미적분학의 기본정리

해석학에서, 미적분학의 기본정리(微積分學의基本定理, fundamental theorem of calculus)는 미분적분을 서로 연관시키는 두 개의 정리이다. 미적분학의 기본정리와 증명을 제임스 그레고리(1638–1675)가 발표하였으며, 아이작 베로우(1630–1677)는 더욱 일반적인 경우를 증명하였다. 이후 아이작 베로우의 제자인 아이작 뉴턴과 독일의 라이프니츠가 미적분학 발전에 기여하였다.

적분과 부정적분의 관계를 나타내는 애니메이션

미적분학의 제1 기본 정리는 미분과 적분이 서로 역연산관계에 있다는 정리이다. 미분은 접선 문제에서, 적분은 면적 문제로부터 출발했지만, 이 정리는 전혀 관련이 없어 보이는 두 문제가 매우 긴밀한 관계를 가지고 있음을 보여준다.

미적분학의 제2 기본 정리정적분부정적분의 차로 간단히 계산할 수 있음을 말한다. 이 정리가 있기에 계산이 힘든 리만 합의 극한을 매번 계산할 필요 없이 간단히 부정적분을 사용해 정적분의 값을 계산할 수 있다.

제1 기본 정리편집

함수  닫힌구간  에서 연속이면, 함수  닫힌구간  에서 연속이며 열린구간  에서 미분이 가능하고, 함수  도함수 이다.

제1 기본 정리의 증명편집

함수  미분의 정의를 바로 적용한다.

 

일 때 다음이 성립한다.

 

적분의 평균값 정리에 의해   사이의 값  에 대하여 다음이 성립한다.

 

 가 작아짐에 따라   에 다가가고, 그러므로   에 다가간다.
함수  는 주어진 구간에서 연속이므로 다음이 성립한다.

 

따라서,

 

이다.

제2 기본 정리편집

함수  닫힌구간  에서 연속이며, 함수   의 임의의 부정적분이면 다음이 성립한다.

 

제2 기본 정리의 증명편집

이 문서의 제1 기본 정리의 증명 참조

함수  를 다음과 같이 정의하자.

 

함수   의 임의의 부정적분이므로 다음이 성립한다.

  (단,  는 상수)

함수    모두  에서 연속이므로 다음이 성립한다.

 

같이 보기편집