소환 (환론)

환론에서 소환(素環, 영어: prime ring)은 아이디얼이 곱셈에 대하여 영인자를 갖지 않는 환이다. 정역의 개념의 비가환 일반화의 하나이다.

정의 편집

임의의 환 $R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 소환이라고 한다.

임의의 $r,s\in R$ 에 대하여, 만약 $rRs=\{0\}$ 이라면 $r=0$ 이거나 $s=0$ 이다.
영 아이디얼이 소 아이디얼이다.^[1]^:158
임의의 두 아이디얼 ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ 에 대하여, 만약 ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(0)$ 이라면 ${\mathfrak {a}}=(0)$ 이거나 ${\mathfrak {b}}=(0)$ 이다.
임의의 두 왼쪽 아이디얼 ${\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\subseteq R$ 에 대하여, 만약 ${\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}=(0)$ 이라면 ${\mathfrak {A}}=(0)$ 이거나 ${\mathfrak {B}}=(0)$ 이다.
임의의 두 오른쪽 아이디얼 ${\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\subseteq R$ 에 대하여, 만약 ${\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}=(0)$ 이라면 ${\mathfrak {A}}=(0)$ 이거나 ${\mathfrak {B}}=(0)$ 이다.
모든 왼쪽 아이디얼이 왼쪽 충실한 가군이다.
모든 오른쪽 아이디얼이 오른쪽 충실한 가군이다.

다음 함의 관계가 성립한다.^[1]^:153

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.

소환 $R$ 의 중심 $Z(R)$ 는 정역이다. 따라서, 소환의 표수는 0이거나 소수이다.^[1]^{:168, Exercise 10.0}

정역 $D$ 위의 행렬환 $\operatorname {Mat} (n;D)$ 은 소환이다.

↑ ^가 ^나 ^다 Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.

“Prime ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Prime ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.