쉼표 범주
범주론에서, 쉼표 범주(-標範疇, 영어: comma category)는 같은 공역을 갖는 두 함자로부터 정의되고, 함자들의 공역의 사상들을 대상으로 하는 범주이다.
정의편집
범주 , , 및 함자
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 쉼표 범주 는 다음과 같은 범주이다.
- 의 대상은 다음과 같은 튜플 이다.
- , 는 각각 또는 의 대상이다.
- 는 속의 사상이다.
- 의 사상 은 다음과 같은 순서쌍이다.
- 이며 이며, 또한 이다.
- 의 사상의 합성은 이다.
- 의 항등 사상은 이다.
화살표 범주편집
화살표 범주(영어: arrow category)는 이며 인 경우이다. 이 경우는 라고 쓰며, 의 대상은 의 사상이며, 의 사상은 의 가환 사각형들이다.
조각 범주편집
이 자명군에 대응하는, 하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주이며, 가 의 유일한 대상을 로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 쉼표 범주
를 에 대한 조각 범주(영어: slice category)라고 한다. 반대로, 두 함자의 순서를 바꾼 쉼표 범주
를 에 대한 쌍대 조각 범주(영어: coslice category)라고 한다.
예편집
- 이 한원소 집합이라고 하자. 그렇다면 쌍대 조각 범주 는 점을 가진 집합의 범주이다. 마찬가지로, 은 점을 가진 공간의 범주이다. 이들은 대수적 위상수학에서 쓰인다.
- 대수기하학에서 는 체의 아핀 공간 에 대한 스킴들의 조각 범주이다. 보다 일반적으로, 스킴 에 대하여, 는 -스킴들의 범주이다.
- 함자 가 라고 하자. 그렇다면 는 (스스로로 가는 변을 허용하는) 유향 그래프의 범주이다. 이 경우, 대상은 의 꼴인데 는 변의 집합, 는 꼭짓점의 집합, 함수 는 각 변을 양 끝점의 순서쌍으로 대응시키는 함수이다.
- 무향 그래프의 범주를 얻으려면, 를 로 치환하면 된다.
- 시작점과 끝점이 같은 변을 허용하지 않으려면, 를 로 치환하면 된다.
- 이 가환환의 범주라고 하자. 그렇다면 쌍대 조각 범주 은 에 대한 가환 대수의 범주 와 동치이다.
- 가 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자라고 하고, 가 의 유일한 대상을 집합 로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 의 대상은 에서 군 로 가는 함수 이며, 의 사상은 군 준동형과 일대일 대응된다. 이 경우, 의 시작 대상은 로 생성되는 자유군이다.[1]
역사와 어원편집
프랜시스 윌리엄 로비어가 1963년 박사 학위 논문에서 도입하였다.[2] 원래 쉼표 범주의 표기법이 쉼표를 사용하여 였기 때문에 ‘쉼표 범주’라고 불렸다. 오늘날 이 표기법은 더 이상 쓰이지 않지만, ‘쉼표 범주’라는 이름만은 그대로 쓰이고 있다.
참고 문헌편집
- ↑ Cordier, Jean-Marc; Tim Porter (2008). 《Shape theory: categorical methods of approximation》 (영어). Dover. ISBN 978-0-486-46623-1. Zbl 1243.18001. 2014년 10월 26일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 26일에 확인함.
- ↑ Lawvere, W. (2004). “Functorial semantics of algebraic theories and some algebraic problems in the context of functorial semantics of algebraic theories”. 《Reprints in Theory and Applications of Categories》 (영어) 5: 1–121. Zbl 1062.18004.
- Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.
외부 링크편집
- “Comma category”. 《nLab》 (영어).
- “Overcategory”. 《nLab》 (영어).
- “Under category”. 《nLab》 (영어).
- “Arrow category”. 《nLab》 (영어).
- “Twisted arrow category”. 《nLab》 (영어).
- “Comma category”. 《nLab》 (영어).
- “Overcategory”. 《nLab》 (영어).
- “Under category”. 《nLab》 (영어).
- The Catsters (2008년 11월 4일). “Slice and comma categories 1” (비디오) (영어). 유튜브.
- The Catsters (2008년 12월 9일). “Slice and comma categories 2” (비디오) (영어). 유튜브.