호몰로지 대수학 에서 에일렌베르크-질버 사상 (Eilenberg-Zilber寫像, 영어 : Eilenberg–Zilber map )과 알렉산더-휘트니 사상 (Alexander-Whitney寫像, 영어 : Alexander–Whitney map )은 아벨 범주 위의 단체 대상 의 텐서곱과 사슬 복합체 의 텐서곱을 비교하는, 서로 반대 방향의 두 사슬 복합체 사상이다.[1] 이들의 합성은 사슬 복합체의 호모토피 를 이루어, 호몰로지 군 의 동형을 유도한다. 즉, 단체 대상의 텐서곱과 사슬 복합체의 텐서곱은 같은 호몰로지 군을 정의한다.
다음이 주어졌다고 하자.
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
위의 두 단체 대상
A
∙
,
B
∙
:
△
op
→
A
{\displaystyle A_{\bullet },B_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
는
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
위의, 자연수 등급의 사슬 복합체 의 범주 이다.
단체 대상
A
∙
∈
s
(
A
)
{\displaystyle A_{\bullet }\in \operatorname {s} ({\mathcal {A}})}
에 대하여, 무어 사슬 복합체
C
∙
(
A
)
∈
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {C} _{\bullet }(A)\in \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
및 정규화 사슬 복합체
N
∙
(
A
)
∈
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(A)\in \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
를 정의할 수 있다. 후자는 전자의 몫 사슬 복합체이다.
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
위의 두 단체 대상
A
∙
{\displaystyle A_{\bullet }}
,
B
∙
{\displaystyle B_{\bullet }}
에 대한 에일렌베르크-질버 사상 은 다음과 같은 사슬 복합체 사상이다.
C
(
A
∙
)
⊗
C
(
B
∙
)
→
C
(
A
⊗
B
)
{\displaystyle \operatorname {C} (A_{\bullet })\otimes \operatorname {C} (B_{\bullet })\to \operatorname {C} (A\otimes B)}
a
⊗
b
↦
∑
(
μ
,
ν
)
∈
Shuffle
(
m
,
n
)
(
−
)
(
μ
,
ν
)
s
m
,
ν
(
a
)
⊗
s
n
,
μ
(
b
)
a
∈
A
m
,
b
∈
B
n
{\displaystyle a\otimes b\mapsto \sum _{(\mu ,\nu )\in \operatorname {Shuffle} (m,n)}(-)^{(\mu ,\nu )}s_{m,\nu }(a)\otimes s_{n,\mu }(b)\qquad a\in A_{m},\;b\in B_{n}}
여기서
Shuffle
(
m
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {Shuffle} (m,n)}
은 모든
(
m
,
n
)
{\displaystyle (m,n)}
-셔플 순열
{
0
,
1
,
…
,
m
+
n
−
1
}
→
{
0
,
1
,
…
,
m
+
n
−
1
}
{\displaystyle \{0,1,\dotsc ,m+n-1\}\to \{0,1,\dotsc ,m+n-1\}}
들의 집합이다. 셔플 순열
(
μ
,
ν
)
{\displaystyle (\mu ,\nu )}
의 성분은
(
μ
m
−
1
,
…
,
μ
1
,
μ
0
)
{\displaystyle (\mu _{m-1},\dotsc ,\mu _{1},\mu _{0})}
및
(
ν
n
−
1
,
…
,
ν
1
,
ν
0
)
{\displaystyle (\nu _{n-1},\dotsc ,\nu _{1},\nu _{0})}
이다.
s
n
,
μ
=
s
n
+
m
−
1
μ
m
−
1
∘
⋯
∘
s
n
+
1
,
μ
1
∘
s
n
,
μ
0
:
B
n
→
B
m
+
n
{\displaystyle s_{n,\mu }=s_{n+m-1\mu _{m-1}}\circ \dotsb \circ s_{n+1,\mu _{1}}\circ s_{n,\mu _{0}}\colon B_{n}\to B_{m+n}}
이며
s
m
,
ν
:
A
m
→
A
m
+
n
{\displaystyle s_{m,\nu }\colon A_{m}\to A_{m+n}}
역시 마찬가지로 정의된다.
(
−
)
(
μ
,
ν
)
{\displaystyle (-)^{(\mu ,\nu })}
는 순열 의 부호
Sym
(
n
)
↠
{
±
1
}
{\displaystyle \operatorname {Sym} (n)\twoheadrightarrow \{\pm 1\}}
를 셔플 순열
Shuffle
(
m
,
n
)
≤
Sym
(
m
+
n
)
{\displaystyle \operatorname {Shuffle} (m,n)\leq \operatorname {Sym} (m+n)}
에 적용한 것이다.
