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환론에서, 원시환(原始環, 영어: primitive ring)은 단순 가군으로서 완전히 나타낼 수 있는 이다. 이러한 환들은 나눗셈환 위의 선형 변환들의 환에 가깝다.

정의편집

 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 원시환(영어: left primitive ring)이라고 한다.

  • 충실한 왼쪽 단순 가군을 갖는다.[1]:172, Definition 11.2
  • 소환이며, 가군의 길이가 유한한 충실한 왼쪽 가군을 갖는다.[1]:191, Exercise 11.19
  • 영 아이디얼이 아닌 양쪽 아이디얼을 포함하지 않는 극대 왼쪽 아이디얼이 존재한다.
  • 다음 성질을 만족시키는 왼쪽 아이디얼  이 존재한다.[1]:186, Lemma 11.28
    • 임의의 아이디얼  에 대하여, 만약  이라면  이다.
  • (제이컵슨 조밀성 정리 영어: Jacobson density theorem) 나눗셈환   위의 왼쪽 가군  이산 위상을 주고, 자기 함수 집합  곱위상을 주고, 자기준동형환  부분 공간 위상을 주면,  조밀 부분환과 동형이다.

오른쪽 원시환(영어: right primitive ring)은 왼쪽 원시환의 반대환이다. 즉, 위와 마찬가지로 정의된다.

성질편집

가환환에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.[1]:173, Proposition 11.8

  • 왼쪽 원시환이다.
  • 오른쪽 원시환이다.
  • 이다.

왼쪽 아르틴 환에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 왼쪽 원시환이다.
  • 오른쪽 원시환이다.
  • 소환이다.
  • 단순환이다.
  • 나눗셈환   위의 행렬환  과 동형이다 ( ).[1]:181, Theorem 11.19

왼쪽·오른쪽 원시환은 반원시환(영어: semiprimitive ring)이며 소환(영어: prime ring)이다. 모든 단순환은 왼쪽 원시환이자 오른쪽 원시환이다. 즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.[1]:173

반단순환 반원시환 반소환
단순환 左·右 원시환 소환

분류편집

 가 왼쪽 원시환이라고 하고,   충실한 왼쪽 단순 가군이라고 하자. 그렇다면, 슈어 보조정리에 따라  나눗셈환이다. 또한,  은 자연스럽게  의 왼쪽 가군이며, 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.

 
 

또한,  충실한 가군이므로 이 환 준동형은 (정의에 따라) 단사 함수이다. 즉,   부분환으로 여길 수 있으며,  의 작용을  로 제약시키면,  의 원래 작용과 같다.

이제,  이산 위상을 부여하고, 자기 함수 집합

 

곱위상을 부여하고,

 

부분 공간 위상을 부여하자.

제이컵슨 조밀성 정리(영어: Jacobson density theorem)에 따르면,   조밀 집합이다. 이 위상에서 조밀 집합이라는 것은 구체적으로 다음과 같다.

  • 임의의 자연수   에 대하여,  이다.

편집

자명환은 왼쪽·오른쪽 원시환이 아니다.[1]:172, Definition 11.2

표수가 0인 체  에 대한 바일 대수  는 원시환이다.

왼쪽 원시환이지만 오른쪽 원시환이 아닌 환이 존재한다.[2]

참고 문헌편집

  1. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. 
  2. Bergman, G. M. (1964년 6월). “A ring primitive on the right but not on the left”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 15 (3): 473–475. ISSN 0002-9939. JSTOR 2034527. MR 0167497. doi:10.1090/S0002-9939-1964-0167497-4.  오류 정정 “Errata: A ring primitive on the right but not on the left”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 15 (6): 1000–1000. 1964년 12월. ISSN 0002-9939. JSTOR 2034929. 

외부 링크편집