사영 극한

수학에서, 사영 극한(射影極限, 영어: projective limit) 또는 역극한(逆極限, 영어: inverse limit)은 하향 원순서 집합을 지표 범주로 하는 범주론적 극한이다. (지표 범주는 흔히 상향 원순서 집합의 반대 범주로 나타낸다.) 기호는 $\varprojlim$ 또는 $\projlim$. 모든 대수 구조 다양체는 사영 극한을 가지며, 위상 공간의 범주와 균등 공간의 범주에서도 사영 극한이 존재한다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 여과 체계(영어: filtered system) $((X_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\lesssim j})$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 상향 원순서 집합 $(I,\lesssim )$
• 임의의 $i\in I$에 대하여, 대상 $X_{i}\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$
• 임의의 $i\lesssim j$에 대하여, 사상 $f_{ij}\colon X_{j}\to X_{i}$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 함자 $I^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}$를 이룬다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
  • 임의의 $i\in I$에 대하여, $f_{ii}=\operatorname {id} _{X_{i}}$
  • 임의의 $i\lesssim j\lesssim k$에 대하여, $f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}$

범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 여과 체계 $((X_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\lesssim j})$의 사영 극한 $(X,(\pi _{i}\colon X\to X_{i})_{i\in I})$은 이 여과 체계의 극한이다. 구체적으로, 이는 다음 데이터로 구성된다.

• 대상 $X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$
• 임의의 $i\in I$에 대하여, 사상 $\pi _{i}\colon X\to X_{i}$

이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $i\lesssim j$에 대하여, $\pi _{i}=f_{ij}\circ \pi _{j}$
• 만약 $Y\in \operatorname {op} ({\mathcal {C}})$와 $(\psi _{i}\colon Y\to X_{i})_{i\in I}$가 임의의 $i\lesssim j$에 대하여 $\psi _{i}=f_{ij}\circ \psi _{j}$를 만족한다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 사상 $u\colon Y\to X$가 존재한다.
  • 임의의 $i\in I$에 대하여, $\psi _{i}=\pi _{i}\circ u$

보통 $X=\varprojlim X_{i}$로 쓴다.

예

사영 극한을 갖는 범주의 예는 다음과 같다.

대수 구조 다양체

임의의 대수 구조 다양체 ${\mathcal {V}}$에서, 대수 구조와 준동형들의 여과 체계 $((A_{i})_{i\in (I,\lesssim )},(\phi _{ij}\colon A_{j}\to A_{i})_{i\lesssim j})$의 사영 극한은 직접곱의 부분 대수

$\varprojlim A_{i}=\left\{a\in \prod _{i\in I}A_{i}\colon a_{i}=\phi _{ij}(a_{j})\qquad (i\lesssim j)\right\}$

및 사영 함수

$\varprojlim A_{i}\to A_{i}\qquad (i\in I)$

들로 주어진다.

위상 공간

위상 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {Top}$ 속 여과 체계 $((X_{i})_{i\in (I,\lesssim )},(f_{ij})_{i\lesssim j})$의 사영 극한은 집합론적 사영 극한 위에 곱위상의 부분공간 위상을 부여한 것이다.

만약 모든 $X_{i}$가 하우스도르프 공간이라면, 사영 극한은 곱공간의 닫힌집합이다. 특히, 만약 모든 $X_{i}$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 사영 극한 역시 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 사영 극한이 공집합일 필요충분조건은 어떤 $X_{i}$가 공집합인 것이다.

균등 공간

마찬가지로, 균등 공간과 균등 연속 함수들의 범주 $\operatorname {Unif}$에서, 여과 체계 $((X_{i})_{i\in (I,\lesssim )},(f_{ij})_{i\lesssim j})$의 사영 극한은 집합론적 사영 극한 위에 곱 균등 구조의 부분공간 균등 구조를 부여한 것이다.

만약 모든 $X_{i}$가 하우스도르프 완비 균등 공간이라면, 사영 극한 역시 하우스도르프 완비 균등 공간이다. 그러나 이 경우에 모든 $X_{i}$가 공집합이 아니더라도 사영 극한이 공집합일 수 있다.

참고 문헌

• Bergman, George M. (2015). 《An invitation to general algebra and universal constructions》. Universitext (영어) 2판. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-11478-1. ISBN 978-3-319-11477-4. LCCN 2014954583. MR 3309721. Zbl 1317.08001. 
• Bourbaki, Nicolas (1989). 《General topology. Chapters 1–4》. Elements of Mathematics (Berlin) (영어) Reprint ofe 1966판. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X. MR 0979294. Zbl 0683.54003.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Projective limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inverse limit”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inverse system”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Directed limit”. 《nLab》 (영어).