실해석학 에서 리만 적분 (Riemann積分, 영어 : Riemann integral )은 닫힌구간 에 정의된 실숫값 함수 의 적분 의 종류이다. 베른하르트 리만 이 정의하였다. 대략, 정의역 구간을 작은 구간으로 잘게 나눠, 각각의 작은 구간 위의 넓이를 직사각형 의 넓이를 통해 근사한다. 구간을 잘게 나눌수록 실제 넓이와의 오차가 줄어드는데, 이 과정에 극한을 취하면 실제 넓이를 얻는다. 다르부 적분 (Darboux積分, 영어 : Darboux integral )은 리만 적분과 동치이면서 더 단순한 기법을 사용하는 적분이다. 대략, 각각의 직사각형을 임의로 취하는 대신, 각각의 극대 및 극소 넓이의 직사각형을 취하여, 상계와 하계의 차이를 좁혀가며 근사한다.
닫힌구간
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
분할 (分割, 영어 : partition )은 유한 집합
{
a
,
b
}
⊆
P
⊆
[
a
,
b
]
{\displaystyle \{a,b\}\subseteq P\subseteq [a,b]}
a
=
x
0
P
<
x
1
P
<
x
2
P
<
⋯
<
x
n
P
P
=
b
{\displaystyle a=x_{0}^{P}<x_{1}^{P}<x_{2}^{P}<\cdots <x_{n_{P}}^{P}=b}
이는 닫힌구간
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
서로소 인 닫힌구간
[
x
i
P
,
x
i
+
1
P
]
{\displaystyle [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}]}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
P
{\displaystyle P}
태그 (영어 : tag )는 분할된 각 구간의 대표 원소들로 구성된 튜플
(
t
i
∈
[
x
i
P
,
x
i
+
1
P
]
)
i
=
0
n
P
−
1
{\displaystyle (t_{i}\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}])_{i=0}^{n_{P}-1}}
P
{\displaystyle P}
메시 (영어 : mesh )
λ
(
P
)
{\displaystyle \lambda (P)}
P
{\displaystyle P}
노름 영어 : norm )
‖
P
‖
{\displaystyle \lVert P\rVert }
λ
(
P
)
=
max
0
≤
i
≤
n
P
−
1
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
{\displaystyle \lambda (P)=\max _{0\leq i\leq n_{P}-1}(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})}
닫힌구간
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
P
,
Q
{\displaystyle P,Q}
P
⊆
Q
{\displaystyle P\subseteq Q}
Q
{\displaystyle Q}
P
{\displaystyle P}
세분 (細分, 영어 : refinement )이라고 한다. 즉, 이는
Q
{\displaystyle Q}
P
{\displaystyle P}
P
{\displaystyle P}
Q
{\displaystyle Q}
공통 세분
P
∪
Q
{\displaystyle P\cup Q}
예를 들어, 닫힌구간
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
다음 대상들이 주어졌다고 하자.
함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
분할
a
=
x
0
P
<
x
1
P
<
x
2
P
<
⋯
<
x
n
P
P
=
b
{\displaystyle a=x_{0}^{P}<x_{1}^{P}<x_{2}^{P}<\cdots <x_{n_{P}}^{P}=b}
태그
(
t
i
∈
[
x
i
P
,
x
i
+
1
P
]
)
i
=
0
n
P
−
1
{\displaystyle (t_{i}\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}])_{i=0}^{n_{P}-1}}
그렇다면, 함수
f
{\displaystyle f}
P
{\displaystyle P}
t
{\displaystyle t}
리만 합 은 다음과 같다.
∑
i
=
0
n
P
−
1
f
(
t
i
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
=
f
(
t
0
)
(
x
1
P
−
x
0
P
)
+
f
(
t
1
)
(
x
2
P
−
x
1
P
)
+
⋯
+
f
(
t
n
P
−
1
)
(
x
n
P
P
−
x
n
P
−
1
P
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n_{P}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})=f(t_{0})(x_{1}^{P}-x_{0}^{P})+f(t_{1})(x_{2}^{P}-x_{1}^{P})+\cdots +f(t_{n_{P}-1})(x_{n_{P}}^{P}-x_{n_{P}-1}^{P})}
주어진 함수의 주어진 분할에 대한 리만 합은 (태그가 유일하지 않으므로) 유일하지 않다.
예를 들어, 다음과 같은 리만 합을 정의할 수 있다.
∑
i
=
0
n
P
−
1
f
(
x
i
P
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n_{P}-1}f(x_{i}^{P})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})}
왼쪽 리만 합 (왼쪽Riemann合, 영어 : left Riemann sum )이라고 한다. 즉, 이는 각 구간의 왼쪽 끝점을 취하는 태그에 대한 리만 합이다.
∑
i
=
0
n
P
−
1
f
(
x
i
+
1
P
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n_{P}-1}f(x_{i+1}^{P})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})}
오른쪽 리만 합 (오른쪽Riemann合, 영어 : right Riemann sum )이라고 한다. 즉, 이는 각 구간의 오른쪽 끝점을 취하는 태그에 대한 리만 합이다.
∑
i
=
0
n
P
−
1
f
(
x
i
P
+
x
i
+
1
P
2
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n_{P}-1}f\left({\frac {x_{i}^{P}+x_{i+1}^{P}}{2}}\right)(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})}
가운데 리만 합 (가운데Riemann合, 영어 : middle Riemann sum )이라고 한다. 즉, 이는 각 구간의 중간점을 취하는 태그에 대한 리만 합이다.
b
−
a
n
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
t
i
)
{\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})}
t
i
∈
[
a
+
i
b
−
a
n
,
a
+
(
i
+
1
)
b
−
a
n
]
{\displaystyle t_{i}\in \left[a+i{\frac {b-a}{n}},a+(i+1){\frac {b-a}{n}}\right]}
n
{\displaystyle n}
함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
I
∈
R
{\displaystyle I\in \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
리만 적분 가능 함수 라고 하고,
I
{\displaystyle I}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
리만 적분 이라고 한다.
lim
λ
(
P
)
→
0
∑
i
=
0
n
P
−
1
f
(
t
i
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
=
I
{\displaystyle \lim _{\lambda (P)\to 0}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})=I}
이는 통상적인 의미의 극한이 아니다.
