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적분과 부정적분의 관계를 나타내는 애니메이션

해석학에서, 미적분학의 기본정리(微積分學의基本定理, fundamental theorem of calculus)는 미분적분을 서로 연관시키는 두 개의 정리이다.

미적분학의 제1 기본 정리는 미분과 적분이 서로 역연산관계에 있다는 정리이다. 미분은 접선 문제에서, 적분은 면적 문제로부터 출발했지만, 이 정리는 전혀 관련이 없어보이는 두 문제가 매우 긴밀한 관계를 가지고 있음을 보여준다.

미적분학의 제2 기본 정리정적분부정적분의 차로 간단히 계산할 수 있음을 말한다. 이 정리가 있기에 계산이 힘든 리만 합의 극한을 매번 계산할 필요 없이 간단히 부정적분을 사용해 정적분의 값을 계산할 수 있다.

목차

제1 기본 정리편집

함수  닫힌구간  에서 연속이면, 함수  닫힌구간  에서 연속이며 열린구간  에서 미분이 가능하고, 함수  도함수 이다.

제1 기본 정리의 증명편집

함수  미분의 정의를 바로 적용한다.

 

일 때 다음이 성립한다.

 

적분의 평균값 정리에 의해   사이의 값  에 대하여 다음이 성립한다.

 

 가 작아짐에 따라   에 다가가고, 그러므로   에 다가간다.
함수  는 주어진 구간에서 연속이므로 다음이 성립한다.

 

따라서,

 

이다.

제2 기본 정리편집

함수  닫힌구간  에서 연속이며, 함수   의 임의의 부정적분이면 다음이 성립한다.

 

제2 기본 정리의 증명편집

이 문서의 제1 기본 정리의 증명 참조

함수  를 다음과 같이 정의하자.

 

함수   의 임의의 부정적분이므로 다음이 성립한다.

  (단,  는 상수)

함수    모두  에서 연속이므로 다음이 성립한다.

 

같이 보기편집