적분 판정법

미적분학에서 적분 판정법(積分判別法, integral test)은 음이 아닌 실수 항 급수와 음이 아닌 실수 값 함수의 이상 적분의 수렴성 사이의 관계를 나타내는 수렴 판정법이다.

조화급수에 적용한 적분판정법. 곡선 y = 1 / x, x ∈ [1, ∞) 아래쪽의 면적이 무한하므로 직사각형들의 총면적 역시 무한하다.

정의와 증명

음이 아닌 실수 값 감소함수

$f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )$

$\forall x,y\in [0,\infty )\colon x\leq y\implies f(x)\geq f(y)$

가 주어졌다고 하자. (특히, $f$는 임의의 $[0,a]\subseteq [0,\infty )$에서 리만 적분 가능하다.) 적분 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:138–139, Exercise 8:290, Proposition 11.6.4}

• 급수 $\sum _{n=0}^{\infty }f(n)$는 수렴한다.
• 이상 적분 $\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx$은 수렴한다.

또한, (수렴 여부와 관계 없이) 다음 부등식이 성립한다.

$\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=0}^{\infty }f(n)\leq f(0)+\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx$

증명:

음이 아닌 실수 항 급수의 합과 음이 아닌 실수 값 리만 적분 가능 함수의 이상 적분의 값은 음이 아닌 확장된 실수로서 항상 존재하며, 이들의 수렴 여부는 합이나 적분 값의 유한한지 여부와 동치이다. 임의의 $n\in \{0,1,2,\dots \}$ 및 $n\leq x\leq n+1$에 대하여,

$f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)$

이다. $[n,n+1]$ 위의 리만 적분을 취하면

$f(n+1)\leq \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq f(n)$

이 된다. $n\in \{0,1,2,\dots \}$에 대한 급수를 취하면

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=0}^{\infty }f(n)$

이 된다. 이는

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}\int _{i}^{i+1}f(x)\,dx\\&=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{n+1}f(x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\end{aligned}}$

임에 따른다. 따라서, 만약

$\sum _{n=0}^{\infty }f(n)<\infty$

라면

$\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=0}^{\infty }f(n)<\infty$

이며, 만약

$\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx<\infty$

라면

$\sum _{n=0}^{\infty }f(n)=f(0)+\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq a_{0}+\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx<\infty$

이다. 즉, 수렴 여부가 동치다.

예

급수

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}\qquad (p\in \mathbb {R} )$

를 생각하자. (혹자는 이를 p-급수(영어: p-series)라고 부른다.) 만약 $p\leq 0$이라면, 이 급수는 자명하게 발산한다. 이제, $p>0$이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 이 급수의 수렴 여부는 다음 이상 적분이 수렴하는지 여부와 동치이다.

$\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}$

만약 $p=1$이라면,

$\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}=\lim _{x\to \infty }\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=\lim _{x\to \infty }(\ln x-\ln 1)=\infty$

이다. 만약 $p\neq 1$이라면,

$\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}=\lim _{x\to \infty }\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t^{p}}}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {x^{1-p}}{1-p}}-{\frac {1}{1-p}}\right)={\begin{cases}\infty &p<1\\1/(p-1)&p>1\end{cases}}$

이다. 따라서, 이 급수는 $p>1$일 때 수렴하며, $p\leq 1$일 때 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 라베 판정법의 증명은 이 급수의 $p$에 따른 수렴 여부에 기반한다.

보다 일반적으로, 급수

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}\ln ^{q}n}}\qquad (p,q\in \mathbb {R} )$

를 생각하자. 이전 예 및 비교 판정법에 의하여, 이 급수는 $p>1$일 때 수렴하며, $p<1$일 때 발산한다. 이제 $p=1$이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 급수의 수렴 여부는 이상 적분

$\int _{2}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln ^{q}x}}$

의 수렴 여부와 같다. 이는

$(x^{-1}\ln ^{-q}x)'=-x^{-2}\ln ^{-q}x+x^{-1}(-q)\ln ^{-q-1}x\cdot x^{-1}=-x^{-2}\ln ^{-q-1}x(\ln x+q)<0\qquad (x\gg 1)$

임에 따른다. 만약 $q=1$이라면,

$\int _{2}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln x}}=\lim _{x\to \infty }\int _{2}^{x}{\frac {dt}{t\ln t}}=\lim _{x\to \infty }(\ln \ln x-\ln \ln 2)=\infty$

이다. 만약 $q\neq 1$이라면,

$\int _{2}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln ^{q}x}}=\lim _{x\to \infty }\int _{2}^{x}{\frac {dt}{t\ln ^{q}t}}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {\ln ^{1-q}x}{1-q}}-{\frac {\ln ^{1-q}2}{1-q}}\right)={\begin{cases}\infty &q<1\\-\ln ^{1-q}2/(1-q)&q>1\end{cases}}$

이다. 따라서, 이 급수는 $p>1$이거나 $p=1$, $q>1$일 때 수렴하며, $p=1$, $q\leq 1$이거나 $p<1$일 때 발산한다. 비 판정법·근 판정법·라베 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 베르트랑 판정법의 증명은 이 급수의 $(p,q)$에 따른 수렴 여부에 기반한다.

마찬가지로, 급수

$\sum _{n=\underbrace {{\mathrm {e} }^{{\mathrm {e} }^{\cdots ^{{\mathrm {e} }^{2}}}}} _{k-1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{p_{0}}(\ln n)^{p_{1}}\cdots (\underbrace {\ln \cdots \ln } _{k}\,n)^{p_{k}}}}$

의 수렴 여부 또한 적분 판정법을 통하여 구할 수 있다. $\mathbb {R} ^{k+1}$ 위의 사전식 순서를 $\preceq$로 적을 때, 이 급수는 $(p_{0},\dots ,p_{k})\succ (1,\dots ,1)$일 때 수렴하며, $(p_{0},\dots ,p_{k})\preceq (1,\dots ,1)$일 때 발산한다.

외부 링크

• “Integral test”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Integral Test”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Integral test”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Example of integral test”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Cauchy integral test”. 《ProofWiki》 (영어).