유사 미분 연산자

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조화해석학에서 유사 미분 연산자(類似微分演算子, 영어: pseudodifferential operator, 약자 ΨDO)는 미분 연산자와, 매끄러운 함수와의 곱셈의 공통된 일반화이다. 푸리에 변환 공간에서 위치와 운동량에 의존하는 임의의 매끄러운 함수를 곱한 뒤 다시 역변환시키는 연산이다.

정의편집

유클리드 공간   위의 복소수 값 매끄러운 함수의 집합을  이라고 쓰고, 복소수 값 콤팩트 지지 매끄러운 함수의 집합을  이라고 쓰자.  은 자연스럽게 프레셰 공간을 이루며,  은 자연스럽게 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간을 이룬다.

  위에 작용하는 유사 미분 연산자는 다음과 같은 꼴의 선형 변환이다.

 
 

여기서

 

 푸리에 변환이며,

 
 

매끄러운 함수이다.  를 유사 미분 연산자  표상(表象, 영어: symbol)이라고 한다.

  위의 다중지표의 집합을  으로 쓰자. 어떤 정수  에 대하여 유사 미분 연산자  의 표상  

 

를 만족시킨다면,   차 유사 미분 연산자라고 한다.  차 표상들의 집합은 보통  으로 쓰며,  차 유사 미분 연산자의 집합은  으로 쓴다. 모든 유사 미분 연산자는   함수로서 연속 함수이다.

유사 미분 연산자의 분포 위의 작용편집

  위의 분포

 

가 주어졌다고 하자.   위의 유사 미분 연산자  의 표상이 콤팩트 지지라고 하자. 그렇다면,  를 분포   위에 작용하도록 확장할 수 있다. 구체적으로, 다음과 같다.

 
 

여기서

 

 에르미트 수반이다.

이에 따라, 콤팩트 지지 표상의 유사 미분 연산자는 분포 공간   위에 작용한다.

 

다양체 위의 유사 미분 연산자편집

매끄러운 다양체유클리드 공간열린집합  들을 매끄러운 추이 사상

 

으로 이어붙여 만든다.

유클리드 공간의 열린집합   및 유사 미분 연산자

 

미분 동형 ("좌표 변환")

 
 

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선형 변환

 
 

를 정의할 수 있으며, 또한   역시 유사 미분 연산자임을 보일 수 있다. 또한, 만약   차 유사 미분 연산자라면   역시  차 유사 미분 연산자이다. 따라서, 좌표 근방계에 조각마다 유사 미분 연산자를 정의한 뒤 이를 짜깁기하여 매끄러운 다양체 위의  차 유사 미분 연산자의 개념을 정의할 수 있다.[1]:§8

고전 유사 미분 연산자편집

 차 표상  에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 표상의 열  가 존재한다면,  고전 표상(영어: classical symbol)이라고 한다.[1]:Definition 5.1

  •   동차함수이다. 즉,  이다.
  • 콤팩트 지지 매끄러운 함수  에 대하여, 만약  가 되는 0의 근방  가 존재한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
     

고전 유사 미분 연산자(영어: classical pseudodifferential operator)는 그 표상이 고전 표상인 유사 미분 연산자이다. 고전 유사 미분 연산자의 집합을  으로 쓰자.

성질편집

  위의, 표상이  인 유사 미분 연산자  에 대하여, 만약  콤팩트 지지 함수라면,   에 속한다. 즉,

 

이다.[1]:Theorem 4.2

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임의의 미분 연산자

 

의 경우, 그 표상

 

을 정의하면 유사 미분 연산자

 

로 나타낼 수 있다.

마찬가지로, 임의의 매끄러운 함수  에 대하여, 곱셈 연산자

 

역시 표상이  인 유사 미분 연산자

 

역사편집

1960년대에 조지프 존 콘(영어: Joseph John Kohn) · 루이스 니런버그 · 라르스 회르만데르 등이 유사 미분 연산자의 이론을 개발하였다. 이후, 유사 미분 연산자의 개념은 아티야-싱어 지표 정리의 증명에 중요한 역할을 하였다.

참고 문헌편집

  1. Joshi, M. S. (1999). “Introduction to pseudo-differential operators” (영어). arXiv:math/9906155. Bibcode:1999math......6155J. 

같이 보기편집

외부 링크편집