축소환

환론에서 축소환(縮小環, 영어: reduced ring)은 0이 아닌 멱영원을 갖지 않는 환이다. 즉, 0이 아닌 원소의 제곱이 항상 0이 아닌 환이다.

정의

(곱셈 단위원을 갖는) 환 $R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 축소환이라고 한다.

0이 아닌 모든 원소는 멱영원이 아니다. 즉, 임의의 0이 아닌 원소 $r\in R\setminus \{0\}$ 및 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 에 대하여, $r^{n}\neq 0$ 이다.^[1]^:4
임의의 0이 아닌 원소 $r\in R\setminus \{0\}$ 및 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 에 대하여, $r^{2}\neq 0$ 이다.
(유한 개 또는 무한 개의) 영역들의 직접곱의 부분환이다.^[1]^{:207, Theorem (12.7)} (0개의 환의 직접곱은 자명환이다.)

축소환의 개념은 대수기하학에서 중요한 역할을 한다. 대수기하학에서, 멱영원은 무한소 함수로 해석된다. 즉, 거듭제곱을 하면 0이 되는 (즉, 무시할 수 있는) 무한소의 값을 갖는 함수이다.

축소 아핀 스킴(영어: reduced affine scheme)은 축소환의 스펙트럼과 동형인 아핀 스킴이다. 축소 스킴(영어: reduced scheme)은 축소 아핀 스킴으로 덮을 수 있는 스킴이다.

모든 대수다양체는 (정의에 따라) 축소 스킴을 이룬다.

다음 함의 관계가 성립한다.^[1]^:153

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.

축소환들은 부분환·직접곱·국소화에 대하여 닫혀 있다. 즉, 축소환의 부분환·국소화 및 축소환들의 곱 역시 축소환이다.

가환환에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

가환환 $R$ 에 대하여, 영근기에 대한 몫환은 가환 축소환을 이룬다.

자명환은 (자명하게) 축소환이다.

모든 정역은 축소환이다. 즉, 정수환 $\mathbb {Z}$ 이나 모든 체는 축소환이다. 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ 는 정역이 아니지만 축소환이다.

축소환이 아닌 환으로는 예를 들어 체 $K$ 에 대하여 $K[x]/(x^{n})$ ( $n>0$ )가 있다. 이 경우, $(x^{n-1})^{2}=0$ 이므로 $x^{n-1}$ 은 멱영원을 이룬다.

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 가 축소환일 필요충분조건은 $n$ 이 제곱인자를 갖지 않는 것이다.

↑ ^가 ^나 ^다 Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.

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“Reduced scheme”. 《nLab》 (영어).
“Definition: reduced rings”. 《ProofWiki》 (영어).
“Radical ideal iff quotient ring is reduced”. 《ProofWiki》 (영어).
Sharifi, Yaghoub (2010년 6월 4일). “About reduced rings (1)”. 《Abstract Algebra》 (영어).
Sharifi, Yaghoub (2010년 6월 4일). “About reduced rings (2)”. 《Abstract Algebra》 (영어).
Krempa, Jan. “Some generalizations of reduced rings” (PDF) (영어).