비교판정법

비교판정법(比較判定法, comparision test)은 무한급수수렴판정법으로, 두 급수의 수렴성 간의 함의 관계를 항의 크기 비교를 통해 얻어낸다.

내용편집

다음은 실수값 양항급수에 관한 비교판정법의 내용이다.[1]

  •  수렴급수이고  이 충분히 큰 임의의  에 대해 성립하면  도 수렴급수이다.
  •  발산급수이고  이 충분히 큰 임의의  에 대해 성립하면  도 발산급수이다.

때로는 큰 항을 가진 급수가 작은 항을 가진 급수를 (궁극적으로) 지배((eventually) dominate)한다고 한다.[2]

이는 절대수렴을 이용한 서술로 대신할 수 있다. 이러한 서술은 복소수를 항으로 갖는 급수에도 적용된다.[3]

  •  가 절대수렴급수이고  이 충분히 큰 임의의  에 대해 성립하면  도 절대수렴급수이다.
  •  가 절대수렴하지 않고  이 충분히 큰 임의의  에 대해 성립하면  도 절대수렴하지 않는다.

마지막 명제에서의  조건수렴일 수도, 아닐 수도 있다.

실수값 급수에 대해 위의 두 방식의 서술은 동치이다.

증명편집

위 네 개의 명제의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 세 번째 명제의 증명이다. 주어진 전제 하에 일반성을 잃지 않고  이 임의의 양수  에 대해 성립한다고 하자. 부분합

 
 

그리고  의 극한  에 대해, 다음 부등식이 성립한다.

 

첫 번째와 두 번째 부등호는 임의의  에 대해  인 것, 세 번째 부등호는  이 증가수열인 것에 의한 것이다. 따라서  은 유계인 단조수열이며  은 절대수렴한다.

유도되는 판정법편집

  • 극한비교판정법
  • 만약  이 수렴급수이고  이 충분히 큰 임의의  에 대해 성립하면,  도 수렴급수이다.

이상적분편집

이상적분의 비교판정법은 다음과 같다.  위의 실수값 연속함수  수직점근선을 가질 때,[4]

  • 이상적분  이 수렴하고 임의의  에 대해  이면 이상적분  도 수렴하며  가 성립한다.
  • 이상적분  이 발산하고 임의의  에 대해  이면 이상적분  도 발산한다.

같이 보기편집

각주편집

참고 문헌편집

  • Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). 《Schaum's Outline of Calculus》 (영어) 4판. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6. 
  • Buck, R. Creighton (1965). 《Advanced Calculus》 (영어) 2판. New York: McGraw-Hill. 
  • Knopp, Konrad (1956). 《Infinite Sequences and Series》 (영어). New York: Dover Publications. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6. 
  • Munem, M. A.; Foulis, D. J. (1984). 《Calculus with Analytic Geometry》 (영어) 2판. Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6. 
  • Silverman, Herb (1975). 《Complex Variables》 (영어). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-18582-3. 
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963). 《A Course in Modern Analysis》 (영어) 4판. Cambridge University Press. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3.