영 타블로
조합론과 표현론에서 영 타블로(영어: Young tableau; 복수: tableaux)는 대칭군과 일반선형군, 특수선형군, 특수 유니터리 군 등의 표현을 나타내는 조합론적인 대상이다.
정의
편집페러스 그림(영어: Ferrers diagram)은 일련의 행들로 이루어진 도형이다. 열들은 왼쪽에 정렬돼 있으며, 아래로 내려갈 수록 그 길이들이 같거나 더 짧다.
영 타블로(영어: Young tableau)는 페러스 그림에, 각각의 칸에 숫자를 기입한 도형이다.
표준 영 타블로(영어: standard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.
- 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.
- 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.
준표준 영 타블로(영어: semistandard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.
- 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 감소하지 않는다.
- 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.
주어진 페러스 그림에서, 번째 칸의 고리 길이(영어: hook length) 는 또는 인 칸 (즉, 주어진 칸의 오른쪽 또는 밑에 있는 칸들. 주어진 칸 자체도 포함한다) 들의 개수다.
표현론에서의 응용
편집대칭군
편집대칭군 의 복소수 기약 표현은 총 개의 칸을 가지는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 표준 영 타블로의 수와 같다.
- 각 칸의 숫자는 가운데 하나이고, 숫자가 중복되지 않는다.
이 경우, 기약 표현의 차원은 다음과 같다.
예를 들어, S4의 기약 표현들은 다음과 같다.
페러스 그림 | 고리 길이 | S4 표현 차원 |
---|---|---|
□□□□ | 4321 | 1 |
□□□ □ |
421 1 |
3 |
□□ □□ |
32 21 |
2 |
□□ □ □ |
41 2 1 |
3 |
□ □ □ □ |
4 3 2 1 |
1 |
선형군과 유니터리 군
편집일반선형군 의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.
- 각 열의 길이는 이하다.
이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 준표준 영 타블로의 수와 같다.
- 각 칸의 숫자는 가운데 하나다.
이 경우, 차원은 다음과 같이 계산할 수 있다.
특수선형군 의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.
- 각 열의 길이는 미만이다.
주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 일반선형군의 경우와 같다.
특수 유니터리 군 의 복소화는 특수선형군 이다. 따라서 특수 유니터리 군의 복소수 기약 표현도 특수선형군과 마찬가지로 분류할 수 있다.
페러스 그림 | 고리 길이 | SU(n) 표현 차원 |
---|---|---|
· | · | 1 |
□ | 1 | |
□□ | 21 | |
□ □ |
2 1 |
|
□□□ | 321 | |
□□ □ |
31 1 |
|
□ □ □ |
3 2 1 |
이들 표현들은 N차원 기본 표현의 적절한 (반)대칭 곱들로 만들 수 있다. 이를 N차원 기본 표현의 지표(index)로 나타내면
- 같은 행에 속한 지수들은 모두 완전 대칭화한다.
- 같은 열에 속한 지수들은 모두 완전 반대칭화한다.
예를 들어,
i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞
의 꼴의 영 타블로는
꼴의 텐서에 대응한다. 이는
의 꼴의 (반)대칭성을 가진다.
직교군
편집SO(n)의 경우, 을 사용해 표현을 분류할 수 있다. 이 경우, SO(n)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.
- 각 열의 길이가
만약 이 짝수이고, 길이가 인 열이 존재한다면, 같은 영 타블로에 두 개의 기약 표현이 대응한다. 이는 각각 자기쌍대(영어: self-dual, SD) 및 반자기쌍대(영어: anti-self-dual, ASD)로 일컬어진다.
주어진 페러스 그림에 대응하는 SO(n) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다.[1] 번째 열의 길이를 , 번째 행의 길이를 라고 하자 ( ). 만약 해당하는 행·열이 없으면 길이는 0으로 정의한다. 다음과 같은 내용 함수(영어: content function)을 정의하자.[1]:10
그렇다면 SO(n) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다.[1]:Cor. 13, Cor. 17, Remark 18
만약 이 짝수이며 길이가 인 행이 있다면, (반)자기쌍대 조건을 가하면 차원은 위 공식의 ½이다.
영 타블로의 각 칸은 차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우
- 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화하며, 같은 행에 속한 임의의 한 쌍의 지표에 대하여 대각합이 0이다.
- 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화한다.
예를 들어,
i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞
의 꼴의 영 타블로는
꼴의 텐서에 대응하며,
꼴의 (반)대칭성을 가진다.
SO(n)의 경우, SU(n)과는 달리 스피너 표현들이 존재한다. 스피너 표현의 경우 모든 가능한 감마 행렬 축약이 0이어야 한다. 스피너 표현은 간혹 텐서 표현의 영 타블로의 한 칸에 점을 찍어 표기된다.[2] 여기서는 스피너 표현을 (s)로 표기하자.
