사용자:Prinkipia/소거 성질

수학 에서 소거(cancellation)의 개념은 가역적(invertible) 개념의 일반화이다.

정의

마그마M의 원소 a, b, c 에 대하여, 모든 b, c에 대해 a ∗ b = a ∗ c가 항상 b = c를 함의한다면 마그마 (M, ∗)의 원소 a는 왼쪽 소거 성질(left-cancellation property)을 가진다(또는 왼쪽 소거적(left-cancellative)이다)고 한다.

마그마M의 원소 a, b, c에 대해여, 모든 b, c에 대해 b ∗ a = c ∗ a 가 b = c 를 함의한다면 마그마(M, ∗)의 원소 a는 오른쪽 소거 성질(right 을 갖는다(또는 오른쪽 소거적(right-cancellative)이다)고 한다.

마그마의 원소 a가 오른쪽 소거 성질, 왼쪽 소거 성질을 모두 갖는다면 마그마 (M, ∗)의 원소 a는 양쪽 소거 성질을 갖는다 (또는 소거적(cancellative)이다)고 한다.

마그마 M의 모든 원소에 대해 왼쪽 소거 성질을 가지고 있다면 M이 왼쪽 소거적이라 하고, 유사하게 모든 원소가 오른쪽소거성질(양쪽 소거 성질)을 가지고 있다면 오른쪽(양쪽)소거적이라고 한다.

왼쪽 가역원은 왼쪽 소거적이고 오른쪽 기역원은 오른쪽 소거적이다. 양쪽 가역원은 소거적이다.

예를 들어, 모든 유사군, 그리고 모든 군은 소거적이다.

해석

마그마 (M, ∗) 의 원소 a 가 왼쪽 소거적이라 말하는 것은 함수 g : x ↦ a ∗ x 가 단사라고 말하는 것이다. 함수 g 가 단사라는 것은 a ∗ x = b의 꼴의 방정식이 주어 졌을 때 방정식을 만족하는 미지수 x의 해가 하나뿐임을 의미합니다. 더 정확하게는모든 x에 대해 g 의 역함수 f 를 정의 할 수 있다. 다시 말해, M의 모든 x 와 y 에 대해 a * x = a * y 이면 x = y 이다.

군의 소거법칙

군에서는 군의 정의에 따라 항상 소거 법칙을 만족시킨다.

군(G, *)의 원소 a, b, c와 그 역원 $a',b'$에 대해 $a*b=a*c$이면 양변에 앞에서 $a'$을 연산함으로서 $a'*(a*b)=a'(a*c)$가 된다. 군의 정의에 따라 결합법칙이 성립하므로 $(a'*a)*b=(a'*a)*c$가 되고 항등원이 존재함으로 $e*b=e*c$ 즉, $b=c$가 된다. 이것을 왼쪽 소거 법칙이라고 한다. 마찬가지로 군은 오른쪽 소거법칙도 만족한다.

소거적 모노이드 및 반군의 예

양의 (음이 아닌) 정수는 덧셈 에서 소거적 반군을 이룬다. 음이 아닌 정수는 덧셈 에서 소거적 모노이드를 이룬다.

일반적으로 어떤 군에 포함되는 반군이나 모노이드는 소거 법칙을 따른다.

환의 원소들의 곱셈 반군(0으로 나누는 것을 제외한)에는 소거 성질을 가지고 있다. 이것은 비가환환에서도 성립한다.

비 소거적 대수구조

소거법칙은 실수 와 복소수 의 더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기에서도 성립하지만,(0 으로 곱하고 0을 다른 숫자로 나누는 예외를 제외하고) 소거법칙이 성립하지 않는 대수구조도 있다.

벡터의 외적은 소거법칙을 따르지 않는다. a × b = a × c 이면 a ≠ 0 경우에도 b = c 를 함의하지는 않는다.

행렬 곱셈도 반드시 소거 법칙을 따르지는 않는다. AB = AC 이고 A ≠ 0 이라도 B = C 라는 결론을 내리기 전에 행렬 A 가 가역 (즉, det(A) ≠ 0 )임을 보여야 한다. det(A) = 0 이면 행렬 방정식 AX = B 에 비가역 행렬 A에 대한 유일한 해가 없기 때문에 B 가 C 와 같지 않을 수 있다.

또한 AB = CA , A ≠ 0 이고 행렬 A 가 가역적 이리더( det(A) ≠ 0 ) B = C 라는 것이 반드시 성립하지는 않는다. 행렬의 곱셈은 비가환이기 때문에 소거법칙은 AB = AC 및 BA = CA (행렬 A 가 가역적 일 경우)에서만 성립하며 AB = CA 및 BA = AC 에서는 성립하지 않는다.

같이보기

• 그로텐디크 군
• 가역원
• 소거적 반군
• 정역

참고 문헌

[[분류:추상대수학]]