그로텐디크 스펙트럼 열
호몰로지 대수학에서 그로텐디크 스펙트럼 열(Grothendieck spectrum列, 영어: Grothendieck spectral sequence)은 두 왼쪽 완전 함자의 합성 함자의 오른쪽 유도 함자를 각 왼쪽 완전 함자의 오른쪽 유도 함자들로 나타내는 스펙트럼 열이다. 즉, 유도 함자에 대한 일종의 연쇄 법칙이다.
정의 편집
단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 사이의 -풍성한 왼쪽 완전 함자 가 주어졌다고 하자. -비순환 대상(영어: acyclic object)은 다음 조건을 만족시키는 대상 이다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
이들은 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
- 와 는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이다.
- 는 -비순환 대상을 -비순환 대상으로 대응시킨다.
- 는 -비순환 대상들로의 분해를 갖는다.
그렇다면, 에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열 은 다음과 같은 제1 사분면 스펙트럼 열이다.
이 스펙트럼 열은 합성 함자의 의 오른쪽 유도 함자로 수렴한다.
그로텐디크 스펙트럼 열의 쪽들은 표준적이지 않으며, 와 의 단사 분해에 의존한다.
유도 범주와의 관계 편집
유도 범주 대신 유도 범주 위의 전체 유도 범주를 사용하면, 표준적인 자연 변환
이 존재한다.[1]:59, Proposition I.5.4 그로텐디크 스펙트럼 열은 이 유도 범주 사이의 함자의 성분을 표시한다.[1]:60
성질 편집
함자 , 에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 5항 완전열은 다음과 같다.
예 편집
르레 스펙트럼 열 편집
르레 스펙트럼 열(영어: Leray spectral sequence)은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.[2][3]
여기서 는 위상 공간 사이의 연속 함수 에 의하여 유도되는 층의 직상이며, 는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주 로의 직상)이다. 층의 직상 은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상
을 가지므로, 직상 은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.
국소-대역 Ext 스펙트럼 열 편집
환 달린 공간 위의 두 -가군층 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.
이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 다음과 같다.[4]:Théorème II.7.3.3
여기서
는 가군층의 국소 Ext 함자이다. (가군층의 함자는 단사층을 말랑한 층으로 대응시키며 말랑한 층은 항상 비순환층이므로 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 성립한다.) 는 가군의 (대역) Ext 함자이다. 즉, 이는 대역 Ext 함자를 국소 Ext 함자로부터 계산하는 스펙트럼 열이다.
밑 전환 편집
가환환 , 및 환 준동형 및 위의 가군 이 주어졌다고 하자.
그렇다면 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.
이들에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 Tor 함자의 밑 전환(영어: base change)을 계산한다. 즉, 위의 가군 에 대하여 다음과 같은 스펙트럼 열들이 존재한다.
만약 가 -평탄 가군이라면,
이며, 따라서 스펙트럼 열이 다음과 같이 퇴화하게 된다.
군 코호몰로지 편집
군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열(영어: Lyndon–Hochschild–Serre spectral sequence)[5][6] 역시 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.
유한군 와 정규 부분군 및 -가군 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자들이 존재한다.
여기서 은 의 작용에 대한 불변 원소들로 구성된 부분 가군이다. 이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이라고 하며, 다음과 같다.
이에 대응하는 5항 완전열은 팽창-제한 완전열(영어: inflation–restriction exact sequence)이라고 하며, 다음과 같다.
여기서 "팽창"은
이며, "제한"은
이다.
역사 편집
1946년에 장 르레는 스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다.[2][3] 1948년에 로저 코넌트 린던(영어: Roger Conant Lyndon)[5]은 군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 발견하였고, 1953년에 게르하르트 호흐실트와 장피에르 세르[6]는 이를 개량하였다. 이후 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 도호쿠 대학 저널 논문[7]에서 아벨 범주의 이론 및 그로텐디크 스펙트럼 열을 도입하였고, 르레 스펙트럼 열과 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이 사실 임의의 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우라는 것을 보였다.
참고 문헌 편집
- ↑ 가 나 Hartshorne, Robin (1966). 《Residues and duality: lecture notes of a seminar on the work of A. Grothendieck, given at Harvard 1963/64》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 20. Springer. doi:10.1007/BFb0080482. ISBN 978-3-540-03603-6. ISSN 0075-8434.
- ↑ 가 나 Leray, Jean (1946). “L’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1366–1368. Zbl 0060.40801.
- ↑ 가 나 Leray, Jean (1946). “Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1419–1422. Zbl 0060.40802.
- ↑ Godement, Roger (1973). 《Topologie algébrique et théorie des faisceaux》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) 1252 3판. 파리: Hermann. MR 0345092. Zbl 0275.55010.
- ↑ 가 나 Lyndon, Roger C. (1948). “The cohomology theory of group extensions”. 《Duke Mathematical Journal》 (영어) 15 (1): 271–292. doi:10.1215/S0012-7094-48-01528-2. ISSN 0012-7094.
- ↑ 가 나 Hochschild, Gerhard; Serre, Jean-Pierre (1953). “Cohomology of group extensions”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 74 (1): 110–134. doi:10.1090/S0002-9947-1953-0052438-8. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990851. MR 0052438.
- ↑ Grothendieck, Alexandre (1957). “Sur quelques points d’algèbre homologique”. 《東北数学雑誌》 (프랑스어) 9: 119–221. doi:10.2748/tmj/1178244839. ISSN 0040-8735. MR 0102537. Zbl 0118.26104.
외부 링크 편집
- “Grothendieck spectral sequence”. 《nLab》 (영어).
- “Base change spectral sequence”. 《nLab》 (영어).
- “Hochschild-Serre spectral sequence”. 《nLab》 (영어).
- “The Grothendieck spectral sequence”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2010년 3월 11일. 2014년 7월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 21일에 확인함.
- “Derived functors versus spectral sequences” (영어). Math Overflow.