브뤼아 분해
리 군 이론에서, 브뤼아 분해(영어: Bruhat decomposition)는 가우스-요르단 소거법을 임의의 리 군에 대하여 일반화한 분해이다.
정의
편집가 대수적으로 닫힌 체에 대한 연결 가약군이라고 하자. 그렇다면, 의 보렐 부분군(최대 가해 부분군)을 라고 하며, 의 바일 군을 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
여기서
예
편집가 대수적으로 닫힌 체라고 하고, 가 일반선형군 라고 하자. 그렇다면 그 보렐 부분군은 상삼각행렬군
이며, 그 바일 군은 대칭군 이다. 그렇다면 브뤼아 분해에 따라서 임의의 가역 정사각행렬 을 다음과 같이 분해할 수 있다.
여기서 이며, 는 치환행렬(permutation matrix)이다. 즉,
이다. 따라서, 모든 가역행렬은 양쪽에 상삼각행렬들을 곱해 치환행렬로 놓을 수 있다. 이것은 사실상 연립일차방정식의 풀이와 같으며, 즉 가우스 소거법에 해당한다.
슈베르트 세포와의 관계
편집리 군을 그 보렐 부분군에 대하여 잉여류 공간을 취한 몫공간을 (일반화) 깃발 공간(영어: flag variety)이라고 하며, 브뤼아 분해는 깃발 공간의 세포 분해를 정의한다. 이 경우, 바일 군의 각 원소는 깃발 공간의 세포에 대응하며, 이를 슈베르트 세포(영어: Schubert cell)라고 한다. 슈베르트 세포의 차원은 대응하는 바일 군의 (콕서터 군으로서의) 단어 길이(영어: word length, 군의 원소를 반사들의 합성으로 썼을 때 반사들의 수의 최솟값)이다.
예를 들어, 최고차 슈베르트 세포는 유일하며, 이는 콕서터 군의 유일한 최장(最長) 원소에 대응한다.
역사
편집프랑수아 브뤼아(프랑스어: François Bruhat)가 고전군에 대하여 정의하였고,[1] 이를 클로드 슈발레가 일반화하였다.[2]
각주
편집- ↑ Bruhat, F. (1956). “Sur les representations induites des groupes de Lie”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 84: 97–205. Zbl 0074.10303.
- ↑ Chevalley, C. (1958). 《Classification des groupes de Lie algébriques》 (프랑스어). Paris. MR 0106966. Zbl 0092.26301.
- Bump, Daniel (2013). 《Lie groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 225. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-8024-2. ISBN 978-1-4614-8024-2. ISSN 0072-5285.
- Lusztig, G. (2010). “Bruhat decomposition and applications” (영어). arXiv:1006.5004. Bibcode:2010arXiv1006.5004L.
같이 보기
편집외부 링크
편집- “Bruhat decomposition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.