용량 차원

기하학에서, 용량 차원(영어: capacity dimension)은 정수 값이 아닐 수 있는 차원의 하나이다.

정의

거리 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 임의의 $\epsilon >0$에 대하여, $N_{\epsilon }(X)$가 $X$의 덮개를 이루는 지름이 $\epsilon$인 공들의 최소 개수라고 하자. $X$의 용량 차원 $\dim _{\operatorname {C} }X$는 다음과 같다.

$\dim _{\operatorname {C} }X=\limsup _{\epsilon \to 0}{\frac {\ln N_{\epsilon }(X)}{\ln {\frac {1}{\epsilon }}}}$

예

칸토어 집합

칸토어 집합 $C$는 닫힌구간 $[0,1]$에서 시작하여 각 구간에서 가운데 1/3을 제거하는 과정을 거듭하여 만들어진다. 각 과정마다 구간의 개수는 2배씩 늘어나며, 각 구간의 길이는 1/3씩 줄어들므로, $\epsilon _{n}=1/3^{n}$을 취할 경우 $N_{\epsilon _{n}}(C)=2^{n}$이다. 따라서 용량 차원은

$\dim _{\operatorname {C} }C=\lim _{n\to \infty }{\frac {n\ln 2}{n\ln 3}}={\frac {\ln 2}{\ln 3}}\approx 0.63$

이다. 이는 $C$의 하우스도르프 차원과 같다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Capacity dimension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.