주 메뉴 열기

해석학에서, 지배 수렴 정리(支配收斂定理, 영어: dominated convergence theorem)는 르베그 적분과 함수열의 극한 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장하는 정리다.

정의편집

측도 공간   위의 가측 함수의 열   ( 함수  가측 함수  가 다음 조건들을 모두 만족시킨다고 하자.

  • (점별 수렴) 모든  에 대하여,  
  • (르베그 적분 가능성)  
  • (적분 가능 함수에 대한 지배) 모든   에 대하여,  

그렇다면, 지배 수렴 정리에 따르면 다음 조건들이 성립한다.[1]:26

  • (르베그 적분 가능성)  
  •  
  •  

증명편집

|f| ≤ g이고 f가 가측 함수이므로,  이다. 삼각 부등식에 의하여 |fn - f| ≤ 2g이고 파투의 보조정리를 2g - |fn - f|에 적용하면 다음을 얻는다.

 

양 변에서  의 적분을 소거하면 다음을 얻는다.

 

역사편집

역사적으로, 앙리 르베그르베그 적분을 공식화하고 이를 통해 지배 수렴 정리를 증명하였다. 르베그는 지배 수렴 정리를 사용하여, 해석학의 고전적인 문제였던 미적분학의 기본정리의 조건을 일반화하는 문제에 결정적인 해답을 제시하였다.[2]:313

구체적으로 말해, 지배 수렴 정리의 따름정리인 유계 수렴 정리를 사용하여, 르베그는 르베그 적분을 이용할 경우 다음과 같은 꼴의 미적분학의 기본정리가 성립한다는 것을 증명하였다.[2]:313

이는 f의 도함수가 유계라는 것 이외에 이 도함수에 아무런 조건도 걸지 않고 있다. 그러나 리만 적분을 이용한다면 f의 도함수가 연속 함수이라거나 리만 적분 가능 함수라는 조건 따위가 추가로 필요하다.

참고 문헌편집

  1. Rudin, Walter. Real and Complex Analysis. Singapore: McGraw-Hill, 1987
  2. 던햄, 윌리엄 (2011). 《미적분학 갤러리》. 한승. 

외부 링크편집