)})}
을 정의할 수 있다. 그렇다면,
E
(
0
)
⇒
d
E
(
1
)
⇒
d
(
1
)
E
(
2
)
⇒
⋯
{\displaystyle E^{(0)}{\stackrel {d}{\Rightarrow }}E^{(1)}{\stackrel {d^{(1)}}{\Rightarrow }}E^{(2)}\Rightarrow \cdots }
는 스펙트럼 열을 이룬다. (보통,
A
{\displaystyle A}
및
C
{\displaystyle C}
는 두 개의 등급을 갖는다.) 알려진 대부분의 스펙트럼 열은 이와 같이 완전쌍으로부터 유도된다.
사슬 복합체
(
C
∙
,
∂
∙
)
{\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })}
에 증가하는 여과
F
∙
(
C
∙
)
{\displaystyle F_{\bullet }(C_{\bullet })}
가 주어졌다고 하자. 즉,
F
p
C
∙
⊆
F
p
+
1
C
∙
{\displaystyle F_{p}C_{\bullet }\subseteq F_{p+1}C_{\bullet }}
라고 하자. 또한, 경계
∂
{\displaystyle \partial }
가 여과와 호환된다고 하자. 즉,
∂
(
F
p
C
n
)
⊆
∂
(
F
p
C
n
+
1
)
{\displaystyle \partial (F_{p}C_{n})\subseteq \partial (F_{p}C_{n+1})}
이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 완전 그림이 존재한다.
⋮
⋮
⋮
⋮
↓
f
↓
↓
f
↓
⋯
→
H
n
+
1
(
F
p
C
∙
)
→
g
H
n
+
1
(
F
p
C
∙
/
F
p
−
1
C
∙
)
→
h
H
n
(
F
p
−
1
C
∙
)
→
g
H
n
(
F
p
−
1
C
∙
/
F
p
−
2
C
∙
)
→
⋯
↓
f
↓
↓
f
↓
⋯
→
H
n
+
1
(
F
p
+
1
C
∙
)
→
g
H
n
+
1
(
F
p
+
1
C
∙
/
F
p
C
∙
)
→
h
H
n
(
F
p
C
∙
)
→
g
H
n
(
F
p
C
∙
/
F
p
−
1
C
∙
)
→
⋯
↓
f
↓
↓
f
↓
⋮
⋮
⋮
⋮
{\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(F_{p}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(F_{p}C^{\bullet }/F_{p-1}C^{\bullet })&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(F_{p-1}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(F_{p-1}C^{\bullet }/F_{p-2}C^{\bullet })&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(F_{p+1}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(F_{p+1}C^{\bullet }/F_{p}C^{\bullet })&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(F_{p}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(F_{p}C^{\bullet }/F_{p-1}C^{\bullet })&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}}
여기에
A
=
⨁
p
,
q
H
q
(
F
p
C
∙
)
{\displaystyle A=\bigoplus _{p,q}H_{q}(F_{p}C^{\bullet })}
E
=
⨁
p
,
q
H
q
(
F
p
C
∙
/
F
p
−
1
C
∙
)
{\displaystyle E=\bigoplus _{p,q}H_{q}(F_{p}C^{\bullet }/F_{p-1}C^{\bullet })}
를 정의한다면,
f
:
A
→
A
{\displaystyle f\colon A\to A}
g
:
A
→
E
{\displaystyle g\colon A\to E}
h
:
E
→
A
{\displaystyle h\colon E\to A}
를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 스펙트럼 열을 정의할 수 있다.
