측지선 완비 준 리만 다양체

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리만 기하학에서, 측지선 완비 준 리만 다양체(測地線完備準Riemann多樣體, 영어: geodesically complete pseudo-Riemannian manifold)는 그 측지선들이 중간에 임의로 끊기지 않는 준 리만 다양체이다.

정의편집

 준 리만 다양체라고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면,  를 측지선 완비 준 리만 다양체라고 한다.

임의의   에 대하여,  이며  이며 모든  에 대하여  인 측지선  이 존재한다.

즉, 측지선 완비 준 리만 다양체는 측지선이 갑자기 끊기지 않는 준 리만 다양체이다. 예를 들어, 유클리드 공간이나 콤팩트 리만 다양체는 측지선 완비 리만 다양체이지만, 유클리드 공간의 (전체 공간이 아닌) 열린집합은 측지선 완비 리만 다양체가 아니다.

준 리만 다양체   및 임의의 점  가 주어졌을 때, 초기 속도에 측지선을 대응시키는 지수 사상

 
 

을 정의할 수 있다. 물론, 정의역   근방을 포함한다. 측지선 완비성은 위 지수 사상이   전체에 정의될 수 있음을 뜻한다.

리만 다양체   속의 점  단사성 반지름(單射性半-, 영어: injectivity radius)은  단사 함수가 되는  들의 상한이다. (물론 이 개념은 리만 다양체가 아닌 준 리만 다양체에 대하여 무의미하다.)

확장 불가능성편집

준 리만 다양체  가 다음 조건을 만족시킨다면, 확장 불가능 준 리만 다양체(擴張不可能準Riemann多樣體, 영어: inextendable pseudo-Riemannian manifold)라고 한다.

임의의 연결 성분  에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 연결 준 리만 다양체  등거리 매장  이 존재하지 않는다.
  •   열린집합이다.
  •  이다.

성질편집

임의의 준 리만 다양체에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

측지선 완비 ⇒ 확장 불가능 ⇐ 모든 연결 성분콤팩트 ⇐ 콤팩트

리만 다양체의 경우, 호프-리노프 정리(Hopf-Rinow定理, 영어: Hopf–Rinow theorem)에 따르면 다음 세 조건이 서로 동치이다.

여기서, 임의의 연결 리만 다양체 위에는 표준적인 거리 함수를 줄 수 있는데, 위의 "완비 거리 공간" 및 "유계 집합"은 이 거리 함수에 대한 것이다.

그러나 호프-리노프 정리는 리만 다양체가 아닌 준 리만 다양체의 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 클리프턴-폴 원환면은 그 반례이다.

다만, 콤팩트 로런츠 다양체리만 곡률이 어디서나 0이라면, 이는 항상 측지선 완비 다양체이다.[1][2]

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호프-리노프 정리를 만족시키지 않는 로런츠 다양체의 대표적인 예는 클리프턴-폴 원환면(Clifton-Pohl圓環面, 영어: Clifton–Pohl torus)이다.[3]:193, Example 7.16 이는 콤팩트 공간이지만, 확장 불가능 다양체가 아니다.

원점을 제거한 평면   위에 다음과 같은 로런츠 계량을 주자.

 

이를 클리프턴-폴 평면(Clifton-Pohl平面, 영어: Clifton–Pohl plane)이라고 한다. 그렇다면, 다음과 같은 변환들은   위의 등거리 변환이다.

 

이제,  로 생성되는 이산 부분군을 생각하자. 이에 대한 몫공간

 

원환면  미분 동형이며, 특히 콤팩트 공간이다.  클리프턴-폴 원환면이라고 한다.

 콤팩트 로런츠 다양체이지만, 이는 측지선 완비 다양체가 되지 못한다. 예를 들어, 측지선

 

 에서 정의되지 않는다. 마찬가지로, 측지선

 

역시  에서 정의되지 않는다.

사실, 다음과 같은 좌표 변환을 가하자.

 

그렇다면, 클리프턴-폴 평면의 계량은 다음과 같다.

 

이는 자연스럽게

 

위에 정의된다. 즉, 단사 등거리 변환

 

이 존재하며, 그

 

이다.  확장 클리프턴-폴 평면(擴張Clifton-Pohl平面, 영어: extended Clifton–Pohl plane)이라고 하며, 이는  과 달리 측지선 완비 다양체이다.[4]:§1.3 그러나  의 경우  을 정의하는 데 사용되었던 자기 등거리 변환이 존재하지 않는다.

역사편집

호프-리노프 정리는 하인츠 호프와 빌리 루트비히 아우구스트 리노프(독일어: Willi Ludwig August Rinow, 1907~1979)가 1931년에 증명하였다.[5]

클리프턴-폴 원환면은 1962년에 이턴 클리프턴(영어: Yeaton H. Clifton)과 윌리엄 폴(영어: William Pohl)이 발견하였으나, 출판하지 않았다.[6]:95

참고 문헌편집

  1. Carrière, Yves (1989). “Autour de la conjecture de L. Markus sur les variétés affines”. 《Inventiones Mathematicae》 (프랑스어) 95 (3): 615–628. doi:10.1007/BF01393894. ISSN 0020-9910. 
  2. Urtsever, Ulvi. “A simple proof of geodesical completeness for compact space‐times of zero curvature”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 33 (4): 1295–1300. doi:10.1063/1.529706. 
  3. O’Neill, Barrett (1983). 《Semi-Riemannian geometry with applications to relativity》. Pure and Applied Mathematics (영어) 103. Academic Press. ISBN 978-008057057-0. 
  4. Bavard, Christophe; Mounoud, Pierre (2013). “Sur les surfaces lorentziennes compactes sans points conjugués” (PDF). 《Geometry and Topology》 (프랑스어) 17: 469–492. doi:10.2140/gt.2013.17.469. 
  5. Hopf, Heinz; Rinow, Willi (1931). “Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche”. 《Commemtarii Mathematici Helvetici》 (독일어) 3: 209–225. ISSN 0010-2571. 
  6. Wolf, Joseph A. (2011). 《Spaces of constant curvature》 (영어) 6판. American Mathematical Society Chelsea Publishing. doi:10.1090/chel/372. ISBN 978-0-8218-5282-8. MR 2742530. 

외부 링크편집