λ
(
P
)
{\displaystyle \lambda (P)}
임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
(
ϵ
)
>
0
{\displaystyle \delta (\epsilon )>0}
a
=
x
0
P
<
x
1
P
<
x
2
P
<
⋯
<
x
n
P
P
=
b
{\displaystyle a=x_{0}^{P}<x_{1}^{P}<x_{2}^{P}<\cdots <x_{n_{P}}^{P}=b}
(
t
i
∈
[
x
i
P
,
x
i
+
1
P
]
)
i
=
0
n
P
−
1
{\displaystyle (t_{i}\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}])_{i=0}^{n_{P}-1}}
λ
(
P
)
<
δ
(
ϵ
)
{\displaystyle \lambda (P)<\delta (\epsilon )}
|
∑
i
=
0
n
P
−
1
f
(
t
i
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
−
I
|
<
ϵ
{\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n_{P}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})-I\right|<\epsilon }
리만 적분 값
I
{\displaystyle I}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
∫
[
a
,
b
]
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{[a,b]}f(x)\mathrm {d} x}
와 같이 표기하거나 간혹 더 간단히
∫
a
b
f
{\displaystyle \int _{a}^{b}f}
∫
[
a
,
b
]
f
{\displaystyle \int _{[a,b]}f}
와 같이 표기하며, 리만 적분 가능 함수의 집합을
R
(
[
a
,
b
]
;
R
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}([a,b];\mathbb {R} )}
∫
a
a
f
(
x
)
d
x
=
0
(
a
∈
R
,
f
:
{
a
}
→
R
)
{\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=0\qquad (a\in \mathbb {R} ,\;f\colon \{a\}\to \mathbb {R} )}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
−
∫
b
a
f
(
x
)
d
x
(
a
>
b
,
f
∈
R
(
[
b
,
a
]
;
R
)
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\mathrm {d} x\qquad (a>b,\;f\in {\mathcal {R}}([b,a];\mathbb {R} ))}
다음 대상들이 주어졌다고 하자.
함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
분할
a
=
x
0
P
<
x
1
P
<
x
2
P
<
⋯
<
x
n
P
P
=
b
{\displaystyle a=x_{0}^{P}<x_{1}^{P}<x_{2}^{P}<\cdots <x_{n_{P}}^{P}=b}
그렇다면, 함수
f
{\displaystyle f}
P
{\displaystyle P}
(다르부) 상합 ((Darboux)上合, 영어 : upper (Darboux) sum )
U
(
f
,
P
)
{\displaystyle U(f,P)}
sup
{\displaystyle \sup }
inf
{\displaystyle \inf }
상한과 하한 의 기호이다.)
U
(
f
,
P
)
=
∑
i
=
0
n
P
−
1
sup
x
∈
[
x
i
+
1
P
,
x
i
P
]
f
(
x
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
{\displaystyle U(f,P)=\sum _{i=0}^{n_{P}-1}\sup _{x\in [x_{i+1}^{P},x_{i}^{P}]}f(x)(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})}
마찬가지로, 함수
f
{\displaystyle f}
P
{\displaystyle P}
(다르부) 하합 ((Darboux)下合, 영어 : lower (Darboux) sum )
L
(
f
,
P
)
{\displaystyle L(f,P)}
L
(
f
,
P
)
=
∑
i
=
0
n
P
−
1
inf
x
∈
[
x
i
+
1
P
,
x
i
P
]
f
(
x
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
{\displaystyle L(f,P)=\sum _{i=0}^{n_{P}-1}\inf _{x\in [x_{i+1}^{P},x_{i}^{P}]}f(x)(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})}
또한, 함수
f
{\displaystyle f}
P
{\displaystyle P}
w
(
f
,
P
)
=
U
(
f
,
P
)
−
L
(
f
,
P
)
=
∑
i
=
0
n
P
−
1
sup
x
,
y
∈
[
x
i
+
1
P
,
x
i
P
]
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
{\displaystyle w(f,P)=U(f,P)-L(f,P)=\sum _{i=0}^{n_{P}-1}\sup _{x,y\in [x_{i+1}^{P},x_{i}^{P}]}|f(x)-f(y)|(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})}
다르부 상합과 다르부 하합은 리만 합의 상계와 하계 를 제시한다. 즉, 항상 다음이 성립한다.
L
(
f
,
P
)
≤
∑
i
=
0
n
P
−
1
f
(
t
i
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
≤
U
(
f
,
P
)
{\displaystyle L(f,P)\leq \sum _{i=0}^{n_{P}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})\leq U(f,P)}
다르부 상합은 항상 다르부 하합 이상이며, 둘의 차이는 세분을 취할수록 좁혀진다. 즉, 항상 다음이 성립한다.
L
(
f
,
P
)
≤
U
(
f
,
Q
)
{\displaystyle L(f,P)\leq U(f,Q)}
P
⊆
Q
⟹
L
(
f
,
P
)
≤
L
(
f
,
Q
)
≤
U
(
f
,
Q
)
≤
U
(
f
,
P
)
{\displaystyle P\subseteq Q\implies L(f,P)\leq L(f,Q)\leq U(f,Q)\leq U(f,P)}
둘째 명제는
Q
{\displaystyle Q}
a
=
x
0
P
<
⋯
<
x
j
P
<
y
<
x
j
+
1
P
<
⋯
<
x
n
P
P
=
b
{\displaystyle a=x_{0}^{P}<\cdots <x_{j}^{P}<y<x_{j+1}^{P}<\cdots <x_{n_{P}}^{P}=b}
이 경우,
U
(
f
,
Q
)
=
∑
0
≤
i
≤
n
P
−
1
i
≠
j
sup
x
∈
[
x
i
P
,
x
i
+
1
P
]
f
(
x
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
+
sup
x
∈
[
x
j
P
,
y
]
f
(
x
)
(
y
−
x
j
P
)
+
sup
x
∈
[
y
,
x
j
+
1
P
]
f
(
x
)
(
x
j
P
−
y
)
≤
∑
0
≤
i
≤
n
P
−
1
i
≠
j
sup
x
∈
[
x
i
P
,
x
i
+
1
P
]
f
(
x
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
+
sup
x
∈
[
x
j
P
,
x
j
+
1
P
]
f
(
x
)
(
y
−
x
j
P
)
+
sup
x
∈
[
x
j
P
,
x
j
+
1
P
]
f
(
x
)
(
x
j
+
1
P
−
y
)
=
U
(
f
,
P
)
{\displaystyle {\begin{aligned}U(f,Q)&=\sum _{0\leq i\leq n_{P}-1}^{i\neq j}\sup _{x\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}]}f(x)(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})+\sup _{x\in [x_{j}^{P},y]}f(x)(y-x_{j}^{P})+\sup _{x\in [y,x_{j+1}^{P}]}f(x)(x_{j}^{P}-y)\\&\leq \sum _{0\leq i\leq n_{P}-1}^{i\neq j}\sup _{x\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}]}f(x)(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})+\sup _{x\in [x_{j}^{P},x_{j+1}^{P}]}f(x)(y-x_{j}^{P})+\sup _{x\in [x_{j}^{P},x_{j+1}^{P}]}f(x)(x_{j+1}^{P}-y)\\&=U(f,P)\end{aligned}}}
첫째 명제는 둘째 명제를 사용하여 다음과 같이 보일 수 있다.
L
(
f
,
P
)
≤
L
(
f
,
P
∪
Q
)
≤
U
(
f
,
P
∪
Q
)
≤
U
(
f
,
Q
)
{\displaystyle L(f,P)\leq L(f,P\cup Q)\leq U(f,P\cup Q)\leq U(f,Q)}
함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(다르부) 상적분 ((Darboux)上積分, 영어 : upper (Darboux) integral )은 다음과 같이 두 가지 값으로 정의될 수 있으며, 이 두 값은 서로 같다.