페러스 그림 | 고리 길이 | 내용 | SO(n) 표현 차원 | 페러스 그림 | Spin(n) 표현 차원 ( ) |
---|---|---|---|---|---|
· | · | · | 1 | · (s) | |
□ | 1 | +0 | □ (s) | ||
□□ | 21 | +2 −1 | □□ (s) | ||
□ □ |
21 | +0 −1 |
□ (s) □ |
||
□□□ | 321 | +4 −1 +0 | □□□ (s) | ||
□□ □ |
31 1 |
+2 −2 +0 |
□□ (s) □ |
||
□ □ □ |
3 2 1 |
+0 −1 −2 |
□ (s) □ □ |
예를 들어, SU(2)=Spin(3)의 기약 표현들은 SU(2) 영 타블로 또는 SO(3) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
스핀 | 0 | ½ | 1 | 1½ | 2 | 2½ | 3 | 3½ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
차원 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
SU(2) 영 타블로 | · | □ | □□ | □□□ | □□□□ | □□□□□ | □□□□□□ | □□□□□□□□ |
SO(3) 영 타블로 | · | · (s) | □ | □ (s) | □□ | □□ (s) | □□□ | □□□ (s) |
마찬가지로, Spin(6)=SU(4)의 기약 표현들은 SO(6) 영 타블로 또는 SU(4) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
차원 | 1 | 4 | 4 | 6 | 10 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|
SU(4) 영 타블로 | · | □ | □ □ □ |
□ □ |
□□ | □□ □□ □□ |
SO(6) 영 타블로 | · | · (s) | · (s) | □ | □ (SD) □ □ |
□ (ASD) □ □ |
마찬가지로, Spin(4)=SU(2)×SU(2)의 기약 표현들은 다음과 같다.
스핀 | (0, 0) | (½, 0) | (0, ½) | (½, ½) | (1, 0) | (0, 1) | (1, ½) | (½, 1) | (1½, 0) | (0, 1½) | (1, 1) | (1½, ½) | (½, 1½) | (2, 0) | (0, 2) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
SU(2) 영 타블로 | (·, ·) | (□, ·) | (·, □) | (□, □) | (□□, ·) | (·, □□) | (□□, □) | (□, □□) | (□□□, ·) | (·, □□□) | (□□, □□) | (□□□, □) | (□, □□□) | (□□□□, ·) | (·, □□□□) |
SO(4) 영 타블로 | · | s | s | □ | □ (SD) □ |
□ (ASD) □ |
□ (s) | □ (s) | □ (s) □ |
□ (s) □ |
□□ | □□ (SD) □ |
□□ (ASD) □ |
□□ (SD) □□ |
□□ (ASD) □□ |
심플렉틱 군
편집짝수 에 대하여, USp(n)의 경우에도 영 타블로를 사용하여 표현을 분류할 수 있다.[2] 이 경우
을 사용해, 특수 유니터리 군의 경우와 마찬가지로 표현들을 분류할 수 있다. 이 경우, USp(n)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.
- 각 열의 길이가 이하이다.
이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 USp(n) 표현의 차원은 다음과 같다.[1] 페러스 그림 의 행의 길이가 이며, 열의 길이가 라고 하자. 우선, 다음과 같은 내용 함수(영어: content function)를 정의하자.[1]:6
그렇다면 USp(n) 표현의 차원은 다음과 같다.[1]:Cor. 9
영 타블로의 각 칸은 차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우
- 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화한다.
- 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화하며, 에 의한 축약이 모두 0이다.
예를 들어,
i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞
의 꼴의 영 타블로는
꼴의 텐서에 대응하며,
꼴의 (반)대칭성을 가진다.
페러스 그림 | 고리 길이 | 내용 | USp(n) 표현 차원 |
---|---|---|---|
· | 1 | ||
□ | 1 | 0 | |
□□ | 21 | +0 +1 | |
□ □ |
2 1 |
−2 +1 |
|
□□□ | 321 | +0 +1 +2 | |
□□ □ |
31 1 |
−2 +0 +2 |
|
□ □ □ |
3 2 1 |
−4 +0 +1 |
예를 들어, SO(5)=USp(4)의 표현들은 다음과 같다.
차원 | 1 | 4 | 5 | 10 | 14 | 16 |
---|---|---|---|---|---|---|
SO(5) 영 타블로 | · | · (s) | □ | □ □ |
□□ | □ (s) |
USp(4) 영 타블로 | · | □ | □ □ |
□□ | □□ □□ |
□□ □ |
역사
편집각주
편집- ↑ 가 나 다 라 마 바 Campbell, Peter S.; Anna Stokke. “Hook–content formulae for symplectic and orthogonal tableaux” (영어). arXiv:0710.4155.
- ↑ 가 나 “Group theory for physicists” (PDF). 2011년 1월 12일. 2013년 10월 1일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 11월 22일에 확인함. 이름 목록에서
|이름1=
이(가) 있지만|성1=
이(가) 없음 (도움말) - ↑ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001년 9월). “Alfred Young”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.
- Yong, Alexander (2007년 2월). “What is … a Young tableau?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 54 (2): 240–241.
- Fulton, William (1997). 《Young Tableaux with Applications to Representation Theory and Geometry》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-56724-6. MR 1464693. Zbl 0878.14034.
- Cvitanović, Predrag (2008). 《Group Theory: Birdtracks, Lie’s, and Exceptional Groups》 (영어). Princeton University Press. ISBN 9780691118369. MR 2418111. Zbl 1152.22001.
- Ramond, Pierre (2010년 5월). 《Group Theory: A Physicist’s Survey》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 9780521896030. MR 2663568. Zbl 1205.20001.