지배 수렴 정리

해석학에서 지배 수렴 정리(支配收斂定理, 영어: dominated convergence theorem, 약자 DCT)는 르베그 적분과 함수열의 극한 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장하는 정리다.

정의편집

확장 지배 수렴 정리편집

측도 공간   위의 가측 함수의 열   ( ) 및 함수  에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수의 열   ( ) 및 가측 함수  가 존재한다고 하자.

  • 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
    • (점별 수렴)   로 점별 수렴하며,   로 점별 수렴한다.
    • (거의 어디서나 수렴)  가측 함수이며,   로 거의 어디서나 수렴하며,   로 거의 어디서나 수렴한다.
    • (측도 수렴)  가측 함수이며,   로 측도 수렴하며,   로 측도 수렴한다.
  • (적분 가능성)  
  • (적분 가능 함수열에 의한 지배) 모든  에 대하여, 거의 어디서나  

그렇다면, 확장 지배 수렴 정리(擴張支配收斂定理, 영어: extended dominated convergence theorem, 약자 EDCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.[1]:57, §2.3, Theorem 2.3.11

  • (적분 가능성)  
  • (L1 수렴)  
  • (적분과 극한의 교환)  

사실, 이 경우 셰페 정리(영어: Scheffé's theorem)에 따라   역시  L1 수렴한다.

증명 (점별 수렴 또는 거의 어디서나 수렴):

가측 함수의 점별 극한이 존재한다면, 이는 가측 함수이다. 따라서 거의 어디서나 수렴의 경우를 증명하면 충분하다.

적분 가능성: 가정에 따라   가측 함수이며, 파투 보조정리에 따라

 

이다.

L1 수렴: 삼각 부등식에 의하여, 거의 어디서나

 

이므로,  는 거의 어디서나 음이 아닌 가측 함수이다. 이 함수에 파투 보조정리를 적용하면

 

를 얻는다.

적분과 극한의 교환: 삼각 부등식에 따라

 

이다.

증명 (측도 수렴):

측도 수렴 가정에 따라, 임의의 부분열   ( )에 대하여, 각각  ,  로 거의 어디서나 수렴하는 부분열  ,  가 존재한다. 거의 어디서나 수렴에 대한 확장 지배 수렴 정리에 따라

 

이다. 이에 따라

 

이다.

지배 수렴 정리편집

측도 공간   위의 가측 함수의 열   ( ) 및 함수  에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수  가 존재한다고 하자.

  • 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
    • (점별 수렴)   로 점별 수렴한다.
    • (거의 어디서나 수렴)  가측 함수이며,   로 거의 어디서나 수렴한다.
    • (측도 수렴)  가측 함수이며,   로 측도 수렴한다.
  • (적분 가능성)  
  • (적분 가능 함수에 의한 지배) 모든  에 대하여, 거의 어디서나  

그렇다면, 지배 수렴 정리에 따르면 다음 조건들이 성립한다.[2]:26[1]:57, §2.3, Corollary 2.3.12

  • (적분 가능성)  
  • (L1 수렴)  
  • (적분과 극한의 교환)  

증명:

확장 지배 수렴 정리에서  를 취한다.

유계 수렴 정리편집

유한 측도 공간   ( ) 위의 가측 함수의 열   ( ) 및 함수  가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
    • (점별 수렴)   로 점별 수렴한다.
    • (거의 어디서나 수렴)  가측 함수이며,   로 거의 어디서나 수렴한다.
    • (측도 수렴)  가측 함수이며,   로 측도 수렴한다.
  •  

그렇다면, 유계 수렴 정리(有界收斂定理, 영어: bounded convergence theorem, 약자 BCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.[1]:57, §2.3, Corollary 2.3.13

  • (적분 가능성)  
  • (L1 수렴)  
  • (적분과 극한의 교환)  

증명:

지배 수렴 정리에서

 

를 취한다.

역사편집

역사적으로, 앙리 르베그르베그 적분을 공식화하고 이를 통해 지배 수렴 정리를 증명하였다. 르베그는 지배 수렴 정리를 사용하여, 해석학의 고전적인 문제였던 미적분학의 기본정리의 조건을 일반화하는 문제에 결정적인 해답을 제시하였다.[3]:313

구체적으로 말해, 지배 수렴 정리의 따름정리인 유계 수렴 정리를 사용하여, 르베그는 르베그 적분을 이용할 경우 다음과 같은 꼴의 미적분학의 기본정리가 성립한다는 것을 증명하였다.[3]:313

이는 f의 도함수가 유계라는 것 이외에 이 도함수에 아무런 조건도 걸지 않고 있다. 그러나 리만 적분을 이용한다면 f의 도함수가 연속 함수이라거나 리만 적분 가능 함수라는 조건 따위가 추가로 필요하다.

참고 문헌편집

  1. Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001. 
  2. Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함. 
  3. 던햄, 윌리엄 (2011). 《미적분학 갤러리》. 한승. 

외부 링크편집