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
=
inf
{
a
,
b
}
⊆
P
⊆
[
a
,
b
]
|
P
|
<
ℵ
0
U
(
f
,
P
)
=
lim
λ
(
P
)
→
0
U
(
f
,
P
)
{\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\mathrm {d} x=\inf _{\{a,b\}\subseteq P\subseteq [a,b]}^{|P|<\aleph _{0}}U(f,P)=\lim _{\lambda (P)\to 0}U(f,P)}
마찬가지로,
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(다르부) 하적분 ((Darboux)下積分, 영어 : lower (Darboux) integral )은 다음과 같이 두 가지 값으로 정의될 수 있으며, 이 두 값은 서로 같다.
∫
a
b
_
f
(
x
)
d
x
=
sup
{
a
,
b
}
⊆
P
⊆
[
a
,
b
]
|
P
|
<
ℵ
0
L
(
f
,
P
)
=
lim
λ
(
P
)
→
0
L
(
f
,
P
)
{\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\mathrm {d} x=\sup _{\{a,b\}\subseteq P\subseteq [a,b]}^{|P|<\aleph _{0}}L(f,P)=\lim _{\lambda (P)\to 0}L(f,P)}
임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
Q
{\displaystyle Q}
U
(
f
,
Q
)
<
inf
{
a
,
b
}
⊆
R
⊆
[
a
,
b
]
|
R
|
<
ℵ
0
U
(
f
,
R
)
+
ϵ
2
{\displaystyle U(f,Q)<\inf _{\{a,b\}\subseteq R\subseteq [a,b]}^{|R|<\aleph _{0}}U(f,R)+{\frac {\epsilon }{2}}}
따라서, 임의의
{
a
,
b
}
⊆
P
|
P
|
<
ℵ
0
⊆
[
a
,
b
]
{\displaystyle \{a,b\}\subseteq P_{|P|<\aleph _{0}}\subseteq [a,b]}
λ
(
P
)
<
ϵ
1
+
4
n
Q
sup
x
∈
[
a
,
b
]
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle \lambda (P)<{\frac {\epsilon }{1+4n_{Q}\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|}}}
에 대하여,
U
(
f
,
P
)
≤
U
(
f
,
P
)
−
U
(
f
,
P
∪
Q
)
+
U
(
f
,
Q
)
≤
U
(
f
,
Q
)
+
n
Q
⋅
2
sup
x
∈
[
a
,
b
]
|
f
(
x
)
|
⋅
λ
(
P
)
<
inf
{
a
,
b
}
⊆
R
⊆
[
a
,
b
]
|
R
|
<
ℵ
0
U
(
f
,
R
)
+
ϵ
{\displaystyle {\begin{aligned}U(f,P)&\leq U(f,P)-U(f,P\cup Q)+U(f,Q)\\&\leq U(f,Q)+n_{Q}\cdot 2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|\cdot \lambda (P)\\&<\inf _{\{a,b\}\subseteq R\subseteq [a,b]}^{|R|<\aleph _{0}}U(f,R)+\epsilon \end{aligned}}}
따라서,
lim
λ
(
P
)
→
0
U
(
f
,
P
)
=
inf
{
a
,
b
}
⊆
R
⊆
[
a
,
b
]
|
R
|
<
ℵ
0
U
(
f
,
R
)
{\displaystyle \lim _{\lambda (P)\to 0}U(f,P)=\inf _{\{a,b\}\subseteq R\subseteq [a,b]}^{|R|<\aleph _{0}}U(f,R)}
(유계 함수 의) 다르부 상적분과 다르부 하적분은 항상 존재한다. 다르부 상적분과 다르부 하적분이 일치한다면,
f
{\displaystyle f}
다르부 적분 가능 함수 라고 하고, 그 다르부 상적분과 다르부 하적분을
f
{\displaystyle f}
다르부 적분 이라고 한다. 다르부 적분 가능성 및 다르부 적분 값은 리만 적분 가능성 및 리만 적분 값과 완전히 일치한다.
리만 적분 가능 함수는 항상 유계 함수 이다.
함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
P
{\displaystyle P}
0
≤
j
≤
n
P
−
1
{\displaystyle 0\leq j\leq n_{P}-1}
sup
x
∈
[
x
j
P
,
x
j
+
1
P
]
|
f
(
x
)
|
=
∞
{\displaystyle \sup _{x\in [x_{j}^{P},x_{j+1}^{P}]}|f(x)|=\infty }
따라서,
sup
t
i
∈
[
x
i
P
,
x
i
+
1
P
]
|
∑
i
=
0
n
P
−
1
f
(
t
i
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
|
≥
sup
t
j
∈
[
x
j
−
1
P
,
x
j
P
]
|
f
(
t
j
)
(
x
j
+
1
P
−
x
j
P
)
|
−
|
∑
0
≤
i
≤
n
P
−
1
i
≠
j
f
(
x
i
P
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
|
=
∞
{\displaystyle \sup _{t_{i}\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}]}\left|\sum _{i=0}^{n_{P}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})\right|\geq \sup _{t_{j}\in [x_{j-1}^{P},x_{j}^{P}]}|f(t_{j})(x_{j+1}^{P}-x_{j}^{P})|-\left|\sum _{0\leq i\leq n_{P}-1}^{i\neq j}f(x_{i}^{P})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})\right|=\infty }
이며,
f
{\displaystyle f}
유계 함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
λ
∗
{\displaystyle \lambda ^{*}}
르베그 외측도 ,
lim sup
{\displaystyle \limsup }
상극한 ,
lim inf
{\displaystyle \liminf }
하극한 이다.)
