수직 벡터 다발

미분기하학에서 수직 벡터 다발(垂直vector-, 영어: vertical vector bundle)은 올다발접다발 속의 특별한 부분 벡터 다발이다. 대략, 밑공간의 접다발을 "수평" 방향으로 간주하였을 때, 수직 벡터 다발은 순수하게 올 방향의, 즉 "수직" 방향의 벡터들로 구성된다.

반면, 올다발의 접다발 속의 "수평 벡터 다발"은 일반적으로 추가 구조 없이 정의되지 않는다. 이를 정의하기 위한 추가 구조는 에레스만 접속이라고 한다.

정의 편집

매끄러운 다양체   위의 매끄러운 올다발

 

이 주어졌다고 하고,   의 각 올이 매끄러운 다양체를 이룬다고 하자. 사영 사상의 미분

 

을 정의할 수 있다. 그렇다면,   위에 다음과 같은 수직 벡터 다발  를 정의할 수 있다.

 

즉,

 
 

즉, 벡터 다발   에서의 올은  의 올의 접공간이다.

  위의 벡터장  에 대하여, 만약  라면 (즉, 만약 모든  에 대하여  라면)  수직 벡터장(垂直vector場, 영어: vertical vector field)이라고 한다. 마찬가지로,   위의  미분 형식  에 대하여, 만약

 

라면,  수평 미분 형식(水平微分形式, 영어: horizontal differential form)이라고 한다.

성질 편집

수직 벡터 다발의 정의에 따라, 짧은 완전열

 

이 존재한다. 이를 아티야 완전열(Atiyah完全列, 영어: Atiyah exact sequence)이라고 한다. (여기서  이다.) 이는 (벡터 다발의 범주이므로) 물론 분할 완전열이지만, 이러한 분할은 (추가 데이터 없이) 표준적으로 주어지지 않는다.   위의 에레스만 접속은 위 분할을 표준적으로 제시하는 데이터이다.

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자명한 올다발 편집

매끄러운 다양체   가 주어졌고,    위의 올다발로 여기자.

 

이 경우, 자연스럽게

 

이며, 수직 벡터 다발  는 다음과 같다.

 

(이 경우, 자연스럽게 "수평 벡터 다발"   역시 존재한다. 그러나 이는 임의의 올다발에 대하여 성립하지 않는다.)

주다발 편집

리 군  에 대하여,   -주다발이라고 하자. 이 경우, 수직 벡터 다발  리 대수  에 대한 자명한 벡터 다발과 동형이다.

 

구체적으로, 우선, 임의의  에 대하여,  의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을

 
 

로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로,   의 수직 벡터 다발  과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상

 

를 정의한다. (좌변은 올이  인 자명한 벡터 다발이다.)

벡터 다발 편집

매끄러운 다양체   위의 매끄러운 벡터 다발  이 주어졌다고 하자. 이 경우,  의 수직 벡터 다발은 스스로의 당김  와 표준적으로 동형이다.[1]:55, §6.11

 

각주 편집

  1. Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (PDF) (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. ISBN 978-3-540-56235-1. Zbl 0782.53013. 2017년 3월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 20일에 확인함. 

외부 링크 편집