이 사상은 무어 사슬 복합체 에 대하여 정의되지만, 그 몫인 정규화 사슬 복합체 위에서도 잘 정의된다. 즉, 다음과 같은 에일렌베르크-질버 사상이 존재한다.
N
∙
(
A
)
⊗
N
∙
(
B
)
→
N
∙
(
A
⊗
B
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(A)\otimes \operatorname {N} _{\bullet }(B)\to \operatorname {N} _{\bullet }(A\otimes B)}
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
위의 두 단체 대상
A
∙
{\displaystyle A_{\bullet }}
,
B
∙
{\displaystyle B_{\bullet }}
에 대한 알렉산더-휘트니 사상 은 다음과 같은 사슬 복합체 사상이다.
C
(
A
∙
)
⊗
C
(
B
∙
)
→
C
(
A
⊗
B
)
{\displaystyle \operatorname {C} (A_{\bullet })\otimes \operatorname {C} (B_{\bullet })\to \operatorname {C} (A\otimes B)}
a
⊗
b
↦
⨁
p
+
q
=
n
(
∂
←
a
)
⊗
(
∂
→
b
)
n
∈
N
,
a
∈
A
n
,
b
∈
B
n
{\displaystyle a\otimes b\mapsto \bigoplus _{p+q=n}(\partial _{\leftarrow }a)\otimes (\partial _{\rightarrow }b)\qquad n\in \mathbb {N} ,\;a\in A_{n},\;b\in B_{n}}
여기서
∂
←
:
A
p
+
q
→
A
p
{\displaystyle \partial _{\leftarrow }\colon A_{p+q}\to A_{p}}
는 앞면 사상 (영어 : 앞面寫像 , 영어 : front-face map )이라고 하며, 단체 범주 의 다음과 같은 사상
∈
hom
△
(
p
,
p
+
q
)
{\displaystyle \in \hom _{\triangle }(p,p+q)}
에서 유도된 것이다.
{
0
,
1
,
…
,
p
}
↪
{
0
,
1
,
…
,
p
+
q
}
{\displaystyle \{0,1,\dotsc ,p\}\hookrightarrow \{0,1,\dotsc ,p+q\}}
i
↦
i
{\displaystyle i\mapsto i}
∂
←
:
B
p
+
q
→
B
q
{\displaystyle \partial _{\leftarrow }\colon B_{p+q}\to B_{q}}
는 뒷면 사상 (영어 : 뒷面寫像 , 영어 : back-face map )이라고 하며, 단체 범주 의 다음과 같은 사상
∈
hom
△
(
q
,
p
+
q
)
{\displaystyle \in \hom _{\triangle }(q,p+q)}
에서 유도된 것이다.
{
0
,
1
,
…
,
q
}
↪
{
0
,
1
,
…
,
p
+
q
}
{\displaystyle \{0,1,\dotsc ,q\}\hookrightarrow \{0,1,\dotsc ,p+q\}}
i
↦
i
+
p
{\displaystyle i\mapsto i+p}
에일렌베르크-질버 사상은 알렉산더-휘트니 사상의 오른쪽 역사상 이지만, 일반적으로 왼쪽 역사상 이 아니다. 즉, 다음과 같은 합성은 항등 사상 이다.
N
(
A
)
⊗
N
(
B
)
→
N
(
A
⊗
B
)
→
N
(
A
)
⊗
N
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)\to \operatorname {N} (A\otimes B)\to \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)}
그 반대 합성은 항등 사상 이 아닐 수 있지만, 항상 사슬 호모토피 이다. 즉, 모형 범주
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
의 약한 동치이며, 특히 같은 호몰로지 를 정의한다.
N
(
A
⊗
B
)
→
N
(
A
)
⊗
N
(
B
)
→
N
(
A
)
⊗
N
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {N} (A\otimes B)\to \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)\to \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)}
이 사실을 에일렌베르크-질버 정리 (영어 : Eilenberg–Zilber theorem )라고 한다.
에일렌베르크-질버 사상은 (텐서곱의 순서를 뒤바꾸었을 때) 대칭 사상이지만, 알렉산더-휘트니 사상은 그렇지 않다.
가환환
K
{\displaystyle K}
가 주어졌을 때, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다.