(리만 적분 가능 함수)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
∈
R
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\in \mathbb {R} }
(다르부 적분 가능 함수)
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
_
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\mathrm {d} x={\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\mathrm {d} x}
(다르부 진폭의 영 집적) 임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
P
{\displaystyle P}
w
(
f
,
P
)
<
ϵ
{\displaystyle w(f,P)<\epsilon }
(조르당 거의 어디서나 연속 함수 ) 임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
η
>
0
{\displaystyle \eta >0}
P
{\displaystyle P}
∑
0
≤
i
≤
n
P
−
1
w
(
f
,
P
,
i
)
>
ϵ
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
<
η
{\displaystyle \sum _{0\leq i\leq n_{P}-1}^{w(f,P,i)>\epsilon }(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})<\eta }
(르베그 거의 어디서나 연속 함수 )
λ
∗
(
{
c
∈
(
a
,
b
)
:
lim sup
x
→
c
f
(
x
)
≠
lim inf
x
→
c
f
(
x
)
}
)
=
0
{\displaystyle \lambda ^{*}(\{c\in (a,b)\colon \limsup _{x\to c}f(x)\neq \liminf _{x\to c}f(x)\})=0}
증명 (리만 적분 가능 함수 ⇔ 다르부 적분 가능 함수):
필요 조건:
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
(
ϵ
/
4
)
>
0
{\displaystyle \delta (\epsilon /4)>0}
P
{\displaystyle P}
(
s
i
,
t
i
∈
[
x
i
P
,
x
i
+
1
P
]
)
i
=
0
n
P
−
1
{\displaystyle (s_{i},t_{i}\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}])_{i=0}^{n_{P}-1}}
λ
(
P
)
<
δ
(
ϵ
4
)
{\displaystyle \lambda (P)<\delta \left({\frac {\epsilon }{4}}\right)}
∑
i
=
0
n
P
−
1
f
(
s
i
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
<
L
(
f
,
P
)
+
ϵ
4
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n_{P}-1}f(s_{i})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})<L(f,P)+{\frac {\epsilon }{4}}}
∑
i
=
0
n
P
−
1
f
(
t
i
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
>
U
(
f
,
P
)
−
ϵ
4
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n_{P}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})>U(f,P)-{\frac {\epsilon }{4}}}
따라서,
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
−
∫
a
b
_
f
(
x
)
d
x
≤
U
(
f
,
P
)
−
L
(
f
,
P
)
<
∑
i
=
0
n
P
−
1
f
(
t
i
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
−
∑
i
=
0
n
P
−
1
f
(
s
i
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
+
ϵ
2
<
ϵ
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\mathrm {d} x-{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\mathrm {d} x&\leq U(f,P)-L(f,P)\\&<\sum _{i=0}^{n_{P}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})-\sum _{i=0}^{n_{P}-1}f(s_{i})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})+{\frac {\epsilon }{2}}\\&<\epsilon \end{aligned}}}
충분 조건:
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
(
ϵ
/
2
)
>
0
{\displaystyle \delta (\epsilon /2)>0}
{
a
,
b
}
⊆
P
|
P
|
<
ℵ
0
⊆
[
a
,
b
]
{\displaystyle \{a,b\}\subseteq P_{|P|<\aleph _{0}}\subseteq [a,b]}
(
t
i
∈
[
x
i
+
1
P
,
x
i
P
]
)
i
=
0
n
P
−
1
{\displaystyle (t_{i}\in [x_{i+1}^{P},x_{i}^{P}])_{i=0}^{n_{P}-1}}
λ
(
P
)
<
δ
(
ϵ
/
2
)
{\displaystyle \lambda (P)<\delta \left(\epsilon /2\right)}
에 대하여,
|
∑
i
=
0
n
P
−
1
f
(
t
i
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
−
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
|
≤
U
(
f
,
P
)
−
L
(
f
,
P
)
<
ϵ
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sum _{i=0}^{n_{P}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})-{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\mathrm {d} x\right|&\leq U(f,P)-L(f,P)\\&<\epsilon \end{aligned}}}
증명 (다르부 적분 가능 함수 ⇔ 다르부 진폭의 영 집적):
다음 항등식에 의하여 성립한다.
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
−
∫
a
b
_
f
(
x
)
d
x
=
inf
{
a
,
b
}
⊆
P
⊆
[
a
,
b
]
|
P
|
<
ℵ
0
w
(
f
,
P
)
{\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\mathrm {d} x-{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\mathrm {d} x=\inf _{\{a,b\}\subseteq P\subseteq [a,b]}^{|P|<\aleph _{0}}w(f,P)}
증명 (다르부 진폭의 영 집적 ⇔ 조르당 거의 어디서나 연속 함수):
다음 부등식에 의하여 성립한다.
ϵ
∑
0
≤
i
≤
n
P
−
1
w
(
f
,
P
,
i
)
>
ϵ
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
≤
w
(
f
,
P
)
≤
ϵ
(
b
−
a
)
+
2
sup
x
∈
[
a
,
b
]
|
f
(
x
)
|
∑
0
≤
i
≤
n
P
−
1
w
(
f
,
P
,
i
)
>
ϵ
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
{\displaystyle \epsilon \sum _{0\leq i\leq n_{P}-1}^{w(f,P,i)>\epsilon }(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})\leq w(f,P)\leq \epsilon (b-a)+2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|\sum _{0\leq i\leq n_{P}-1}^{w(f,P,i)>\epsilon }(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})}
증명 (조르당 거의 어디서나 연속 함수 ⇔ 르베그 거의 어디서나 연속 함수):
f
{\displaystyle f}
E
⊆
[
a
,
b
]
{\displaystyle E\subseteq [a,b]}
필요조건: 임의의
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
η
>
0
{\displaystyle \eta >0}
P
{\displaystyle P}
∑
0
≤
i
≤
n
P
−
1
w
(
f
,
P
,
i
)
>
1
/
n
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
<
η
{\displaystyle \sum _{0\leq i\leq n_{P}-1}^{w(f,P,i)>1/n}(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})<\eta }
따라서,
λ
∗
(
{
c
∈
(
a
,
b
)
:
lim sup
x
→
c
f
(
x
)
−
lim inf
x
→
c
f
(
x
)
>
1
/
n
}
)
≤
∑
0
≤
i
≤
n
P
−
1
w
(
f
,
P
,
i
)
>
1
/
n
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
<
η
{\displaystyle \lambda ^{*}(\{c\in (a,b)\colon \limsup _{x\to c}f(x)-\liminf _{x\to c}f(x)>1/n\})\leq \sum _{0\leq i\leq n_{P}-1}^{w(f,P,i)>1/n}(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})<\eta }
즉,
λ
∗
(
E
)
=
0
{\displaystyle \lambda ^{*}(E)=0}
충분조건: 임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
η
>
0
{\displaystyle \eta >0}
E
{\displaystyle E}
{
I
k
}
k
=
1
∞
{\displaystyle \{I_{k}\}_{k=1}^{\infty }}
∑
k
=
1
∞
|
I
k
|
<
η
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|I_{k}|<\eta }
또한, 임의의 연속점
x
∈
[
a
,
b
]
∖
E
{\displaystyle x\in [a,b]\setminus E}
δ
x
>
0
{\displaystyle \delta _{x}>0}
sup
s
,
t
∈
(
x
−
δ
x
,
x
+
δ
x
)
|
f
(
s
)
−
f
(
t
)
|
<
ϵ
{\displaystyle \sup _{s,t\in (x-\delta _{x},x+\delta _{x})}|f(s)-f(t)|<\epsilon }
이로부터,
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
{
(
x
−
δ
x
,
x
+
δ
x
)
}
x
∈
[
a
,
b
]
∖
E
∪
{
I
k
}
k
=
1
∞
{\displaystyle \{(x-\delta _{x},x+\delta _{x})\}_{x\in [a,b]\setminus E}\cup \{I_{k}\}_{k=1}^{\infty }}
를 얻으며, 이는 르베그 수
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
λ
(
P
)
<
δ
{\displaystyle \lambda (P)<\delta }
P
{\displaystyle P}
[
x
i
P
,
x
i
+
1
P
]
{\displaystyle [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}]}
w
(
f
,
P
,
i
)
>
ϵ
{\displaystyle w(f,P,i)>\epsilon }
(
x
−
δ
x
,
x
+
δ
x
)
{\displaystyle (x-\delta _{x},x+\delta _{x})}
I
k
{\displaystyle I_{k}}
∑
0
≤
i
≤
n
P
−
1
w
(
f
,
P
,
i
)
>
ϵ
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
≤
∑
k
=
1
∞
|
I
k
|
<
η
{\displaystyle \sum _{0\leq i\leq n_{P}-1}^{w(f,P,i)>\epsilon }(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})\leq \sum _{k=1}^{\infty }|I_{k}|<\eta }
특히, 연속 함수 는 항상 리만 적분 가능 함수이다. 불연속점 집합이 유한 집합 이거나 가산 무한 집합 인 함수 역시 거의 어디서나 연속 함수에 속하므로 리만 적분 가능 함수이다. 단조 함수 역시 많아야 가산 개의 불연속점을 가지므로 리만 적분 가능 함수이다.
