삼중성 리 대수

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추상대수학에서, 삼중성 리 대수(三重性Lie代數, 영어: triality Lie algebra)는 합성 대수로부터 정의되는, 3차 대칭군작용을 갖는 특별한 리 대수이다. 가장 대표적인 예는 팔원수로부터 정의되는 실수 리 대수 이며, 이에 따라 이 리 대수의 8차원 벡터 표현 및 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너들이 서로 삼중성 아래 순열로 변환한다.

팔원수에 대응되는 삼중성 리 대수 딘킨 도표는 삼중성에 의하여 Sym(3) 대칭을 갖는다.

정의편집

 가 2와 3이 가역원인 라고 하자.   위의 합성 대수   에 대하여, 다음을 정의하자.

 

여기서   이차 형식  (에 대응하는 대칭 쌍선형 형식)에 대한 직교 리 대수이다.

이는  부분 리 대수를 이룬다. 이를  삼중성 리 대수라고 하며,  로 표기한다.[1]:§4.1[2]:18–24

이는 다음과 같은  -벡터 공간 동형 사상을 갖는다.

 

증명:

 에 대하여, 교환자

 

를 정의하면, 교대 법칙에 의하여

 

이며, 이는

 

로 번역된다. 마찬가지로

 

 

로 번역된다. 이들은 각각 선형 변환

 

를 정의한다.

이에 따라,  -선형 변환

 
 

이 존재한다. 또한, 이는 왼쪽 역사상

 
 
 

를 갖는 것을 쉽게 확인할 수 있으며, 이 왼쪽 역사상단사 함수인 것을 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.

 
 

성질편집

3차 대칭군의 작용편집

  위에는 다음과 같은 자기 동형이 존재한다.

 
 
 

여기서

 

를 뜻한다. 그렇다면,

 
 
 
 

가 된다. 즉, 이는 군 준동형

 

를 정의한다 ( 은 3차 대칭군). 이를 삼중성(영어: triality)이라고 한다.

또한,    사이에,  의 대각 성분으로 구성되는, 벡터 공간으로서  리 대수  가 존재한다. 이 위에는   삼중성이   이중성으로 깨지게 된다.

프로이덴탈 마방진과의 관계편집

실수 합성 대수  ,  에 대하여, 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상이 존재한다.[1]:Theorem 4.4, §4.3

 

여기서    로 정의되는 3×3 프로이덴탈 마방진 실수 리 대수이다. 특히, 우변에서   부분 리 대수를 이룬다.

또한, 임의의 실수 합성 대수  에 대하여, 그 위의 3×3 에르미트 행렬로 구성된 실수 요르단 대수  미분 리 대수는 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상을 갖는다.[1]:Theorem 4.1, §4.1

 

특히, 우변에서   부분 리 대수이다.

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실수 합성 대수에 대하여, 삼중성 리 대수는 다음과 같다.

실수 합성 대수        
  0 0 0
  0    
  0    
       
       
       
       

여기서  ,  ,  는 각각 분할복소수 · 분할 사원수 · 분할 팔원수의 실수 합성 대수이다.

참고 문헌편집

  1. Barton, C. H.; Sudbery, A. (2003). “Magic squares and matrix models of Lie algebras”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 180 (2): 596–647. arXiv:math/0203010. doi:10.1016/S0001-8708(03)00015-X. 
  2. Ramond, Pierre (1976). 《Introduction to exceptional Lie groups and algebras》 (영어). CALT-68-577. 캘리포니아 공과대학교. 

외부 링크편집