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그로텐디크 스펙트럼 열

정의편집

단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주   사이의  -풍성한 왼쪽 완전 함자  가 주어졌다고 하자.  -비순환 대상(영어: acyclic object)은 다음 조건을 만족시키는 대상  이다.

 

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 아벨 범주  
  • 왼쪽 완전 함자  ,  
  •  의 대상  

이들은 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

  •   단사 대상을 충분히 가지는 범주이다.
  •   -비순환 대상을  -비순환 대상으로 대응시킨다.
  •   -비순환 대상들로의 분해를 갖는다.

그렇다면,  에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열  은 다음과 같은 제1 사분면 스펙트럼 열이다.

 

이 스펙트럼 열은 합성 함자의  오른쪽 유도 함자로 수렴한다.

 

그로텐디크 스펙트럼 열의 쪽들은 표준적이지 않으며,   의 단사 분해에 의존한다.

유도 범주와의 관계편집

유도 범주 대신 유도 범주 위의 전체 유도 범주를 사용하면, 표준적인 자연 변환

 

이 존재한다.[1]:59, Proposition I.5.4 그로텐디크 스펙트럼 열은 이 유도 범주 사이의 함자의 성분을 표시한다.[1]:60

성질편집

함자  ,  에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 5항 완전열은 다음과 같다.

 

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르레 스펙트럼 열편집

르레 스펙트럼 열(영어: Leray spectral sequence)은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.[2][3]

 

여기서  는 위상 공간 사이의 연속 함수  에 의하여 유도되는 의 직상이며,  는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주  로의 직상)이다. 층의 직상  완전 함자왼쪽 수반 함자인 층 역상

 
 

을 가지므로, 직상  단사층단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

국소-대역 Ext 스펙트럼 열편집

환 달린 공간   위의 두  -가군층  ,  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.

 

이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 다음과 같다.[4]:Théorème II.7.3.3

 

여기서

 

가군층의 국소 Ext 함자이다. (가군층  함자는 단사층말랑한 층으로 대응시키며 말랑한 층은 항상 비순환층이므로 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 성립한다.)  가군의 (대역) Ext 함자이다. 즉, 이는 대역 Ext 함자를 국소 Ext 함자로부터 계산하는 스펙트럼 열이다.

밑 전환편집

가환환  ,  환 준동형    위의 가군  이 주어졌다고 하자.

그렇다면 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.

 

이들에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 Tor 함자의 밑 전환(영어: base change)을 계산한다. 즉,   위의 가군  에 대하여 다음과 같은 스펙트럼 열들이 존재한다.

 

만약   -평탄 가군이라면,

 

이며, 따라서 스펙트럼 열이 다음과 같이 퇴화하게 된다.

 

군 코호몰로지편집

군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열(영어: Lyndon–Hochschild–Serre spectral sequence)[5][6] 역시 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

유한군  정규 부분군   -가군  이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자들이 존재한다.

 

여기서   작용에 대한 불변 원소들로 구성된 부분 가군이다. 이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이라고 하며, 다음과 같다.

 

이에 대응하는 5항 완전열팽창-제한 완전열(영어: inflation–restriction exact sequence)이라고 하며, 다음과 같다.

 

여기서 "팽창"은

 

이며, "제한"은

 

이다.

역사편집

1946년에 장 르레스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다.[2][3] 1948년에 로저 코넌트 린던(영어: Roger Conant Lyndon)[5]군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 발견하였고, 1953년에 게르하르트 호흐실트장피에르 세르[6]는 이를 개량하였다. 이후 1957년에 알렉산더 그로텐디크도호쿠 대학 저널 논문[7]에서 아벨 범주의 이론 및 그로텐디크 스펙트럼 열을 도입하였고, 르레 스펙트럼 열과 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이 사실 임의의 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우라는 것을 보였다.

참고 문헌편집

  1. Hartshorne, Robin (1966). 《Residues and duality: lecture notes of a seminar on the work of A. Grothendieck, given at Harvard 1963/64》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 20. Springer. ISBN 978-3-540-03603-6. ISSN 0075-8434. doi:10.1007/BFb0080482. 
  2. Leray, Jean (1946). “L’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1366–1368. Zbl 0060.40801. 
  3. Leray, Jean (1946). “Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1419–1422. Zbl 0060.40802. 
  4. Godement, Roger (1973). 《Topologie algébrique et théorie des faisceaux》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) 1252 3판. 파리: Hermann. MR 0345092. Zbl 0275.55010. 
  5. Lyndon, Roger C. (1948). “The cohomology theory of group extensions”. 《Duke Mathematical Journal》 (영어) 15 (1): 271–292. ISSN 0012-7094. doi:10.1215/S0012-7094-48-01528-2. 
  6. Hochschild, Gerhard; Serre, Jean-Pierre (1953). “Cohomology of group extensions”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 74 (1): 110–134. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990851. MR 0052438. doi:10.1090/S0002-9947-1953-0052438-8. 
  7. Grothendieck, Alexandre (1957). “Sur quelques points d’algèbre homologique”. 《東北数学雑誌》 (프랑스어) 9: 119–221. ISSN 0040-8735. MR 0102537. Zbl 0118.26104. doi:10.2748/tmj/1178244839. 

외부 링크편집