자연수
m
,
n
∈
N
{\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }
아벨 군
G
,
H
∈
Ab
{\displaystyle G,H\in \operatorname {Ab} }
(
m
,
n
;
G
,
H
)
{\displaystyle (m,n;G,H)}
영어 : primary cohomology operation of type
(
m
,
n
;
G
,
H
)
{\displaystyle (m,n;G,H)}
)은 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수 의 호모토피류
A
:
K
(
G
,
m
)
→
K
(
H
,
n
)
{\displaystyle A\colon K(G,m)\to K(H,n)}
이다.
(
m
,
n
;
G
,
H
)
{\displaystyle (m,n;G,H)}
에일렌베르크-매클레인 공간 의 코호몰로지
H
n
(
K
(
G
,
m
)
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {H} ^{n}\left(K(G,m);H\right)}
를 이룬다.
(
m
,
n
;
G
,
H
)
{\displaystyle (m,n;G,H)}
α
{\displaystyle \alpha }
함자 사이의 자연 변환
A
∗
:
H
m
(
−
;
G
)
⇒
H
n
(
−
;
H
)
{\displaystyle A_{*}\colon \operatorname {H} ^{m}(-;G)\Rightarrow \operatorname {H} ^{n}(-;H)}
을 유도한다.
에일렌베르크-매클레인 공간은 다음과 같은 세르 올뭉치 를 갖는다.
K
(
H
,
n
−
1
)
≃
Ω
K
(
H
,
n
)
↪
P
K
(
H
,
n
)
↠
K
(
H
,
n
)
{\displaystyle K(H,n-1)\simeq \Omega K(H,n)\hookrightarrow {\mathcal {P}}K(H,n)\twoheadrightarrow K(H,n)}
여기서
Ω
X
=
[
S
1
,
X
]
∙
{\displaystyle \Omega X=[\mathbb {S} ^{1},X]_{\bullet }}
고리 공간 ,
P
X
=
[
I
,
X
]
∙
{\displaystyle {\mathcal {P}}X=[\mathbb {I} ,X]_{\bullet }}
α
∈
H
n
(
K
(
G
,
m
)
;
H
)
{\displaystyle \alpha \in \operatorname {H} ^{n}\left(K(G,m);H\right)}
올뭉치 의 당김
K
(
H
,
n
−
1
)
↪
ι
α
∗
P
K
(
H
,
n
)
↠
π
K
(
G
,
m
)
{\displaystyle K(H,n-1){\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}\alpha ^{*}{\mathcal {P}}K(H,n){\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}K(G,m)}
을 정의할 수 있다.
A
{\displaystyle A}
(
H
′
,
n
′
)
{\displaystyle (H',n')}
A
∗
P
K
(
H
,
n
)
{\displaystyle A^{*}{\mathcal {P}}K(H,n)}
B
∈
H
n
′
(
α
∗
P
K
(
H
,
n
)
,
n
′
)
{\displaystyle B\in \operatorname {H} ^{n'}(\alpha ^{*}{\mathcal {P}}K(H,n),n')}
이다. 즉, 다음과 같은 호모토피류들이 존재한다.
K
(
H
,
n
−
1
)
↪
ι
A
∗
P
K
(
H
,
n
)
↠
π
K
(
G
,
m
)
↓
B
K
(
H
′
,
n
′
)
{\displaystyle {\begin{matrix}K(H,n-1)&{\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}&A^{*}{\mathcal {P}}K(H,n)&{\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}&K(G,m)\\&&\downarrow \scriptstyle B\\&&K(H',n')\end{matrix}}}
그렇다면,
B
∘
ι
:
K
(
H
,
n
−
1
)
→
A
∗
P
K
(
H
,
n
)
→
K
(
H
′
,
n
′
)
{\displaystyle B\circ \iota \colon K(H,n-1)\to A^{*}{\mathcal {P}}K(H,n)\to K(H',n')}
를 사용하여
(
B
∘
ι
)
∗
:
H
n
−
1
(
X
;
H
)
→
H
n
′
(
X
;
H
′
)
{\displaystyle (B\circ \iota )_{*}\colon \operatorname {H} ^{n-1}(X;H)\to \operatorname {H} ^{n'}(X;H')}
를 정의할 수 있다.