X
{\displaystyle X}
가 CW 복합체 이며,
X
p
{\displaystyle X_{p}}
가 그
p
{\displaystyle p}
차원 뼈대라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 완전 도형이 존재한다.[ 1]
⋮
⋮
⋮
⋮
↓
f
↓
↓
f
↓
⋯
→
H
n
+
1
(
X
p
)
→
g
H
n
+
1
(
X
p
,
X
p
−
1
)
→
h
H
n
(
X
p
−
1
)
→
g
H
n
(
X
p
−
1
,
X
p
−
2
)
→
⋯
↓
f
↓
↓
f
↓
⋯
→
H
n
+
1
(
X
p
+
1
)
→
g
H
n
+
1
(
X
p
+
1
,
X
p
)
→
h
H
n
(
X
p
)
→
g
H
n
(
X
p
,
X
p
−
1
)
→
⋯
↓
f
↓
↓
f
↓
⋮
⋮
⋮
⋮
{\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(X_{p})&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(X_{p},X_{p-1})&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(X_{p-1})&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(X_{p-1},X_{p-2})&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(X_{p+1})&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(X_{p+1},X_{p})&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(X_{p})&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(X_{p},X_{p-1})&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}}
이에 따라,
A
=
⨁
p
,
q
H
q
(
X
p
)
{\displaystyle A=\bigoplus _{p,q}H_{q}(X_{p})}
E
=
⨁
p
,
q
H
q
(
X
p
,
X
p
−
1
)
{\displaystyle E=\bigoplus _{p,q}H_{q}(X_{p},X_{p-1})}
로 놓으면,
f
:
A
→
A
{\displaystyle f\colon A\to A}
g
:
A
→
E
{\displaystyle g\colon A\to E}
h
:
E
→
A
{\displaystyle h\colon E\to A}
를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 유도되는 스펙트럼 열은
E
p
,
q
2
{\displaystyle E_{p,q}^{2}}
에서 끝난다. 이를 통해, 세포 코호몰로지 가 특이 코호몰로지 와 동형임을 보일 수 있다.
↑ Bott, Raoul ; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 82 . Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-3951-0 . ISBN 978-1-4419-2815-3 . ISSN 0072-5285 . MR 658304 . Zbl 0496.55001 .
↑ Leray, Jean (1946). “L’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222 : 1366–1368. Zbl 0060.40801 .
↑ Leray, Jean (1946). “Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222 : 1419–1422. Zbl 0060.40802 .
↑ Serre, Jean-Pierre (1951년 11월). “Homologie singulière des espaces fibrés”. 《Annals of Mathematics》 (프랑스어) 54 (3): 425–505. doi :10.2307/1969485 . JSTOR 1969485 .
↑ Leray, J. (1949). 〈L’homologie filtrée〉. 《Topologie algébraique》. Colloques internationaux du CNRS (프랑스어) 12 . 61–82쪽. MR 0035019 . Zbl 0040.10001 .
↑ 가 나 Miller, Haynes (2000). 〈Leray in Oflag XVIIA: the origins of sheaf theory, sheaf cohomology, and spectral sequences〉 . J.-M. Kantor. 《Jean Leray (1906–1998)》 . Gazette des Mathématiciens (영어). Société Mathématique de France. 17–34쪽. ISBN 2-85629-089-2 . ISSN 0224-8999 . 2014년 11월 13일에 원본 문서 (PDF) 에서 보존된 문서. 2014년 11월 13일에 확인함 .
↑ 가 나 Chow, Timothy Y. (2006년 1월). “You could have invented spectral sequences” (PDF) . 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 53 (1): 15–19. MR 2189946 . Zbl 1092.55014 .
↑ Serre, Jean-Pierre (1950). “Homologie singulière des espaces fibrés I. La suite spectrale” . 《Comptes rendus de l'Académie des sciences》 (프랑스어) 231 : 1408–1410. MR 0039253 . Zbl 0039.39702 .
↑ Vakil, Ravi (2008년 3월 12일). “Spectral sequences: friend or foe?” (PDF) (영어).
↑ Massey, William S. (1952년 9월). “Exact couples in algebraic topology (parts I and II)”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 56 (2): 363–396. doi :10.2307/1969805 . JSTOR 1969805 . MR 0052770 . Zbl 0049.24002 .
↑ Massey, William S. (1953년 3월). “Exact couples in algebraic topology (parts III, IV, and V)”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 57 (2): 248–286. doi :10.2307/1969858 . JSTOR 1969858 . MR 0055686 . Zbl 0049.24002 .