유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
위의 복소수 값 매끄러운 함수 의 집합을
C
∞
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
이라고 쓰고, 복소수 값 콤팩트 지지 매끄러운 함수 의 집합을
C
0
∞
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
이라고 쓰자.
C
∞
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
은 자연스럽게 프레셰 공간 을 이루며,
C
0
∞
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
은 자연스럽게 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간 을 이룬다.
C
0
∞
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
위에 작용하는 유사 미분 연산자 는 다음과 같은 꼴의 선형 변환 이다.
P
(
x
,
D
)
:
C
0
∞
(
R
n
)
→
C
∞
(
R
n
)
{\displaystyle P(x,D)\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
P
(
x
,
D
)
:
u
(
x
)
↦
1
(
2
π
)
n
∫
R
n
exp
(
i
x
⋅
ξ
)
P
~
(
x
,
ξ
)
u
^
(
ξ
)
d
n
ξ
{\displaystyle P(x,D)\colon u(x)\mapsto {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(ix\cdot \xi ){\tilde {P}}(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )\,d^{n}\xi }
여기서
u
^
(
ξ
)
=
∫
R
n
exp
(
−
i
x
⋅
ξ
)
u
(
x
)
d
n
x
{\displaystyle {\hat {u}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-ix\cdot \xi )u(x)\,d^{n}x}
는
u
{\displaystyle u}
의 푸리에 변환 이며,
P
~
:
R
n
×
R
n
→
R
{\displaystyle {\tilde {P}}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
P
~
:
(
x
,
ξ
)
↦
P
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle {\tilde {P}}\colon (x,\xi )\mapsto P(x,\xi )}
는 매끄러운 함수 이다.
P
~
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )}
를 유사 미분 연산자
P
(
x
,
D
)
{\displaystyle P(x,D)}
의 표상 (表象, 영어 : symbol )이라고 한다.
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
위의 다중지표 의 집합을
N
n
{\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}
으로 쓰자. 어떤 정수
m
∈
Z
{\displaystyle m\in \mathbb {Z} }
에 대하여 유사 미분 연산자
P
(
x
,
D
)
{\displaystyle P(x,D)}
의 표상
P
~
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )}
가
sup
(
x
,
ξ
)
∈
R
n
×
R
n
|
∂
ξ
α
∂
x
β
P
(
x
,
ξ
)
|
(
1
+
|
ξ
|
)
m
−
|
α
|
<
∞
∀
α
,
β
∈
N
n
{\displaystyle \sup _{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}{\frac {|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|}{(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}}<\infty \qquad \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}}
를 만족시킨다면,
P
(
x
,
D
)
{\displaystyle P(x,D)}
를
m
{\displaystyle m}
차 유사 미분 연산자 라고 한다.
m
{\displaystyle m}
차 표상들의 집합은 보통
S
m
{\displaystyle S^{m}}
으로 쓰며,
m
{\displaystyle m}
차 유사 미분 연산자의 집합은
Ψ
D
O
m
(
R
n
)
{\displaystyle \operatorname {\Psi DO} ^{m}(\mathbb {R} ^{n})}
으로 쓴다. 모든 유사 미분 연산자는
C
0
∞
(
R
n
)
→
C
0
∞
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
함수로서 연속 함수 이다.
유사 미분 연산자의 분포 위의 작용
편집
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
위의 분포
T
:
C
0
∞
(
R
n
)
→
R
{\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} }
가 주어졌다고 하자.
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
위의 유사 미분 연산자
P
{\displaystyle P}
의 표상이 콤팩트 지지 라고 하자. 그렇다면,
P
{\displaystyle P}
를 분포
T
{\displaystyle T}
위에 작용하도록 확장할 수 있다. 구체적으로, 다음과 같다.
P
T
:
C
0
∞
→
R
{\displaystyle PT\colon \mathbb {C} _{0}^{\infty }\to \mathbb {R} }
⟨
P
T
|
u
⟩
=
⟨
T
|
P
∗
u
⟩
{\displaystyle \langle PT|u\rangle =\langle T|P^{*}u\rangle }
여기서
P
∗
:
C
0
∞
(
R
n
)
→
C
0
∞
(
R
n
)
{\displaystyle P^{*}\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
은
P
{\displaystyle P}
의 에르미트 수반 이다.
