적분 판정법

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미적분학에서 적분 판정법(積分判別法, integral test)은 음이 아닌 실수급수음이 아닌 실수함수이상 적분수렴성 사이의 관계를 나타내는 수렴 판정법이다.

조화급수에 적용한 적분판정법. 곡선 y = 1 / x, x ∈ [1, ∞) 아래쪽의 면적이 무한하므로 직사각형들의 총면적 역시 무한하다.

정의와 증명

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음이 아닌 실수감소함수

 
 

가 주어졌다고 하자. (특히,  는 임의의  에서 리만 적분 가능하다.) 적분 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:138–139, Exercise 8[2]:290, Proposition 11.6.4

  • 급수  수렴한다.
  • 이상 적분  수렴한다.

또한, (수렴 여부와 관계 없이) 다음 부등식이 성립한다.

 

증명:

음이 아닌 실수 항 급수의 합과 음이 아닌 실수 값 리만 적분 가능 함수이상 적분의 값은 음이 아닌 확장된 실수로서 항상 존재하며, 이들의 수렴 여부는 합이나 적분 값의 유한한지 여부와 동치이다. 임의의   에 대하여,

 

이다.   위의 리만 적분을 취하면

 

이 된다.  에 대한 급수를 취하면

 

이 된다. 이는

 

임에 따른다. 따라서, 만약

 

라면

 

이며, 만약

 

라면

 

이다. 즉, 수렴 여부가 동치다.

급수

 

를 생각하자. (혹자는 이를 p-급수(영어: p-series)라고 부른다.) 만약  이라면, 이 급수는 자명하게 발산한다. 이제,  이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 이 급수의 수렴 여부는 다음 이상 적분이 수렴하는지 여부와 동치이다.

 

만약  이라면,

 

이다. 만약  이라면,

 

이다. 따라서, 이 급수는  일 때 수렴하며,  일 때 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 라베 판정법의 증명은 이 급수의  에 따른 수렴 여부에 기반한다.

보다 일반적으로, 급수

 

를 생각하자. 이전 예 및 비교 판정법에 의하여, 이 급수는  일 때 수렴하며,  일 때 발산한다. 이제  이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 급수의 수렴 여부는 이상 적분

 

의 수렴 여부와 같다. 이는

 

임에 따른다. 만약  이라면,

 

이다. 만약  이라면,

 

이다. 따라서, 이 급수는  이거나  ,  일 때 수렴하며,  ,  이거나  일 때 발산한다. 비 판정법·근 판정법·라베 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 베르트랑 판정법의 증명은 이 급수의  에 따른 수렴 여부에 기반한다.

마찬가지로, 급수

 

의 수렴 여부 또한 적분 판정법을 통하여 구할 수 있다.   위의 사전식 순서 로 적을 때, 이 급수는  일 때 수렴하며,  일 때 발산한다.

같이 보기

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각주

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  1. Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함. 
  2. Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 37 3판. Singapore: Springer. doi:10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN 2366-8725. LCCN 2016940817. 

외부 링크

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