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환론에서, 축소환(縮小環, 영어: reduced ring)은 0이 아닌 멱영원을 갖지 않는 환이다. 즉, 0이 아닌 원소의 제곱이 항상 0이 아닌 환이다.

정의편집

(곱셈 단위원을 갖는)  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 축소환이라고 한다.

  • 0이 아닌 모든 원소는 멱영원이 아니다. 즉, 임의의 0이 아닌 원소   및 양의 정수  에 대하여,  이다.[1]:4
  • 임의의 0이 아닌 원소   및 양의 정수  에 대하여,  이다.
  • (유한 개 또는 무한 개의) 영역들의 직접곱부분환이다.[1]:207, Theorem (12.7) (0개의 환의 직접곱자명환이다.)

축소 스킴편집

축소환의 개념은 대수기하학에서 중요한 역할을 한다. 대수기하학에서, 멱영원은 무한소 함수로 해석된다. 즉, 거듭제곱을 하면 0이 되는 (즉, 무시할 수 있는) 무한소의 값을 갖는 함수이다.

축소 아핀 스킴(영어: reduced affine scheme)은 축소환의 스펙트럼과 동형인 아핀 스킴이다. 축소 스킴(영어: reduced scheme)은 축소 아핀 스킴으로 덮을 수 있는 스킴이다.

모든 대수다양체는 (정의에 따라) 축소 스킴을 이룬다.

성질편집

함의 관계편집

다음 함의 관계가 성립한다.[1]:153

정역
나눗셈환 영역 축소환
左·右 원시환 소환 반소환

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.

정역
나눗셈환 영역 축소환
左·右 원시환 소환 반소환

닫힘 성질편집

축소환들은 부분환·직접곱·국소화에 대하여 닫혀 있다. 즉, 축소환의 부분환·국소화 및 축소환들의 곱 역시 축소환이다.

영근기편집

가환환에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

가환환  에 대하여, 영근기에 대한 몫환은 가환 축소환을 이룬다.

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자명환은 (자명하게) 축소환이다.

모든 정역은 축소환이다. 즉, 정수환  이나 모든 는 축소환이다. 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어,  는 정역이 아니지만 축소환이다.

축소환이 아닌 환으로는 예를 들어 체  에 대하여   ( )가 있다. 이 경우,  이므로  은 멱영원을 이룬다.

 가 축소환일 필요충분조건은  이 제곱인자를 갖지 않는 것이다.

참고 문헌편집

  1. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. 

외부 링크편집