리만 적분 가능 함수는 다음과 같은 연산들에 대하여 닫혀있다.
(합)
f
,
g
∈
R
(
[
a
,
b
]
;
R
)
⟹
f
+
g
∈
R
(
[
a
,
b
]
;
R
)
{\displaystyle f,g\in {\mathcal {R}}([a,b];\mathbb {R} )\implies f+g\in {\mathcal {R}}([a,b];\mathbb {R} )}
(곱)
f
,
g
∈
R
(
[
a
,
b
]
;
R
)
⟹
f
g
∈
R
(
[
a
,
b
]
;
R
)
{\displaystyle f,g\in {\mathcal {R}}([a,b];\mathbb {R} )\implies fg\in {\mathcal {R}}([a,b];\mathbb {R} )}
(함수의 제한 )
f
∈
R
(
[
a
,
b
]
;
R
)
,
[
c
,
d
]
⊆
[
a
,
b
]
⟹
f
|
[
c
,
d
]
∈
R
(
[
c
,
d
]
;
R
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {R}}([a,b];\mathbb {R} ),\;[c,d]\subseteq [a,b]\implies f|_{[c,d]}\in {\mathcal {R}}([c,d];\mathbb {R} )}
(균등 극한 ) 또한, 일부 경우 자연스러운 공식이 성립한다. 즉, 닫힌구간
I
{\displaystyle I}
f
,
g
:
I
→
R
{\displaystyle f,g\colon I\to \mathbb {R} }
a
,
b
,
c
∈
I
{\displaystyle a,b,c\in I}
∫
a
b
f
(
x
)
+
g
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
+
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)+g(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}
∫
a
b
k
f
(
x
)
d
x
=
k
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
(
k
∈
R
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}kf(x)\mathrm {d} x=k\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\qquad (k\in \mathbb {R} )}
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
+
∫
b
c
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\mathrm {d} x}
그러나, 리만 적분 함수는 몫과 함수의 합성 에 대하여 닫혀있지 않다. 예를 들어, 두 리만 적분 가능 함수의 몫은 무계 함수 일 수 있다. 또한,
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
f
(
x
)
=
{
1
x
=
0
0
x
∈
(
0
,
1
]
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x=0\\0&x\in (0,1]\end{cases}}}
를, 역시
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
토메 함수 의 왼쪽에 합성하면, 디리클레 함수 를 얻는데, 이는
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
f
∈
C
(
[
c
,
d
]
;
R
)
,
g
∈
R
(
[
a
,
b
]
;
[
c
,
d
]
)
⟹
f
∘
g
∈
R
(
[
a
,
b
]
→
R
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}([c,d];\mathbb {R} ),\;g\in {\mathcal {R}}([a,b];[c,d])\implies f\circ g\in {\mathcal {R}}([a,b]\to \mathbb {R} )}
리만 적분 가능 함수는 균등 극한이 아닐 수 있는 극한에 대하여 닫혀있지 않다. 또한, 코시 열 극한에 대하여 닫혀있지 않다. 즉, 리만 적분 가능 함수의 공간은 완비 L p 공간
리만 적분에 대한 미적분학의 제1 기본 정리는 다음과 같다. 리만 적분 가능 함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
F
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle F\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t}
그렇다면,
F
{\displaystyle F}
립시츠 연속 함수 이다. 따라서,
F
{\displaystyle F}
거의 어디서나 미분 가능 함수 이며, 모든 미분 가능점에서
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=f(x)}
f
{\displaystyle f}
연속 함수 라면,
F
{\displaystyle F}
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=f(x)}
f
{\displaystyle f}
리만 적분에 대한 미적분학의 제2 기본 정리는 다음과 같다. 함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
(부정적분 가능 함수)
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
∀
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle F'(x)=f(x)\forall x\in [a,b]}
(리만 적분 가능 함수)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
∈
R
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\in \mathbb {R} }
그렇다면, 다음이 성립한다.
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
F
(
x
)
|
a
b
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)=F(x)|_{a}^{b}}
리만 적분에 대한 미적분학 제2 기본 정리는 적분 가능 함수를 전제하여야 한다. 즉, 부정적분 가능 함수는 리만 적분 가능 함수일 필요가 없다.
제곱 함수
x
2
{\displaystyle x^{2}}
n
{\displaystyle n}
∫
0
1
x
2
d
x
=
lim
n
→
∞
1
n
∑
i
=
1
n
(
i
n
)
2
=
lim
n
→
∞
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
n
2
=
1
3
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {i}{n}}\right)^{2}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}}={\frac {1}{3}}}
제곱 함수
x
2
{\displaystyle x^{2}}
∫
0
1
x
2
d
x
=
1
3
x
3
|
0
1
=
1
3
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\mathrm {d} x=\left.{\frac {1}{3}}x^{3}\right|_{0}^{1}={\frac {1}{3}}}
디리클레 함수
D
(
x
)
=
{
1
x
∈
Q
0
x
∈
R
∖
Q
{\displaystyle D(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}
는
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
유리수 가 존재하며, 또한 각각의 구간 안에는 무리수 가 존재한다. 따라서 다음과 같은 두 가지 리만 합을 취할 수 있다.
∑
i
=
0
n
P
−
1
D
(
s
i
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
=
1
(
s
i
∈
[
x
i
P
,
x
i
+
1
P
]
∩
Q
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n_{P}-1}D(s_{i})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})=1\qquad (s_{i}\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}]\cap \mathbb {Q} )}
∑
i
=
0
n
P
−
1
D
(
t
i
)
(
x
i
+
1
P
−
x
i
P
)
=
0
(
t
i
∈
[
x
i
P
,
x
i
+
1
P
]
∖
Q
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n_{P}-1}D(t_{i})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})=0\qquad (t_{i}\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}]\setminus \mathbb {Q} )}
리만 합의 극한이 존재할 수 없으므로, 리만 적분 가능 함수가 아니다. 사실,
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
∫
0
1
¯
D
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle {\overline {\int _{0}^{1}}}D(x)\mathrm {d} x=1}
∫
0
1
_
D
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle {\underline {\int _{0}^{1}}}D(x)\mathrm {d} x=0}
편집
다음과 같은 함수를 생각하자.
f
(
x
)
=
{
2
x
sin
1
x
2
−
2
x
cos
1
x
2
x
≠
0
0
x
=
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}2x\sin {\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {2}{x}}\cos {\frac {1}{x^{2}}}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}
그렇다면,
∫
f
(
x
)
d
x
=
{
x
2
sin
1
x
2
x
≠
0
0
x
=
0
+
C
{\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x={\begin{cases}x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2}}}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}+C}
이므로,
f
{\displaystyle f}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
f
{\displaystyle f}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
편집
볼테라 함수 의 도함수는 유계 함수이지만, 리만 적분 가능 함수가 아니다.
