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추상대수학대수적 위상수학양자장론에서, 거스틴해버 대수(영어: Gerstenhaber algebra)는 결합 법칙을 만족시키는 대수와 리 대수의 구조를 합친 대수 구조의 하나이다.

목차

정의편집

거스틴해버 대수    등급을 갖는 대수이다.

 

이 위에 정의된 연산들은 다음과 같다.

  •  은 초교환 법칙 · 결합 법칙을 만족시키는, 등급 0의 이항 연산이다.
  • 리 괄호  은 등급 −1의 이항 연산이며, 이는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.
    • (초교환 법칙)  
    • (야코비 항등식)  
  • 곱과 리 괄호는 다음과 같은 푸아송 항등식을 만족시킨다.
    •  

호모토피 거스틴해버 대수편집

호모토피 거스틴해버 대수(영어: homotopy Gerstenhaber algebra, G-algebra, braid algebra, 2-algebra)는 역시   등급을 갖는 대수이다.[1][2]:57 이 위에는 모든

 

에 대하여,  항 연산  이 존재하며, 이는 등급  을 갖는다.

처음 몇 연산들은 다음과 같다.

  • 1항 연산은 하나밖에 없으며, 보통  로 쓴다. 이는 등급 1의 연산자이며, 공사슬 복합체의 공경계이다.
  • 2항 연산은 두 개가 있다. 보통  ,  로 쓴다.
  • 3항 연산은 4개가 있으며,  ,  ,  ,  이다.

이들 사이의 처음 몇 개의 항등식들은 다음과 같다.

  • (멱영성)  
  • (곱의 법칙)  
  • (호모토피 결합 법칙)  
  • (호모토피 교환 법칙)  
  •  

성질편집

호모토피 거스틴해버 대수는 A-대수(결합 대수의 호모토피화)와 호모토피 리 대수의 공통적인 일반화이다.

  • 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들   가운데,  인 연산들은 A-대수의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 A-대수이다.
  • 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들   가운데,  인 연산들의 완전 등급 반대칭화는 L-대수의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 L-대수이다.

거스틴해버 대수는 호모토피 거스틴해버 대수의 특수한 경우이다. 호모토피 거스틴해버 대수  에서, 2항 연산이 아닌 모든 연산이 0이며, 또한

 
 

이라면,  은 거스틴해버 대수를 이룬다. 또한, 일반적인 호모토피 거스틴해버 대수의 코호몰로지는 거스틴해버 대수를 이룬다.

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결합 법칙을 따르는 대수  호흐실트 코호몰로지  는 거스틴해버 대수를 이루며, 호흐실트 공사슬들의 대수는 호모토피 거스틴해버 대수를 이룬다.[1] 또한, 위상 꼭짓점 연산자 대수 역시 자연스럽게 호모토피 거스틴해버 대수를 이루며,[1] 여기에 BRST 양자화로 물리적인 상태들로 구성된 코호몰로지를 취하면 이 위에는 거스틴해버 대수의 구조가 존재한다.[3]

바탈린-빌코비스키 대수는 추가 구조 (  연산자)를 갖춘 거스틴해버 대수이다.

리 대수  외대수  는 자연스럽게 거스틴해버 대수의 구조를 갖는다.

역사편집

머리 거스틴해버(영어: Murray Gerstenhaber)가 도입하였다.[4]

참고 문헌편집

  1. Kimura, Takashi; Alexander A. Voronov, Gregg J. Zuckerman. “Homotopy Gerstenhaber algebras and topological field theories” (영어). arXiv:q-alg/9602009. 
  2. Getzler, Ezra; J. D. S. Jones. “Operads, homotopy algebra and iterated integrals for double loop spaces” (영어). arXiv:hep-th/9403055. 
  3. Lian, Bong H.; Gregg J. Zuckerman (1993년 6월). “New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 154 (3): 613–646. ISSN 0010-3616. MR 1224094. Zbl 0780.17029. doi:10.1007/BF02102111. 
  4. Gerstenhaber, Murray (1963). “The cohomology structure of an associative ring”. 《Ann. of Math.78 (2): 267–288. JSTOR 1970343. doi:10.2307/1970343. 

외부 링크편집

같이 보기편집