2차 코호몰로지 연산
B
∈
H
n
′
(
α
∗
P
K
(
H
,
n
)
,
n
′
)
{\displaystyle B\in \operatorname {H} ^{n'}(\alpha ^{*}{\mathcal {P}}K(H,n),n')}
B
∗
:
(
ker
A
∗
⊆
H
m
(
X
,
G
)
)
→
H
n
′
(
X
;
H
′
)
(
B
∘
ι
)
∗
H
n
−
1
(
X
;
H
)
{\displaystyle B_{*}\colon (\ker A_{*}\subseteq \operatorname {H} ^{m}(X,G))\to {\frac {\operatorname {H} ^{n'}(X;H')}{(B\circ \iota )_{*}\operatorname {H} ^{n-1}(X;H)}}}
를 정의한다. 구체적으로, 코호몰로지류
α
:
X
→
K
(
G
,
m
)
{\displaystyle \alpha \colon X\to K(G,m)}
가 주어졌을 때,
B
∗
(
α
)
=
B
∘
π
−
1
∘
a
:
X
→
H
n
′
(
X
;
H
′
)
{\displaystyle B_{*}(\alpha )=B\circ \pi ^{-1}\circ a\colon X\to \operatorname {H} ^{n'}(X;H')}
이다. 여기서 사용한 역함수
π
−
1
{\displaystyle \pi ^{-1}}
π
−
1
{\displaystyle \pi ^{-1}}
ker
A
∗
{\displaystyle \ker A_{*}}
π
−
1
{\displaystyle \pi ^{-1}}
(
B
∘
ι
)
∗
H
n
−
1
(
X
;
H
)
{\displaystyle (B\circ \iota )_{*}\operatorname {H} ^{n-1}(X;H)}
보다 일반적으로,
k
{\displaystyle k}
k
+
1
{\displaystyle k+1}
A
1
:
K
(
G
0
,
n
0
)
→
K
(
G
1
,
n
1
)
{\displaystyle A_{1}\colon K(G_{0},n_{0})\to K(G_{1},n_{1})}
A
2
:
A
1
∗
P
K
(
G
1
,
n
1
)
→
K
(
G
2
,
n
2
)
{\displaystyle A_{2}\colon A_{1}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{1},n_{1})\to K(G_{2},n_{2})}
A
3
:
A
2
∗
P
K
(
G
2
,
n
2
)
→
K
(
G
3
,
n
3
)
{\displaystyle A_{3}\colon A_{2}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{2},n_{2})\to K(G_{3},n_{3})}
K
(
G
1
,
n
1
−
1
)
↪
ι
1
A
1
∗
P
K
(
G
1
,
n
1
)
↠
π
1
K
(
G
0
,
n
0
)
↓
A
2
K
(
G
2
,
n
2
)
{\displaystyle {\begin{matrix}K(G_{1},n_{1}-1)&{\stackrel {\iota _{1}}{\hookrightarrow }}&A_{1}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{1},n_{1})&{\stackrel {\pi _{1}}{\twoheadrightarrow }}&K(G_{0},n_{0})\\&&\downarrow \scriptstyle A_{2}\\&&K(G_{2},n_{2})\end{matrix}}}
K
(
G
2
,
n
2
−
1
)
↪
ι
2
A
2
∗
P
K
(
G
2
,
n
2
)
↠
π
2
A
1
∗
P
K
(
G
1
,
n
1
)
↓
A
3
K
(
G
3
,
n
3
)
{\displaystyle {\begin{matrix}K(G_{2},n_{2}-1)&{\stackrel {\iota _{2}}{\hookrightarrow }}&A_{2}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{2},n_{2})&{\stackrel {\pi _{2}}{\twoheadrightarrow }}&A_{1}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{1},n_{1})\\&&\downarrow \scriptstyle A_{3}\\&&K(G_{3},n_{3})\end{matrix}}}
이는 연산
A
3
∗
:
(
ker
A
2
∗
⊆
H
n
0
(
−
;
G
0
)
)
→
H
n
3
(
−
;
G
3
)
(
A
3
∘
ι
2
)
∗
H
n
2
−
1
(
−
;
G
2
)
{\displaystyle A_{3}^{*}\colon \left(\ker A_{2}^{*}\subseteq \operatorname {H} ^{n_{0}}(-;G_{0})\right)\to {\frac {\operatorname {H} ^{n_{3}}(-;G_{3})}{(A_{3}\circ \iota _{2})^{*}\operatorname {H} ^{n_{2}-1}(-;G_{2})}}}
을 정의한다.
![{\displaystyle \Omega X=[\mathbb {S} ^{1},X]_{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d278e55da5d80194bec5020ee47add0cf55a9a3)
![{\displaystyle {\mathcal {P}}X=[\mathbb {I} ,X]_{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0abde7b9dd8a8576810cbe32565c18c396b2ea2d)