임의의 n에 대한 유클리드 벡터 공간 ℝ
n
{\displaystyle ^{n}}
f = (f 1 , ..., f n
∫
f
=
(
∫
f
1
,
…
,
∫
f
n
)
.
{\displaystyle \int \mathbf {f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right).}
특히 복소수는 실수 벡터공간이므로, 이를 통해 복소수 값 함수를 통합할 수 있다.
리만 적분은 유계 구간에서만 정의되며, 유계가 아닌 구간까지 잘 확장되지 않는다. 가능한 가장 간단한 확장은 이러한 적분을 극한, 즉 이상 적분 으로 정의하는 것이다.
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
=
lim
a
→
−
∞
b
→
∞
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty \atop b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}
이 정의는 코시 주요값 의 계산값이 항상 동일하지는 않다는 몇 가지 미묘한 점을 포함한다.
lim
a
→
∞
∫
−
a
a
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx.}
예를 들어, x=0에서 0, x>0에서 1, x < 0에서 -1인 부호 함수를 생각해 보자. 대칭에 의해,
∫
−
a
a
f
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0}
a에 관계없이 항상 위 식이 성립한다. 그러나 함수를 채우는 적분 구간이 확장되는 방법은 여러 가지가 있으며, 다른 방법으로 다른 결과를 얻을 수 있다. 즉, 다변량 한계 가 항상 존재하는 것은 아니며, 다음과 같이 계산될 수 있다.
∫
−
a
2
a
f
(
x
)
d
x
=
a
,
∫
−
2
a
a
f
(
x
)
d
x
=
−
a
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-a}^{2a}f(x)\,dx&=a,\\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx&=-a.\end{aligned}}}
일반적으로 이 이상 적분 은 정의되지 않는다. 구간이 실수선에 접근하는 방법을 표준화하는 것이 반직관적인 결과를 초래하기 때문에 효과가 없다. 우리가 (예를 들어) 이상 적분 은 항상 다음과 같이 해야 한다는 것에 동의할 수 있다.
lim
a
→
∞
∫
−
a
a
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx,}
그러면 치환된 f(x - 1)의 적분은 -2이므로 이 정의는 평행이동 하에서 불변하지 않으며 매우 바람직하지 않은 특성이다. 사실, 이 함수는 이상 적분 을 갖지 않을 뿐만 아니라, 그것의 르베그 적분도 정의되지 않는다(그것은 ∞ - ∞와 같다).
이상 적분 은 충분히 강력하지 않다. 가장 심각한 문제는 함수의 한계를 가진 이상 적분을 대신 하는 데 널리 적용할 수 있는 정리가 없다는 것이다. 푸리에 급수와 같은 응용에서는 함수에 대한 근사치의 적분을 사용하여 함수의 적분을 근사할 수 있는 것이 중요하다. 리만 적분 의 경우, 표준 정리는 fn f
lim
n
→
∞
∫
a
b
f
n
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}
실수와 같은 열린 구간 에서는 이 값이 거짓이다. 예를 들어 fn (x )n −1
∫
−
∞
∞
f
n
d
x
=
1.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx=1.}
수열(fn ) 은 영함수로 균등 수렴하며, 영함수의 적분은 자명히 0이다. 결과적으로, 다음을 얻게 된다.
∫
−
∞
∞
f
d
x
≠
lim
n
→
∞
∫
−
∞
∞
f
n
d
x
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f\,dx\neq \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx.}
유계가 아닌 구간 의 적분의 경우 적분이 함수의 균등 수렴보다 우선시되지 않는다는 것을 보여준다.
더 나은 방법은 르베그 적분을 위한 리만 적분을 버리는 것이다. 르베그 적분의 정의는 분명히 리만 적분의 일반화는 아니지만, 모든 리만 적분 가능 함수가 르베그 적분 가능하고 두 적분의 값이 모두 정의될 때에는 서로 일치한다는 것을 증명하는 것은 어렵지 않다. 또한, 닫힌 구간에서 정의된 함수 f f
실제로 리만 적분의 직접적인 일반화인 적분은 헨스톡-커즈와일 적분 이다.
리만 적분을 일반화하는 또 다른 방법은 리만 합의 정의에서 인자 x k + 1x k 리만-스틸제스 적분 에 의해 취해지는 접근법이다.
다변수 미적분학에서
R
n
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
주어진 분할에 대해 다르부 상합은 항상 다르부 하합보다 크거나 같다. 또한 다르부 하합은 구간 [a,b]에서 너비가 (b-a)이고 높이가 inf(f(x))인 직사각형의 넓이가 다르부 하합보다 항상 작거나 같으므로 아래로 유계이다. 마찬가지로 다르부 상합은 구간 [a,b]에서 너비가 (b-a)이고 높이가 sup(f(x))인 직사각형의 넓이가 다르부 상합보다 항상 크거나 같으므로 위로 유계이다.
(
b
−
a
)
inf
x
∈
[
a
,
b
]
f
(
x
)
≤
L
f
,
P
≤
U
f
,
P
≤
(
b
−
a
)
sup
x
∈
[
a
,
b
]
f
(
x
)
{\displaystyle (b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)}
다르부 상적분과 하적분은 다음을 만족한다.
∫
a
b
_
f
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx}
구간 (a, b)에 포함된 임의의 c가 주어졌을 때 다음을 만족한다.
∫
a
b
_
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
c
_
f
(
x
)
d
x
+
∫
c
b
_
f
(
x
)
d
x
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
c
¯
f
(
x
)
d
x
+
∫
c
b
¯
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}
다르부 상적분과 하적분은 항상 선형이 아니다. g :[a , b ] → R 도 유계인 함수라고 가정하면은 다음 부등식을 만족한다
∫
a
b
_
f
(
x
)
d
x
+
∫
a
b
_
g
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
_
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
d
x
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
+
∫
a
b
¯
g
(
x
)
d
x
≥
∫
a
b
¯
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\end{aligned}}}
상수 c ≥ 0 에 대해 다음이 성립한다.
∫
a
b
_
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
a
b
_
f
(
x
)
d
x
∫
a
b
¯
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}
상수 c ≤ 0 에 대해 다음이 성립한다.
∫
a
b
_
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
∫
a
b
¯
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
a
b
_
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}
다음 함수를 생각해보자
F
:
[
a
,
b
]
→
R
F
(
x
)
=
∫
a
x
_
f
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}F:[a,b]\to \mathbb {R} \\&{}F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(t)\,dt,\end{aligned}}}
그러면 F는 Lipschitz 연속이다. 이는 다르부 상적분에서도 만족한다.
