함수해석학 에서 수렴 수열 공간 (收斂數列空間, 영어 : space of convergent sequence )은 어떤 값으로 수렴 하는 수열 들로 구성된 바나흐 공간 이다. 기호는 c.
c
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}
와
c
0
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}
는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-위상 벡터 공간 으로서 서로 동형이지만 (즉, 그 사이에 전단사 연속 선형 변환 이 존재하지만), 바나흐 공간 으로서 서로 동형이지 않다 (즉, 그 사이에 전단사 등거리 선형 변환 이 존재하지 않는다).
구체적으로, 이 전단사 연속
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-선형 변환 은 다음과 같다.
c
(
K
)
→
c
0
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )\to \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}
(
a
0
,
a
1
,
a
2
,
…
)
↦
(
lim
i
a
i
,
a
0
−
lim
i
a
i
,
a
1
−
lim
i
a
i
,
…
)
{\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\mapsto (\lim _{i}a_{i},a_{0}-\lim _{i}a_{i},a_{1}-\lim _{i}a_{i},\ldots )}
분해 가능성
편집
c
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}
와
c
0
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}
는 분해 가능
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간 이다.
c
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}
의 경우,
f
=
{
a
∈
K
N
:
∃
N
∈
N
:
∀
i
≥
N
:
a
i
=
a
}
∩
{
Q
N
K
=
R
(
Q
+
i
Q
)
N
K
=
C
{\displaystyle f=\{a\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\colon \exists N\in \mathbb {N} \colon \forall i\geq N\colon a_{i}=a\}\cap {\begin{cases}\mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }&\mathbb {K} =\mathbb {R} \\(\mathbb {Q} +\mathrm {i} \mathbb {Q} )^{\mathbb {N} }&\mathbb {K} =\mathbb {C} \end{cases}}}
는
c
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}
속의 가산 조밀 집합 을 이룬다.
c
0
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}
는 그 부분 집합이며, 분해 가능 거리 공간 의 부분 집합은 분해 가능 공간 이므로 마찬가지로 분해 가능 공간이다. 구체적으로,
f
∩
c
0
(
K
)
{\displaystyle f\cap \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}
는
c
0
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}
의 가산 조밀 집합 을 이룬다.[1] :69, Example III.1.3
연속 쌍대 공간
편집
c
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}
의 연속 쌍대 공간 과
c
0
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}
의 연속 쌍대 공간 은 둘 다 르베그 공간
ℓ
1
(
K
)
{\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}
과 동형이다.
c
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}
의 경우 이는 다음과 같다.
c
(
K
)
×
ℓ
1
(
K
)
→
K
{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )\times \ell ^{1}(\mathbb {K} )\to \mathbb {K} }
(
x
,
y
)
↦
y
0
(
lim
i
→
∞
x
i
)
+
∑
i
=
1
∞
x
i
y
i
{\displaystyle (x,y)\mapsto y_{0}\left(\lim _{i\to \infty }x_{i}\right)+\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}
c
0
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}
의 경우 이는 다음과 같다.[1] :73, Example III.2.3
c
0
(
K
)
×
ℓ
1
(
K
)
→
K
{\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )\times \ell ^{1}(\mathbb {K} )\to \mathbb {K} }
(
x
,
y
)
↦
∑
i
=
0
∞
x
i
y
i
{\displaystyle (x,y)\mapsto \sum _{i=0}^{\infty }x_{i}y_{i}}
ℓ
1
(
K
)
{\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}
의 쌍대 공간은 르베그 공간
ℓ
∞
(
K
)
{\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )}
이므로,
c
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}
와
c
0
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}
는 반사 바나흐 공간 이 아니다.
포함 관계
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다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[1] :69, Example III.1.3
ℓ
1
(
K
)
⊊
ℓ
2
(
K
)
⊊
ℓ
3
(
K
)
⊊
⋯
⊆
c
0
(
K
)
⊊
c
(
K
)
⊊
ℓ
∞
(
K
)
⊊
ℓ
0
(
K
)
=
K
N
{\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{2}(\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{3}(\mathbb {K} )\subsetneq \cdots \subseteq \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )\subsetneq \operatorname {c} (\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{0}(\mathbb {K} )=\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}
여기서
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
는 르베그 공간 이며,
0
<
p
<
∞
{\displaystyle 0<p<\infty }
이다. 물론,
0
<
p
<
q
<
∞
{\displaystyle 0<p<q<\infty }
라면
ℓ
p
(
K
)
⊋
ℓ
q
(
K
)
{\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {K} )\supsetneq \ell ^{q}(\mathbb {K} )}
가 성립한다.
위 포함 관계들은
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-선형 변환 이지만 일반적으로 등거리 변환 이 아니다. 다만, 다음 포함 관계들은 등거리 변환 이다 (즉, 같은 노름을 갖는다).
c
0
(
K
)
⊊
c
(
K
)
⊊
ℓ
∞
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )\subsetneq \operatorname {c} (\mathbb {K} )\subsetneq \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )}
샤우데르 기저
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다음과 같은 수열들을 생각하자.
(
e
i
)
j
=
δ
i
j
∀
i
,
j
∈
N
{\displaystyle (e_{i})_{j}=\delta _{ij}\qquad \forall i,j\in \mathbb {N} }
e
i
=
(
0
,
0
,
0
,
…
,
0
⏞
i
,
1
,
0
,
0
,
…
)
∀
i
∈
N
{\displaystyle e_{i}=(\overbrace {0,0,0,\ldots ,0} ^{i},1,0,0,\ldots )\qquad \forall i\in \mathbb {N} }
여기서
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
는 크로네커 델타 이다.
그렇다면,
(
e
i
)
i
∈
N
{\displaystyle (e_{i})_{i\in \mathbb {N} }}
은
c
0
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}
의 무조건 샤우데르 기저 를 이룬다.[2] :Chapter 2
참고 문헌
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외부 링크
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