이에 따라, 콤팩트 지지 표상의 유사 미분 연산자는 분포 공간
D
′
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}
위에 작용한다.
P
:
D
′
(
R
n
)
→
D
′
(
R
n
)
{\displaystyle P\colon {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}
다양체 위의 유사 미분 연산자
편집
매끄러운 다양체 는 유클리드 공간 의 열린집합
{
U
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}
들을 매끄러운 추이 사상
ϕ
i
j
:
U
i
∩
U
j
→
U
i
∩
U
j
{\displaystyle \phi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to U_{i}\cap U_{j}}
으로 이어붙여 만든다.
유클리드 공간의 열린집합
U
,
V
,
U
′
,
V
′
⊆
R
n
{\displaystyle U,V,U',V'\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
및 유사 미분 연산자
P
:
C
0
∞
(
U
)
→
C
∞
(
V
)
{\displaystyle P\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(U)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(V)}
및 미분 동형 ("좌표 변환")
ι
U
:
U
→
U
′
{\displaystyle \iota _{U}\colon U\to U'}
ι
V
:
V
→
V
′
{\displaystyle \iota _{V}\colon V\to V'}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선형 변환
P
′
:
C
0
∞
(
U
′
)
→
C
∞
(
V
′
)
{\displaystyle P'\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(U')\to {\mathcal {C}}^{\infty }(V')}
P
′
:
u
↦
ι
V
∘
P
(
f
∘
ι
U
−
1
)
{\displaystyle P'\colon u\mapsto \iota _{V}\circ P(f\circ \iota _{U}^{-1})}
를 정의할 수 있으며, 또한
P
′
{\displaystyle P'}
역시 유사 미분 연산자임을 보일 수 있다. 또한, 만약
P
{\displaystyle P}
가
m
{\displaystyle m}
차 유사 미분 연산자라면
P
′
{\displaystyle P'}
역시
m
{\displaystyle m}
차 유사 미분 연산자이다. 따라서, 좌표 근방계에 조각마다 유사 미분 연산자를 정의한 뒤 이를 짜깁기하여 매끄러운 다양체 위의
m
{\displaystyle m}
차 유사 미분 연산자의 개념을 정의할 수 있다.[1] :§8
고전 유사 미분 연산자
편집
m
{\displaystyle m}
차 표상
P
~
:
R
n
×
R
n
→
R
{\displaystyle {\tilde {P}}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 표상의 열
(
P
~
i
)
i
∈
N
{\displaystyle ({\tilde {P}}_{i})_{i\in \mathbb {N} }}
가 존재한다면,
P
~
{\displaystyle {\tilde {P}}}
를 고전 표상 (영어 : classical symbol )이라고 한다.[1] :Definition 5.1
P
~
i
:
R
n
×
R
n
→
R
{\displaystyle {\tilde {P}}_{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
는
i
{\displaystyle i}
차 동차함수 이다. 즉,
P
~
i
(
α
x
,
α
ξ
)
=
α
i
P
~
i
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle {\tilde {P}}_{i}(\alpha x,\alpha \xi )=\alpha ^{i}{\tilde {P}}_{i}(x,\xi )}
이다.
콤팩트 지지 매끄러운 함수
ϕ
:
R
n
→
R
{\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
에 대하여, 만약
ϕ
(
x
)
=
1
∀
x
∈
U
{\displaystyle \phi (x)=1\forall x\in U}
가 되는 0의 근방
U
∋
0
{\displaystyle U\ni 0}
가 존재한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
P
~
(
x
,
ξ
)
−
∑
i
=
0
N
−
1
(
1
−
ϕ
(
ξ
)
)
P
~
m
−
i
(
x
,
ξ
)
∈
S
m
−
N
∀
N
∈
Z
+
{\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )-\sum _{i=0}^{N-1}(1-\phi (\xi )){\tilde {P}}_{m-i}(x,\xi )\in S^{m-N}\qquad \forall N\in \mathbb {Z} ^{+}}
고전 유사 미분 연산자 (영어 : classical pseudodifferential operator )는 그 표상이 고전 표상인 유사 미분 연산자이다. 고전 유사 미분 연산자의 집합을
Ψ
D
O
cl
m
{\displaystyle \operatorname {\Psi DO} _{\operatorname {cl} }^{m}}
으로 쓰자.