함수
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
1
/
n
{\displaystyle 1/n}
P
n
{\displaystyle P_{n}}
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
P
n
{\displaystyle P_{n}}
k
{\displaystyle k}
(
k
−
1
)
/
n
{\displaystyle (k-1)/n}
k
/
n
{\displaystyle k/n}
P
n
{\displaystyle P_{n}}
L
f
,
P
n
=
∑
k
=
1
n
f
(
x
k
−
1
)
(
x
k
−
x
k
−
1
)
=
∑
k
=
1
n
k
−
1
n
⋅
1
n
=
1
n
2
∑
k
=
1
n
[
k
−
1
]
=
1
n
2
[
(
n
−
1
)
n
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}
마찬가지로 다르부 상합은 다음과 같다
U
f
,
P
n
=
∑
k
=
1
n
f
(
x
k
)
(
x
k
−
x
k
−
1
)
=
∑
k
=
1
n
k
n
⋅
1
n
=
1
n
2
∑
k
=
1
n
k
=
1
n
2
[
(
n
+
1
)
n
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}
따라서
U
f
,
P
n
−
L
f
,
P
n
=
1
n
{\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}={\frac {1}{n}}}
그러므로 임의의
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
P
n
{\displaystyle P_{n}}
n
>
1
ε
{\displaystyle n>{\frac {1}{\varepsilon }}}
U
f
,
P
n
−
L
f
,
P
n
<
ε
{\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}<\varepsilon }
다음을 만족하는
f
{\displaystyle f}
∫
0
1
f
(
x
)
d
x
=
lim
n
→
∞
U
f
,
P
n
=
lim
n
→
∞
L
f
,
P
n
=
1
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}}
Darboux upper sums of the function y = x 2
f
:
[
0
,
1
]
→
R
{\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
{
0
if
x
is rational
1
if
x
is irrational
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0&{\text{if }}x{\text{ is rational}}\\1&{\text{if }}x{\text{ is irrational}}\end{cases}}\end{aligned}}}
유리수와 무리수는 모두 실수의 조밀한 부분집합이기 때문에
f
{\displaystyle f}
L
f
,
P
=
∑
k
=
1
n
(
x
k
−
x
k
−
1
)
inf
x
∈
[
x
k
−
1
,
x
k
]
f
=
0
U
f
,
P
=
∑
k
=
1
n
(
x
k
−
x
k
−
1
)
sup
x
∈
[
x
k
−
1
,
x
k
]
f
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}}
이를 통해 다르부 하합과 다르부 상합이 서로 다르다는 것을 알 수 있다. 즉 위 디리클레 함수는 다르부 적분 불가능하다.
세부화 단계로 넘어갈 때, 낮은 합계는 증가하고 높은 합계는 감소합니다. 집합
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
y
0
,
…
,
y
m
{\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}
i = 0, …, n 에 대해서
x
i
=
y
r
(
i
)
{\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}
정수 r ( i )가 존재한다.
달리 말해.
P
:=
(
x
0
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle P:=(x_{0},...,x_{n})}
Q
:=
(
y
0
,
.
.
.
,
y
n
)
{\displaystyle Q:=(y_{0},...,y_{n})}
I
⊏
R
{\displaystyle I{\sqsubset }\mathbb {R} }
x
k
∈
P
{\displaystyle x_{k}\in P}
만약
P
′
=
(
y
0
,
…
,
y
m
)
{\displaystyle P'=(y_{0},\ldots ,y_{m})}
P
=
(
x
0
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}
U
f
,
P
≥
U
f
,
P
′
{\displaystyle U_{f,P}\geq U_{f,P'}}
이고
L
f
,
P
≤
L
f
,
P
′
{\displaystyle L_{f,P}\leq L_{f,P'}}
만약 P 1 , P 2 가 동일한 구간의 두 분할일 경우(하나가 다른 하나의 세분일 필요가 없음)
L
f
,
P
1
≤
U
f
,
P
2
,
{\displaystyle L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}},}
이므로 다음과 같다.
L
f
≤
U
f
.
{\displaystyle L_{f}\leq U_{f}.}
리만합은 항상 해당하는 다르부 상합과 다르부 하합 사이에 존재한다.
리만 적분의 정의에서와 같이
P
=
(
x
0
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}
T
=
(
t
1
,
…
,
t
n
)
{\displaystyle T=(t_{1},\ldots ,t_{n})}
x
0
≤
t
1
≤
x
1
≤
⋯
≤
x
n
−
1
≤
t
n
≤
x
n
{\displaystyle x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}}
리만 합
f
{\displaystyle f}
P 와 T 에 대응하는 R 과 같으면 다음이 성립한다.
L
f
,
P
≤
R
≤
U
f
,
P
.
{\displaystyle L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.}
앞의 사실에서 알 수 있다시피 리만 적분은 다르부 적분만큼 엄밀하다. 다르부 적분이 존재하면 충분히 촘촘한 분할에 해당하는 다르부 상합과 하합은 적분 값에 가까워지므로 같은 분할에 대한 모든 리만 합도 적분의 값에 가까울 것이라 생각할 수 있다.
(아래 참조) 다르부 상적분과 하적분의 값에 임의로 근접하면서 태그된 분할이 존재하므로 리만 적분이 존재하면 다르부 적분도 존재해야 합니다.
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \{a,b\}\subseteq P\subseteq [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d5ad9ee5ec01729bf226826112c9b39c86fc9b)
![{\displaystyle [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3fad34f66725e050c9d6d375dc797e4dd9b633)
![{\displaystyle (t_{i}\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}])_{i=0}^{n_{P}-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6642295c512fa140c67a8f568857e423afc140bf)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
이 부분의 본문은 리만 합입니다.![{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ab61178bf5349838758ffe3d96135406ed0245)
![{\displaystyle t_{i}\in \left[a+i{\frac {b-a}{n}},a+(i+1){\frac {b-a}{n}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029eae3eb9d9cdfef71f714e07bc88e97d925c4a)
![{\displaystyle \int _{[a,b]}f(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782f9a03870db8f680f85984c5955b16ddb7bbe2)
![{\displaystyle \int _{[a,b]}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca84bfccb6e88f1d8abc8b747642f70db4a57044)
![{\displaystyle {\mathcal {R}}([a,b];\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03da6d0a64309f81c6c8d35701acf8565b4cc9c8)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\mathrm {d} x\qquad (a>b,\;f\in {\mathcal {R}}([b,a];\mathbb {R} ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20926f72679fbb680c8d747ddaf3bac62505213)
![{\displaystyle U(f,P)=\sum _{i=0}^{n_{P}-1}\sup _{x\in [x_{i+1}^{P},x_{i}^{P}]}f(x)(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5230c55c8616e43c84806fa50afdca9665b7555a)
![{\displaystyle L(f,P)=\sum _{i=0}^{n_{P}-1}\inf _{x\in [x_{i+1}^{P},x_{i}^{P}]}f(x)(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5958e10cde8a1a1909447766a46590bc7d54287)
![{\displaystyle w(f,P)=U(f,P)-L(f,P)=\sum _{i=0}^{n_{P}-1}\sup _{x,y\in [x_{i+1}^{P},x_{i}^{P}]}|f(x)-f(y)|(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e3fd9904f604aeac8d1096acbf3c17784de605)
![{\displaystyle {\begin{aligned}U(f,Q)&=\sum _{0\leq i\leq n_{P}-1}^{i\neq j}\sup _{x\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}]}f(x)(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})+\sup _{x\in [x_{j}^{P},y]}f(x)(y-x_{j}^{P})+\sup _{x\in [y,x_{j+1}^{P}]}f(x)(x_{j}^{P}-y)\\&\leq \sum _{0\leq i\leq n_{P}-1}^{i\neq j}\sup _{x\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}]}f(x)(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})+\sup _{x\in [x_{j}^{P},x_{j+1}^{P}]}f(x)(y-x_{j}^{P})+\sup _{x\in [x_{j}^{P},x_{j+1}^{P}]}f(x)(x_{j+1}^{P}-y)\\&=U(f,P)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5bb478bc5c83a0d2b6326b08db6a7cdaaf37223)
![{\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\mathrm {d} x=\inf _{\{a,b\}\subseteq P\subseteq [a,b]}^{|P|<\aleph _{0}}U(f,P)=\lim _{\lambda (P)\to 0}U(f,P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b043389979259dd91fa7d4c2d3674798ef8854ee)
