사영 극한

수학적 대상들을 하향 집합을 따라 이어붙이는 연산
(역극한에서 넘어옴)

수학에서, 사영 극한(射影極限, 영어: projective limit) 또는 역극한(逆極限, 영어: inverse limit)은 하향 원순서 집합을 지표 범주로 하는 범주론적 극한이다. (지표 범주는 흔히 상향 원순서 집합반대 범주로 나타낸다.) 기호는 또는 . 모든 대수 구조 다양체는 사영 극한을 가지며, 위상 공간의 범주와 균등 공간의 범주에서도 사영 극한이 존재한다.

정의

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범주   속의 여과 체계(영어: filtered system)  는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 상향 원순서 집합  
  • 임의의  에 대하여, 대상  
  • 임의의  에 대하여, 사상  

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  • 함자  를 이룬다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
    • 임의의  에 대하여,  
    • 임의의  에 대하여,  

범주   속의 여과 체계  사영 극한  은 이 여과 체계의 극한이다. 구체적으로, 이는 다음 데이터로 구성된다.

  • 대상  
  • 임의의  에 대하여, 사상  

이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.

  • 임의의  에 대하여,  
  • 만약   가 임의의  에 대하여  를 만족한다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 사상  가 존재한다.
    • 임의의  에 대하여,  
 

보통  로 쓴다.

사영 극한을 갖는 범주의 예는 다음과 같다.

대수 구조 다양체

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임의의 대수 구조 다양체  에서, 대수 구조준동형들의 여과 체계  의 사영 극한은 직접곱의 부분 대수

 

및 사영 함수

 

들로 주어진다.

위상 공간

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위상 공간연속 함수범주  에서, 여과 체계  의 사영 극한은 집합대수 구조 다양체에서의 사영 극한 위에 곱위상부분공간 위상을 부여한 것이다.

만약 모든  하우스도르프 공간이라면, 사영 극한은 곱공간닫힌집합이다. 특히, 만약 모든  콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 사영 극한 역시 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 사영 극한이 공집합필요충분조건은 어떤  가 공집합인 것이다.

균등 공간

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마찬가지로, 균등 공간균등 연속 함수들의 범주   속 여과 체계  의 사영 극한은 집합대수 구조 다양체에서의 사영 극한 위에 곱 균등 구조의 부분공간 균등 구조를 부여한 것이다.

만약 모든  하우스도르프 완비 균등 공간이라면, 사영 극한 역시 하우스도르프 완비 균등 공간이다. 그러나 이 경우에 모든  공집합이 아니더라도 사영 극한이 공집합일 수 있다.

참고 문헌

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외부 링크

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