K
{\displaystyle K}
-결합 대수 들의 범주
Alg
/
K
{\displaystyle \operatorname {Alg} /K}
(즉, 가환환 의 범주의 조각 범주 )의 단체 대상의 범주
s
(
Alg
K
)
{\displaystyle \operatorname {s} (\operatorname {Alg} _{K})}
. 이는
(
s
(
Mod
K
)
,
⊗
K
)
{\displaystyle (\operatorname {s} (\operatorname {Mod} _{K}),\otimes _{K})}
속의 모노이드 대상 들의 범주이다.
K
{\displaystyle K}
-미분 등급 대수 의 범주
dgAlg
K
{\displaystyle \operatorname {dgAlg} _{K}}
. 이는
K
{\displaystyle K}
-사슬 복합체 의 모노이드 범주
(
Ch
K
+
,
⊗
K
)
{\displaystyle (\operatorname {Ch} _{K}^{+},\otimes _{K})}
속의 모노이드 대상 이다.
그렇다면, 돌트-칸 대응 으로부터, 이 두 범주 사이에 서로 다른 두 쌍의 수반 함자 들이 존재한다. 이들은 각각 퀼런 동치 를 정의하며, 이를 모노이드 돌트-칸 대응 (영어 : monoidal Dold–Kan correspondence )이라고 한다. (그러나 일반 돌트-칸 대응 과 달리, 이는 범주의 동치 가 아니다.)
구체적으로, 돌트-칸 대응 의 함자
Γ
:
Ch
K
+
⇆
s
(
Mod
K
)
:
N
{\displaystyle \Gamma \colon \operatorname {Ch} _{K}^{+}\leftrightarrows \operatorname {s} (\operatorname {Mod} _{K})\colon \operatorname {N} }
에서, 둘 중 하나를 취하면, 다음과 같은 두 수반 함자 를 얻는다.
Γ
:
dgAlg
K
⇆
s
(
Alg
K
)
:
N
′
{\displaystyle \Gamma \colon \operatorname {dgAlg} _{K}\leftrightarrows \operatorname {s} (\operatorname {Alg} _{K})\colon \operatorname {N} '}
N
′
⊣
Γ
{\displaystyle \operatorname {N} '\dashv \operatorname {\Gamma } }
Γ
′
:
dgAlg
K
⇆
s
(
Alg
K
)
:
N
{\displaystyle \Gamma '\colon \operatorname {dgAlg} _{K}\leftrightarrows \operatorname {s} (\operatorname {Alg} _{K})\colon \operatorname {N} }
Γ
′
⊣
N
{\displaystyle \operatorname {\Gamma } '\dashv \operatorname {N} }
여기서 등장하는 자연 변환 의 성분은 각각 알렉산더-휘트니 사상
N
(
A
⊗
B
)
→
N
(
A
)
⊗
N
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {N} (A\otimes B)\to \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)}
과 에일렌베르크-질버 사상
N
(
A
)
⊗
N
(
B
)
→
N
(
A
⊗
B
)
{\displaystyle \operatorname {N} (A)\otimes \operatorname {N} (B)\to \operatorname {N} (A\otimes B)}
이다.
다음이 주어졌다고 하자.
표수 0 의 체
K
{\displaystyle K}
그렇다면, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다.
K
{\displaystyle K}
위의 가환 결합 대수 들의 범주
K
∖
C
R
i
n
g
{\displaystyle K\backslash \mathrm {CRing} }
(즉, 가환환 의 범주의 쌍대 조각 범주 )
K
{\displaystyle K}
-가환 미분 등급 대수 의 모형 범주
cdgAlg
K
{\displaystyle \operatorname {cdgAlg} _{K}}
그렇다면, 다음 두 모형 범주 사이에 퀼런 동치 가 존재하며, 이를 가환 모노이드 돌트-칸 대응 (영어 : commutative-monoidal Dold–Kan correspondence )이라고 한다.
N
:
s
(
K
∖
C
R
i
n
g
)
⇆
cdgAlg
K
:
Γ
′
{\displaystyle \operatorname {N} \colon \operatorname {s} (K\backslash \mathrm {CRing} )\leftrightarrows \operatorname {cdgAlg} _{K}\colon \Gamma '}
이는 에일렌베르크-질버 사상에 의하여 정의된다 (알렉산더-휘트니 사상은 비대칭이어서 사용될 수 없다).
(여기서,
K
{\displaystyle K}
를 표수 0 의 체 로 가정하는 것은, 아닐 경우
CDGA
K
{\displaystyle \operatorname {CDGA} _{K}}
에 모형 범주 구조가 자연스럽게 주어지지 못하기 때문이다.)
↑ Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999). 《Simplicial homotopy theory》. Progress in Mathematics (영어) 174 . Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1 .