군의 작용

(정추이적 작용에서 넘어옴)

군론에서 군의 작용(群의作用, 영어: group action)은 어떤 으로부터, 어떤 집합의 대칭군으로 가는 군 준동형이다. 대략, 어떤 공간 위에 대칭군의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.

정의

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모노이드  의, 집합   위의 왼쪽 작용(영어: left action of   on  )은 여러 가지로 정의할 수 있다. 가장 기초적으로 모노이드 작용은 특정한 함수  로 정의할 수 있으며, 또 특정한 모노이드 준동형으로, 또는 함자로도 생각할 수 있다. 모노이드  의 작용을 갖춘 집합을  -집합(영어:  -set)이라고 한다. 두  -집합 사이의 함수 가운데, 작용과 호환되는 것을 등변 함수(等變函數, 영어: equivariant function)라고 한다.  -집합을 대상으로 하고, 등변 함수를 사상으로 하는 범주가 존재하며, 이를   또는  으로 쓴다.

모든 모노이드를 이루며, 군의 작용(영어: group action)은 모노이드로서의 작용과 같다. (마찬가지로, 반군의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군과 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드  의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 항등 함수가 아니게 작용할 수 있다.)

함수를 통한 정의

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모노이드  의, 집합   위의 왼쪽 작용(영어: left action of   on  )은 다음 조건들을 만족시키는 함수  이다.

  • (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의  에 대하여,  . 여기서   의 항등원이다.
  • (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의   에 대하여,  

모노이드  의, 집합   위의 오른쪽 작용(영어: right action of   on  )은 다음 조건들을 만족시키는 함수  이다.

  • (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의  에 대하여,  . 여기서   의 항등원이다.
  • (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의   에 대하여,  

모노이드  의 작용을 갖춘 두 집합  ,  이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수  는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

 

여기서 좌변은   위의 작용이고, 우변은   위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

 

준동형을 통한 정의

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추상적으로, 모노이드  의, 집합   위의 왼쪽 작용 에서   위의 자기 함수들의 모노이드  로 가는 모노이드 준동형

 

이며,    위의 오른쪽 작용반대 모노이드  에서  로 가는 모노이드 준동형

 

이다. 만약  일 경우, 왼쪽 작용은  대칭군 (=자기 동형군)  으로 가는 군 준동형

 

을 이루며, 오른쪽 작용은 반대군에서의 군 준동형

 

을 이룬다.

모노이드  의 작용을 갖춘 두 집합

 
 

이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수  는 다음 그림을 가환하게 만드는 함수  이다.

 

범주론적 정의

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범주론적으로,  작용 을 하나의 대상을 갖는 작은 범주로 간주하였을 때, 함자

 

와 동치이다. 이 경우,  이 작용하는 집합은 범주  의 유일한 대상   에 대한  이며,  의 작용은  에 대한  이다.

 -집합

 
 

사이의 등변 함수  는 두 함자 사이의 자연 변환동치이다. 구체적으로, 자연 변환  에 대응하는 등변 함수는  의 성분

 

이다.

따라서,  -집합의 범주  은 사실 (작은 범주로 간주한)  에서  로 가는 함자 범주와 동치이다.

궤도와 안정자군

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 가 집합  에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자.  궤도(軌道, 영어: orbit)  는 다음과 같다.

 

궤도는   위의 동치 관계

 

동치류와 같으며,  는 궤도들로 분할된다.

임의의  안정자군(安定子群, 영어: stabilizer subgroup)  는 다음과 같다.

 

즉, 안정자군   의 원소 중  고정점으로 가지는 모든 원소들의 집합이다.

작용 준군

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모노이드  집합   위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 작은 범주  를 정의할 수 있다.

  •  의 대상은  의 원소이다.
  •  에 대하여,  이다.
  •   위의 항등 사상은  이다.

이를 작용 범주(作用範疇, 영어: action category, translation category)라고 한다.[1]:315, 3.3.1 만약  이라면,   위의 작용 범주는 준군을 이룬다. 이를 작용 준군(作用準群, 영어: action groupoid, translation groupoid)이라고 한다.

작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다.

성질

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군의 왼쪽 작용  이 주어졌을 때,

  •  에 대하여  전단사 함수이다.
  • (역원은 역함수)  에 대하여  이다. 여기서  는 전단사 함수의 역함수이다.

왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계

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임의의 모노이드  에 대하여, 왼쪽  -작용은 오른쪽  -작용과 같다. 여기서   반대 모노이드이다. 특히, 가환 모노이드는 스스로의 반대 모노이드와 표준적으로 동형이므로, 가환 모노이드의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다.

모든 군  는 그 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형

 

이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽  -작용을 왼쪽  -작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽  -작용  에 대하여,

 
 

로 정의한다면,  은 왼쪽  -작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽  -작용  가 주어졌을 때

 
 

는 오른쪽  -작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 동치이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)

궤도-안정자군 정리

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안정자군  는 G의 부분군이므로 그 왼쪽 잉여류를 생각할 수 있다. 궤도-안정자군 정리(軌道-安定子群定理, 영어: orbit–stabilizer theorem)에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다.

  •  의 원소  를 왼쪽 잉여류  로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의  에 대하여,  라면  이다.
  • 이 함수는 전단사 함수이다. 즉, 임의의  에 대하여,  라면  이다.

특히, 만약  유한군이면, 라그랑주 정리에 의해 다음이 성립한다.

 

보편대수학적 성질

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모노이드  에 대하여,  -집합은  의 각 원소  에 대하여 1항 연산  을 가지며, 대수적 관계

 
 

를 만족시키는 대수 구조이다. 이 관계들은 모두 대수적이므로,  -집합들은 대수 구조 다양체를 이룬다.

집합   위의 자유  -집합은 곱집합  이며, 그 위의 작용은

 

이다.

범주론적 성질

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모노이드  에 대하여,  -집합의 범주  은 (작은 범주에서 집합의 범주로 가는 함자 범주이므로) 그로텐디크 토포스를 이룬다.[2] 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.

 시작 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 공집합이다.  끝 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 한원소 집합이다.   부분 대상 분류자    위의 오른쪽 모노이드 아이디얼들의 집합

 

이다.[2] 이 위의  의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다.

 
 

망각 함자

 

가 존재한다. 이는 왼쪽 수반 함자  오른쪽 수반 함자  를 갖는다.[2]

 

왼쪽 수반 함자  자유 대수 함자이다. 즉, 집합   로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자  는 집합  를 함수들의 집합  으로 대응시킨다.    위의 작용은 다음과 같다.

 

종류

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 가 집합   위에 왼쪽에서 작용한다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 작용의 성질들을 정의할 수 있다.

추이적 작용

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군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n-추이적 작용(n-推移的作用, 영어: n-transitive action)이라 한다.

  • 임의의 서로 다른 원소들   및 임의의 서로 다른 원소들  에 대하여,   ( )인  가 존재한다.

만약 여기서 이러한  가 유일하다면, 이를 n-정추이적 작용(n-正推移的作用, 영어: sharply n-transitive action)이라 한다. 즉, 군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n-정추이적 작용이라고 한다.

  • 임의의 서로 다른 원소들   및 임의의 서로 다른 원소들  에 대하여,   ( )인 유일한  가 존재한다.

1-추이적 작용은 단순히 추이적 작용(推移的作用, 영어: transitive action)이라 한다. 1-정추이적 작용은 단순히 정추이적 작용(正推移的作用, 영어: sharply transitive action) 또는 정칙 작용(正則作用, 영어: regular action)이라고 한다. 이는 자유 추이적 작용과 동치이며, 아벨 군의 작용의 경우 이는 충실한 추이적 작용과 동치이다.

충실한 작용과 자유 작용

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군의 작용에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 충실한 작용(忠實-作用, 영어: faithful action) 또는 효과적 작용(效果的作用, 영어: effective action)이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여, 만약 임의의  에 대하여  라면,  
  • 임의의  에 대하여, 만약 임의의  에 대하여  라면,  
  • 단사 군 준동형이다.

군의 작용에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 자유 작용(自由作用, 영어: free action) 또는 반정칙 작용(半正則作用, 영어: semiregular action)이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여, 만약   가 존재한다면,  
  • 임의의  에 대하여, 만약   가 존재한다면,  

같이 보기

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각주

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  1. Weibel, Charles A. (2013년 5월 18일). 《The K-book: an introduction to algebraic K-theory》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 145. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9132-2. Zbl 1273.19001. 
  2. Ebrahimi, M. Mehdi; Mahmoudi, M. (2001). “The category of M-sets” (PDF). 《Italian Journal of Pure and Applied Mathematics》 (영어) 9: 123-132. ISSN 1126-8042. 

외부 링크

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