비교 판정법

급수 또는 이상 적분의 수렴 여부를 판단하는 방법의 하나
(비교판정법에서 넘어옴)

미적분학에서 비교 판정법(比較判定法, 영어: comparison test)은 음이 아닌 실수 항의 급수수렴 여부를 판단하는 방법의 하나다. 이에 따르면, 만약 어떤 양항 급수가 어떤 수렴하는 양항 급수보다 작은 항들로 이루어졌다면, 이 급수 역시 수렴한다.

정의와 증명 편집

급수 편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  •  
  • 두 실수 항 급수   

또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.

  • 충분히 큰  에 대하여,   (즉, 어떤   및 모든  에 대하여,  )

그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다.

  • 만약  수렴한다면,   역시 수렴한다.
  • 만약  발산한다면,   역시 발산한다.

이를 비교 판정법이라고 한다.

증명:

두 명제는 서로 대우다. 따라서 첫 번째를 증명하면 충분하다. 급수의 유한 개의 항을 변경하는 것은 급수의 수렴 여부에 영향을 미치지 않으므로, 편의상 모든  에 대하여  이라고 가정할 수 있다. 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴할 필요충분조건부분합 수열이 유계 수열인 것이다. 즉,

 

이라고 하였을 때, 어떤   및 임의의  에 대하여

 

이어야 한다. (이는 실수의 완비성을 필요로 한다.) 이제, 마찬가지로

 

이라고 하자. 만약 급수  이 수렴한다면, 어떤   및 임의의  에 대하여

 

이다. 그런데 항상  이므로

 

이다. 따라서   역시 수렴한다.

비교 판정법은 절대 수렴의 개념을 사용하여 서술할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  •  
  •  -바나흐 공간  
  •  
  •   항의 급수   
    • 만약  라면, 이는 두 실수 또는 복소수 항 급수다.

또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.

  • 충분히 큰  에 대하여,   (즉, 어떤   및 모든  에 대하여,  )
    • 만약  라면, 노름은 절댓값이며,   이 된다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

  • 만약  절대 수렴한다면,   역시 절대 수렴한다.
  • 만약  절대 수렴하지 않는다면,   역시 절대 수렴하지 않는다.

두 번째 명제에서,  이 수렴하지 않는다고 결론 내릴 수 없다. 예를 들어,  에 대응하는 급수는 조건 수렴한다. 비교 판정법은 노름 값을 취하는 실수선의 완비성에만 의존하므로, 바나흐 공간이 아닌 노름 공간에서도 성립한다. 하지만 이 경우, 절대 수렴하는 급수는 수렴할 필요가 없다.

증명:

비교 판정법의 이전 형태에서,     으로 대체한다.

이상 적분 편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  •  
  • 두 실수 값 함수  

또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

  • 임의의  에 대하여,    에서 리만 적분 가능하다.
  • 어떤   및 임의의  에 대하여,  

그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다.

  • 만약 이상 적분  가 수렴한다면, 이상 적분   역시 수렴한다.
  • 만약 이상 적분  가 발산한다면, 이상 적분   역시 발산한다.

따름정리 편집

극한 비교 판정법 편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  •  
  • 두 실수 항 급수   

또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

  • 충분히 큰  에 대하여,  
  •  

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.

  • 급수  이 수렴한다.
  • 급수  이 수렴한다.

기타 편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  •  
  • 두 실수 항 급수   

또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

  • 충분히 큰  에 대하여,  
  • 충분히 큰  에 대하여,  

그렇다면, 어떤   및 임의의  에 대하여,

 

이다. 만약  이 수렴한다면,   역시 수렴하며, 비교 판정법에 따라  도 수렴한다. 그 대우로서, 만약  이 발산한다면,  도 발산한다.

편집

급수

 

를 생각하자.  라고 하였을 때,

 

이다. 급수  는 수렴하므로, #기타에 의하여 원래 급수는 수렴한다.

같이 보기 편집

각주 편집

참고 문헌 편집

  • Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). 《Schaum's Outline of Calculus》 (영어) 4판. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6. 
  • Buck, R. Creighton (1965). 《Advanced Calculus》 (영어) 2판. New York: McGraw-Hill. 
  • Knopp, Konrad (1956). 《Infinite Sequences and Series》 (영어). New York: Dover Publications. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6. 
  • Munem, M. A.; Foulis, D. J. (1984). 《Calculus with Analytic Geometry》 (영어) 2판. Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6. 
  • Silverman, Herb (1975). 《Complex Variables》 (영어). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-18582-3. 
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963). 《A Course in Modern Analysis》 (영어) 4판. Cambridge University Press. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3.