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스하우턴-네이엔하위스 괄호

미분기하학에서, 스하우턴-네이엔하위스 괄호(영어: Schouten–Nijenhuis bracket)는 완전 반대칭 텐서장에 대하여 정의되는 이항 쌍선형 연산이다.[1] 이를 통해, 완전 반대칭 텐서장들은 거스틴해버 대수를 이룬다.

정의편집

매끄러운 다양체   위의 완전 반대칭  차 텐서장의 공간

 

을 생각하자. 이 위에는 올별 쐐기곱

 

이 존재하며, 이에 따라서  는 등급 가환 대수를 이룬다.

이 위의 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 다음과 같은 연산이다.

 

이는 공리적으로 다음과 같이 정의된다.

 
 
 
 

이에 따라,

 

쐐기곱과 스하우턴-네이엔하위스 괄호를 통해 거스틴해버 대수를 이룬다.

성질편집

거스틴해버 대수의 성질에 따라, 초벡터 공간

 
 
 

위에서 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 리 초대수를 정의한다. (※원소의 홀짝성이 등급과 반대이다.) 즉, 다음과 같은 초 야코비 항등식이 성립한다.

 

푸아송 다양체편집

푸아송 다양체  의 경우, 정의에 따라  이다. 이에 따라서  는 멱영 연산을 이루며, 이 공사슬 복합체의 코호몰로지를 푸아송 코호몰로지라고 한다.

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구체적으로, 낮은 차수의 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 다음과 같다.

차수   대칭성 스하우턴-네이엔하위스 괄호   비고
(0,0) 대칭   상수 함수
(0,1) 반대칭   스칼라장의 벡터장 방향 미분
(1,1) 반대칭   벡터장의 리 미분
(0,2) 대칭   스칼라장의 기울기와의 내부곱
(1,2) 반대칭   텐서장의 리 미분
(2,2) 대칭  

역사편집

얀 아르놀뒤스 스하우턴(네덜란드어: Jan Arnoldus Schouten)[2][3]과 알버르트 네이엔하위스(네덜란드어: Albert Nijenhuis)[4]가 도입하였다.

참고 문헌편집

  1. Grabowski, Janusz. “Brackets” (영어). arXiv:1301.0227. 
  2. Schouten, Jan Arnoldus (1940). “Ueber Differentialkomitanten zweier kontravarianter Grössen” (PDF). 《Indagationes Mathematicae》 (독일어) 2: 449–452. 
  3. Schouten, Jan Arnoldus (1953). 〈On the differential operators of the first order in tensor calculus〉. 《Convegno internazionale di geometria differenziale, Italia, 20–26 settembre 1953》 (영어). Edizioni Cremonese. 1–7쪽. 
  4. Nijenhuis, Albert (1955). “Jacobi-type identities for bilinear differential concomitants of certain tensor fields Ⅰ”. 《Indagationes Mathematicae》 (영어) 17: 390–403. doi:10.1016/S1385-7258(55)50054-0. 

외부 링크편집