순환 범주

(순환 대상에서 넘어옴)

호몰로지 대수학에서 순환 범주(循環範疇, 영어: cycle category)는 단체 범주를 부분 범주로 갖지만 꼭짓점들을 순환시키는 사상이 추가된 작은 범주이다. 순환 범주의 반대 범주정의역으로 갖는 함자를 순환 대상(循環對象, 영어: cyclic object)이라고 한다. 가군 범주 속의 순환 대상에 대하여 순환 호몰로지를 정의할 수 있다.

정의

편집

순환 범주

편집

순환 범주(循環範疇, 영어: cycle category)  는 다음과 같은 작은 범주이다.[1]:202, Definition 6.1.1

  •  의 대상은 자연수 (음이 아닌 정수)  이다.
  •  의 사상들은 다음과 같은 사상들로 생성된다.
      (면 사상)
      (퇴화 사상)
      (순환 사상)
  • 이 사상들은 다음과 같은 관계를 갖는다. (이 가운데,  를 포함하지 않는 것들은 단체 범주  의 정의에 등장하는 것과 같다.)
     
     
     
     
     
     

이제, 임의의 범주   위의 순환 대상은 순환 범주의 반대 범주에서  로 가는 함자

 

이다.

순환 대상의 구체적 정의

편집

구체적으로, 범주   속의 순환 대상은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 단체 대상  . 여기서  는 면(面)이며,  는 퇴화 단체이다.
  • 일련의 동형 사상 ,  

이들은 다음 호환 조건들을 만족시켜야 한다.

  • (순환의 순환성)  . 특히,  이다.
  • (순환과 면의 호환)  
  • (순환과 퇴화 단체의 호환)  

일반적 정의

편집

순환 대상의 개념은 순환군 말고도 정이면체군이나 대칭군 등으로 일반화될 수 있다.

교차단체군(交叉單體群, 영어: crossed simplicial group)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 단체 집합  
  • 임의의  에 대하여,   위의 구조
  • 임의의  에 대하여,   위의,  오른쪽 군 작용  

이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.[1]:205, Proposition 6.1.6

  • 임의의    에 대하여,
     
  • 임의의   에 대하여,
     

교차단체군의 예는 다음이 있다.

  • 모든 단체군은 교차단체군이다. (그러나 단체군이 아닌 교차단체군이 존재한다.)
  • 순환군  
  • 정이면체군  
  • 쌍순환군  
  • 대칭군  

교차단체군  이 주어졌을 때, 임의의   에 대하여 편의상

 

로 표기하자. 이는

 

를 만족시킨다.

교차단체군  가 주어졌을 때, 다음과 같은 작은 범주  를 정의할 수 있다.

  •  의 대상은 자연수이다. 즉, 단체 범주  의 대상과 같다.
  •  의 사상들은 다음과 같은 꼴의 순서쌍이다.
     
  • 사상의 합성은 다음과 같다.[1]:207, Corollary 6.1.7 여기서,  에 대하여   에 대응하는 사상이며,  이다.
     
     

그렇다면, 범주   속의  -대상은 함자

 

이다.

특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.

 
 
 
 
 

그렇다면 이는 교차단체군을 정의하며, 이에 대한  -대상은 순환 대상이라고 한다.

성질

편집

순환 범주  는 스스로의 반대 범주와 동형이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 함자에 의하여 주어진다.[1]:208, Proposition 6.1.11

 
 
 
 

사상

편집

순환 범주  에서, 모든 사상  는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.[1]:203, Theorem 6.1.3(2)

 

보다 일반적으로, 임의의 교차단체군  에 대하여, 범주  에서, 모든 사상은 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.

 

순환 범주  에서, 다음이 성립한다.[1]:202, Definition 6.1.1

  •  

증명:

 

  •  

증명:

 

단체와의 관계

편집

단체 범주  에서 순환 범주로 가는 포함 함자

 

가 존재한다. 이는 충실한 함자이며, 대상 집합에 제한하면 전단사 함수이지만, 충만한 함자가 아니다 (즉,  에는  으로 정의되는 추가 사상들이 존재한다).

이에 따라, 임의의 범주  에 대하여,  -순환 대상의 범주에서  -단체 대상의 범주로 가는 망각 함자

 

가 존재하며, 이는 충실한 함자이지만 일반적으로 충만한 함자가 아닐 수 있다.

모든 성분이 자명군인 교차단체군  을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주  단체 범주  와 같다.

각 성분이 대칭군인 교차단체군

 

을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주  유한 집합함수작은 범주  동치이다.

결합 대수의 순환 가군

편집

가환환   위의 결합 대수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

 
 
 [1]:45, (1.6.1.2)
 
 [1]:45, (1.6.1.2)
 
 [1]:53, §2.1.0

즉, 이는  -가군 범주   속의 순환 가군을 이룬다. 이를  에 대응되는 순환 가군(영어: cyclic module associated to  )이라고 한다.

이 구성은 결합 대수순환 호몰로지호흐실트 호몰로지를 정의할 때 사용된다.

역사

편집

알랭 콘이 1983년에 도입하였다.[2]:§2 이 논문에서 콘은 순환 범주를 “ ”라고 표기하였다.[2]:§2[1]:201, Chapter 6

교차순환군의 개념은 즈비크니에프 피에도로비치(폴란드어: Zbigniew Fiedorowicz)와 장루이 로데가 1991년에 도입하였다.[3]

같이 보기

편집

각주

편집
  1. Loday, Jean-Louis (1998). 《Cyclic homology》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 301 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-11389-9. ISBN 978-3-642-08316-7. ISSN 0072-7830. MR 1217970. Zbl 0885.18007. 
  2. Connes, Alain (1983). “Cohomologie cyclique et foncteurs Extn (PDF). 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. Série Ⅰ. Mathématique》 (프랑스어) 296 (23): 953–958. MR 777584. Zbl 0534.18009. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 20일에 확인함. 
  3. Fiedorowicz, Zbigniew; Loday, Jean-Louis (1991년 7월). “Crossed simplicial groups and their associated homology”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 326 (1): 57–87. doi:10.1090/S0002-9947-1991-0998125-4. ISSN 0002-9947. JSTOR 2001855. 

외부 링크

편집