![{\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\mathrm {d} x=\sup _{\{a,b\}\subseteq P\subseteq [a,b]}^{|P|<\aleph _{0}}L(f,P)=\lim _{\lambda (P)\to 0}L(f,P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f910065822bfaa1fe88ea475f28b217fd12012)
![{\displaystyle U(f,Q)<\inf _{\{a,b\}\subseteq R\subseteq [a,b]}^{|R|<\aleph _{0}}U(f,R)+{\frac {\epsilon }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec781189bc469c5537cf2fadacb2a6aa0aee8ec)
![{\displaystyle \{a,b\}\subseteq P_{|P|<\aleph _{0}}\subseteq [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcef99139a82a6789402af670bd720a66f5d292)
![{\displaystyle \lambda (P)<{\frac {\epsilon }{1+4n_{Q}\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16951bbe19af97865b723c798458448b62a5d79a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}U(f,P)&\leq U(f,P)-U(f,P\cup Q)+U(f,Q)\\&\leq U(f,Q)+n_{Q}\cdot 2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|\cdot \lambda (P)\\&<\inf _{\{a,b\}\subseteq R\subseteq [a,b]}^{|R|<\aleph _{0}}U(f,R)+\epsilon \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470653e8928439d42a05b4aa1060fa40d4adc3ba)
![{\displaystyle \lim _{\lambda (P)\to 0}U(f,P)=\inf _{\{a,b\}\subseteq R\subseteq [a,b]}^{|R|<\aleph _{0}}U(f,R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd37e57dcc0624494aee161b9c7e7f9442d3b082)
![{\displaystyle \sup _{x\in [x_{j}^{P},x_{j+1}^{P}]}|f(x)|=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed627fb20f1ab2d459ec0dfc620c0c423aea2eb7)
![{\displaystyle \sup _{t_{i}\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}]}\left|\sum _{i=0}^{n_{P}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})\right|\geq \sup _{t_{j}\in [x_{j-1}^{P},x_{j}^{P}]}|f(t_{j})(x_{j+1}^{P}-x_{j}^{P})|-\left|\sum _{0\leq i\leq n_{P}-1}^{i\neq j}f(x_{i}^{P})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})\right|=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74707815ac355daa441e7c2aa90f744d53c00b6)
![{\displaystyle (s_{i},t_{i}\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}])_{i=0}^{n_{P}-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cbe1f5bcb91b1ccdfa937610a850ad9cc63800e)
![{\displaystyle (t_{i}\in [x_{i+1}^{P},x_{i}^{P}])_{i=0}^{n_{P}-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59da8afa82ee36224db1de0ccd6b0e222dbd7cc)
![{\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\mathrm {d} x-{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\mathrm {d} x=\inf _{\{a,b\}\subseteq P\subseteq [a,b]}^{|P|<\aleph _{0}}w(f,P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b27b7c860257f0fae41abe62292687d75b3000c)
![{\displaystyle \epsilon \sum _{0\leq i\leq n_{P}-1}^{w(f,P,i)>\epsilon }(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})\leq w(f,P)\leq \epsilon (b-a)+2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|\sum _{0\leq i\leq n_{P}-1}^{w(f,P,i)>\epsilon }(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4415ba816c2efb5ce656d0185111c694789adbf)
![{\displaystyle E\subseteq [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a3f179daff7072656193774ff8a7ecc6607548)
![{\displaystyle x\in [a,b]\setminus E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8e5af1ec358392b3b89b44ddda63928eddaec0)
![{\displaystyle \{(x-\delta _{x},x+\delta _{x})\}_{x\in [a,b]\setminus E}\cup \{I_{k}\}_{k=1}^{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0257612fe5b82ec50973647d75e232742c5eadb8)
![{\displaystyle f,g\in {\mathcal {R}}([a,b];\mathbb {R} )\implies f+g\in {\mathcal {R}}([a,b];\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0515667503b3a0ced8b68c131d7663f903c9a7c3)
![{\displaystyle f,g\in {\mathcal {R}}([a,b];\mathbb {R} )\implies fg\in {\mathcal {R}}([a,b];\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d12a1ca4d63c3cb449e56e2c1d0c3e7f47390a7)
![{\displaystyle f\in {\mathcal {R}}([a,b];\mathbb {R} ),\;[c,d]\subseteq [a,b]\implies f|_{[c,d]}\in {\mathcal {R}}([c,d];\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6624ed912b6001fff01b4a42ea4175a91cb04ff8)
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x=0\\0&x\in (0,1]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc26a576a1595d2156dcee64ea38264c0599a200)
![{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}([c,d];\mathbb {R} ),\;g\in {\mathcal {R}}([a,b];[c,d])\implies f\circ g\in {\mathcal {R}}([a,b]\to \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2608fcda0de663098fb8706c03c50f8b8ac33fc2)
![{\displaystyle F\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22aae183016ffbb759663208b693d6a28be4e69e)
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
![{\displaystyle F'(x)=f(x)\forall x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57dbd48e746ceb5e25a2ed11ce5d175ede38646e)
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n_{P}-1}D(s_{i})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})=1\qquad (s_{i}\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}]\cap \mathbb {Q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253dd7a1faf595cc1e8110049a4ef19ddb5788ba)
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n_{P}-1}D(t_{i})(x_{i+1}^{P}-x_{i}^{P})=0\qquad (t_{i}\in [x_{i}^{P},x_{i+1}^{P}]\setminus \mathbb {Q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe8ad5331248ba9842f0c1439fb302afc3069f7)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle (b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb367d6382f3b3ea0ed86c0c7c530396f62f06ed)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ca354c965e553c119390bdc098498cf6924e2a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9424ce17345ffd01d310f81608947a0e695ff49e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40054deea36d550b2217ad101771ba19237c4b85)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f36ce4043d1090c33efc2d28aee715a8625fb01)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}F:[a,b]\to \mathbb {R} \\&{}F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(t)\,dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab44bbba0d648c9aa5080ae7dc002915bbdfeb23)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9d5136be122292af60763e9e5c1d81fead9972)
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c2c468d5244b9b8e8434d9438d274cb7ecdac1)
![{\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de6d0d4c98d4ca7ad937c772dc3e3e914b062f5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53219a61241091dae7dc2f3a2dfeba19ad209f2)
