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선형대수학에서, 유니타리 행렬(영어: unitary matrix)는 켤레 전치역행렬과 같은 복소수 행렬이다.

정의편집

복소수   행렬  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는  유니타리 행렬이라고 한다.

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  •  의 열들은  정규 직교 기저를 이룬다.
  •  의 행들은  의 정규 직교 기저를 이룬다.
  •  에서, 모든 정규 직교 기저  에 대하여,  는 정규 직교 기저이다.
  •  에서, 어떤 정규 직교 기저  에 대하여,  는 정규 직교 기저이다.
  •  정규 행렬이며, 모든 고윳값절댓값은 1이다.
  • 임의의  에 대하여,  .
  • 임의의  에 대하여,  .

여기서  켤레 전치,   의 표준 내적,   의 표준 노름이다.

성질편집

실수 행렬의 경우 유니타리 행렬은 직교 행렬과 동치이다.[1]:304

유니타리 행렬  는 다음과 같은 성질을 갖는다.

  • 정규 행렬이다.
  • 대각화 가능하다. 이는 스펙트럼 정리의 결과에 따라  가 대각행렬과 유니타리하게 닮음이란 것이다.   와 같이 분해할 수 있다. 여기서  는 유니타리 행렬,  대각 유니타리 행렬이다.
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  •  고유 공간은 정규 직교다.
  •  에르미트 행렬  가 존재한다. ( 행렬 지수 함수)

모든   유니타리 행렬의 집합은 행렬 곱셈에 따라 을 이루며, 이를 유니타리 군  이라고 한다.

편집

복소수   행렬의 경우, 유니타리 행렬은 다음과 같다.

 

복소수   행렬의 경우, 유니타리 행렬은 다음과 같다.

 

각주편집

  1. Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc. ISBN 0-13-536797-2.